2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽創(chuàng)新思維試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）若函數(shù)$f(x)=\log_a(9x)$，$\log_a(27x)$，$\log_{a^2}(3x)$（$a>0$且$a\neq1$）成等差數(shù)列，則正數(shù)$x$的值為______。設(shè)集合$A={1,2,3,\cdots,100}$，$B={a^2+2\mida\inA}$，則$A\cupB$的元素個數(shù)為______。已知橢圓$\Gamma:\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{2024}=1$，點(diǎn)$P$在橢圓上，$F_1,F_2$為橢圓的兩個焦點(diǎn)，線段$F_1P$交橢圓于另一點(diǎn)$Q$。若$\triangleF_1PQ$的周長為8，則線段$F_2Q$的長度為______。設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$，$h(x)=f(x)+x$。若$g(x)$為奇函數(shù)，$h(x)$為偶函數(shù)，則$f(x)$的最大值為______。若正整數(shù)$k$滿足$\begin{vmatrix}\sin20^\circ&i\cos25^\circ\\sin25^\circ&k\cos20^\circ\end{vmatrix}\in\mathbb{R}$（$i$為虛數(shù)單位），則$k$的最小值為______。設(shè)$\Gamma$為任意四棱柱，在$\Gamma$的12條棱中隨機(jī)選取兩條不同的棱$l_1,l_2$，將事件“$l_1$所在直線與$l_2$所在直線平行”發(fā)生的概率記為$P(\Gamma)$，則$P(\Gamma)$所有可能值為______。平面中的3個單位向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol,\boldsymbol{c}$滿足$\lfloor\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol\rfloor=\lfloor\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\rfloor=\lfloor\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c}\rfloor$（其中$\lfloorx\rfloor$表示不超過實(shí)數(shù)$x$的最大整數(shù)），則$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}|$的取值范圍是______。將1,2,3,…,9排列為$a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得3個三位數(shù)$\overline{abc},\overline{def},\overline{ghi}$之和等于2025，則不同的排列方法數(shù)為______。二、解答題（本大題共3小題，滿分56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）9.（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，點(diǎn)集$\Gamma={(x,y)\midy^2=2x+2}$。若$\Gamma$中的3個不同的點(diǎn)$M,P,Q$滿足：$M$為$PQ$的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=-2$，求點(diǎn)$M$的坐標(biāo)。10.（本題滿分20分）設(shè)正四面體$ABCD$各棱長均為2，$P,Q$分別是棱$AB,AC$上的動點(diǎn)（允許位于棱的端點(diǎn)），且$AP+AQ=2$。$M$為棱$AD$的中點(diǎn)，在$\triangleMPQ$中，$MH$為$PQ$邊上的高。求$MH$長度的最小值。11.（本題滿分20分）設(shè)$a$為實(shí)數(shù)，$m,n$為正整數(shù)，且$\sinma\cdot\sinna\neq0$。證明：$$\frac{1}{\sinma}+\frac{1}{\sinna}\geq\frac{4}{\sinma+\sinna}$$三、創(chuàng)新拓展題（本大題共2小題，滿分60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）12.（本題滿分30分）在數(shù)字經(jīng)濟(jì)背景下，某科技公司開發(fā)了一種基于區(qū)塊鏈技術(shù)的分布式存儲系統(tǒng)。該系統(tǒng)采用$n$個節(jié)點(diǎn)（編號1至$n$）構(gòu)成的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每個節(jié)點(diǎn)初始存儲容量為1TB。系統(tǒng)運(yùn)行時，會發(fā)生兩種操作：同步操作：隨機(jī)選擇兩個相鄰節(jié)點(diǎn)$i$和$i+1$（節(jié)點(diǎn)$n$的相鄰節(jié)點(diǎn)為1），將兩者的存儲容量調(diào)整為平均值；擴(kuò)容操作：隨機(jī)選擇一個節(jié)點(diǎn)，將其存儲容量增加1TB。（1）當(dāng)$n=3$時，經(jīng)過3次同步操作后，求三個節(jié)點(diǎn)存儲容量均相等的概率；（2）當(dāng)$n=2025$時，若初始狀態(tài)下所有節(jié)點(diǎn)存儲容量均為1TB，經(jīng)過$k$次擴(kuò)容操作后系統(tǒng)總存儲容量為$2025+k$TB。證明：無論進(jìn)行多少次同步操作，任意兩個節(jié)點(diǎn)的存儲容量之差不超過$k$TB。13.（本題滿分30分）定義：若函數(shù)$f(x)$對定義域內(nèi)任意$x,y$，均滿足$f(x)+f(y)\leqf\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$，則稱$f(x)$為“雙曲凸函數(shù)”。（1）判斷函數(shù)$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$（$|x|<1$）是否為雙曲凸函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)$f(x)$為定義在$(-1,1)$上的可導(dǎo)雙曲凸函數(shù)，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$。證明：對任意$x\in(-1,1)$，有$f(x)\geq\frac{2x}{1-x^2}$；（3）在（2）的條件下，若$f(x)$的反函數(shù)為$f^{-1}(x)$，證明：對任意$a,b>0$，有$f^{-1}(a)+f^{-1}(b)\leqf^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$。四、實(shí)踐應(yīng)用題（本大題共1小題，滿分30分。解答應(yīng)寫出文字說明、建模過程及計(jì)算步驟）14.（本題滿分30分）2025年某城市計(jì)劃修建一條連接?xùn)|西兩岸的跨江隧道，隧道橫截面設(shè)計(jì)為拋物線形拱梁結(jié)構(gòu)。根據(jù)地質(zhì)勘察數(shù)據(jù)，拱梁跨度（拋物線的弦長）需滿足$80m\leqL\leq120m$，拱高（拋物線頂點(diǎn)到弦的距離）需滿足$10m\leqH\leq20m$。為確保通航安全，拱梁下沿在距離對稱軸$10m$處的高度不得低于$18m$。（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拱梁橫截面拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（用$L,H$表示）；（2）若施工預(yù)算要求拱梁混凝土用量（即拋物線與弦所圍區(qū)域面積）不超過$1200m^3$，求拱梁跨度$L$和拱高$H$的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案（精確到$0.1m$）；（3）在（2）的設(shè)計(jì)方案下，若隧道采用雙向四車道設(shè)計(jì)（每車道寬$3.5m$），為保障車輛通行安全，要求車道中線處的拱高不低于$5.0m$。判斷該設(shè)計(jì)方案是否滿足安全要求，并說明理由。五、開放探究題（本大題共1小題，滿分30分。解答應(yīng)寫出探究過程、結(jié)論及必要的證明）15.（本題滿分30分）在人工智能領(lǐng)域，邏輯推理能力是衡量模型智能水平的重要指標(biāo)?？紤]如下“數(shù)字邏輯謎題”：在$3\times3$的方格中填入數(shù)字1-9（每個數(shù)字恰好使用一次），使得每行、每列及兩條對角線上的數(shù)字之和均相等（即構(gòu)成3階幻方）。（1）證明：3階幻方的中心格必為5，且幻和（每行數(shù)字之和）必為15；（2）定義“幻方距離”：對于兩個3階幻方$A$和$B$，將對應(yīng)位置數(shù)字不同的方格數(shù)稱為$A$與$B$的距離，記為$d(A,B)$。求所有3階幻方中，距離最小的兩個幻方之間的距離值；（