2025年下學期高中數(shù)學機器學習基礎試卷一、選擇題（每題5分，共30分）機器學習的核心目標是讓計算機通過數(shù)據(jù)自動學習規(guī)律，其本質(zhì)可以理解為：A.求解復雜方程的解析解B.尋找輸入數(shù)據(jù)到輸出結果的函數(shù)映射關系C.模擬人類神經(jīng)網(wǎng)絡的物理結構D.直接存儲所有歷史數(shù)據(jù)用于預測在房價預測任務中，房屋面積、臥室數(shù)量、建造年份等信息被稱為：A.標簽（Label）B.特征（Feature）C.模型（Model）D.算法（Algorithm）下列屬于監(jiān)督學習的是：A.用無標簽的客戶消費數(shù)據(jù)劃分用戶群體B.基于歷史天氣數(shù)據(jù)預測明天的氣溫（已知過去氣溫與天氣類型）C.從大量文本中自動提取高頻詞匯D.讓AI通過試錯自主學習玩游戲線性回歸模型的損失函數(shù)通常采用最小二乘法，其優(yōu)化目標是：A.最小化預測值與真實值的平方和B.最大化特征與標簽的相關系數(shù)C.最小化模型參數(shù)的絕對值之和D.最大化訓練集的準確率關于K-means聚類算法，以下說法錯誤的是：A.需要預先指定聚類數(shù)量KB.通過計算樣本與質(zhì)心的距離劃分簇C.屬于無監(jiān)督學習方法D.每次迭代結果一定優(yōu)于上一次隨機梯度下降（SGD）與批量梯度下降的主要區(qū)別是：A.SGD每次僅用單個樣本更新參數(shù)B.SGD需要更多計算資源C.SGD只能用于線性模型D.SGD的迭代次數(shù)固定二、填空題（每空3分，共30分）機器學習三要素包括：模型、策略和__________。數(shù)據(jù)集通常劃分為訓練集、驗證集和__________，其中__________用于評估模型在未知數(shù)據(jù)上的泛化能力。邏輯回歸雖然名稱含“回歸”，但實際用于__________任務，其輸出值通過__________函數(shù)映射到[0,1]區(qū)間。支持向量機（SVM）的核心思想是找到最大化__________的超平面，當數(shù)據(jù)線性不可分時，可通過__________函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到高維空間。在模型評估中，“過擬合”指模型在__________上表現(xiàn)優(yōu)異，但在__________上誤差較大，解決方法包括增加數(shù)據(jù)量和__________。三、解答題（共40分）1.線性回歸基礎（12分）某城市房價（萬元）與房屋面積（平方米）的關系數(shù)據(jù)如下表，假設線性模型為(y=wx+b)，其中(x)為面積，(y)為房價。面積(x)30507090房價(y)85120150190（1）用最小二乘法估計參數(shù)(w)和(b)（保留兩位小數(shù)）；（2）預測面積為60平方米的房屋價格。解答：（1）設(\bar{x}=\frac{30+50+70+90}{4}=60)，(\bar{y}=\frac{85+120+150+190}{4}=136.25)[w=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}=\frac{(30-60)(85-136.25)+\dots+(90-60)(190-136.25)}{(30-60)^2+\dots+(90-60)^2}=\frac{5250}{2000}=2.63][b=\bar{y}-w\bar{x}=136.25-2.63\times60=136.25-157.8=-21.55]（2）當(x=60)時，(y=2.63\times60-21.55=136.25)萬元2.邏輯回歸與分類（10分）某模型用邏輯回歸判斷郵件是否為垃圾郵件，輸入特征為“關鍵詞出現(xiàn)次數(shù)(x)”，輸出概率(P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-(0.5x-2)}})，其中(y=1)表示垃圾郵件。（1）當(x=5)時，計算垃圾郵件概率（保留三位小數(shù)）；（2）若概率閾值為0.5，判斷(x=3)時郵件是否為垃圾郵件。解答：（1）(P=\frac{1}{1+e^{-(0.5\times5-2)}}=\frac{1}{1+e^{-0.5}}\approx\frac{1}{1+0.6065}\approx0.623)（2）當(x=3)時，(0.5x-2=-0.5)，(P=\frac{1}{1+e^{0.5}}\approx0.377<0.5)，故判斷為非垃圾郵件。3.K-means聚類（8分）現(xiàn)有二維數(shù)據(jù)點：(A(1,2))、(B(2,1))、(C(5,4))、(D(6,5))，用K-means算法（(K=2)）聚類，初始質(zhì)心為((1,2))和((6,5))。（1）第一次迭代后，每個簇包含哪些點？（2）計算新質(zhì)心坐標。解答：（1）計算各點到質(zhì)心距離（歐氏距離）：(A)到((1,2))：0；到((6,5))：(\sqrt{(6-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{34}\approx5.83)→簇1(B)到((1,2))：(\sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}\approx1.41)；到((6,5))：(\sqrt{(6-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{32}\approx5.66)→簇1(C)到((1,2))：(\sqrt{(5-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}\approx4.47)；到((6,5))：(\sqrt{(6-5)^2+(5-4)^2}=\sqrt{2}\approx1.41)→簇2(D)到((1,2))：(\sqrt{(6-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{34}\approx5.83)；到((6,5))：0→簇2簇1：(A,B)；簇2：(C,D)（2）新質(zhì)心：簇1：((\frac{1+2}{2},\frac{2+1}{2})=(1.5,1.5))簇2：((\frac{5+6}{2},\frac{4+5}{2})=(5.5,4.5))4.模型評估與優(yōu)化（10分）某學生用線性回歸預測考試成績，訓練集誤差為5分，測試集誤差為20分，判斷該模型是否過擬合，并列舉兩種改進措施。解答：判斷：過擬合。因為訓練集誤差遠小于測試集誤差，模型過度學習了訓練數(shù)據(jù)中的噪聲。改進措施：增加訓練數(shù)據(jù)量，使模型學習更普遍規(guī)律；使用正則化（如L2正則化），通過懲罰大參數(shù)值降低模型復雜度；簡化模型（如減少特征數(shù)量）。四、附加題（10分）簡述隨機梯度下降（SGD）與最小二乘法在求解線性回歸參數(shù)時的核心區(qū)別，并說明為何SGD更適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)集。解答：核心區(qū)別：最小二乘法通過求解解析解(w=(X^TX)^{-1}X^Ty)直接得到最優(yōu)參數(shù)，計算量隨樣本量呈平方增長；SGD通過隨機選取