2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)風(fēng)險管理數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）某保險公司推出一款醫(yī)療保險產(chǎn)品，已知投保人每年的醫(yī)療費用X（單位：元）服從正態(tài)分布N（5000，σ2），若P（X≤6000）=0.84，則P（X≤4000）=（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84某投資組合包含A、B兩種股票，其預(yù)期收益率分別為12%和8%，標(biāo)準(zhǔn)差分別為20%和15%，兩者的相關(guān)系數(shù)為0.3。若投資A股票的比例為60%，則該組合的預(yù)期收益率為（）A.9.6%B.10.4%C.11.2%D.12.0%某工廠生產(chǎn)的零件合格率為95%，現(xiàn)采用隨機抽樣的方式檢驗100個零件，設(shè)不合格零件數(shù)為X，則X服從（）A.二項分布B（100，0.05）B.泊松分布P（5）C.正態(tài)分布N（5，4.75）D.均勻分布U（0，100）某銀行的貸款違約率為2%，現(xiàn)有100筆獨立貸款，用正態(tài)分布近似計算違約筆數(shù)超過3的概率為（）（Φ（0.72）=0.7642，Φ（0.73）=0.7673）A.0.2327B.0.2358C.0.7642D.0.7673某項目的風(fēng)險損失X（單位：萬元）的概率分布如下表所示：|X|0|10|20|30||----|----|----|----|----||P|0.6|0.2|0.1|0.1|則該項目的風(fēng)險損失期望值為（）A.5萬元B.7萬元C.10萬元D.15萬元某股票的日收益率服從參數(shù)為λ=0.02的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)（x≥0），則該股票日收益率超過0.5的概率為（）A.e^(-0.01)B.e^(-0.1)C.1-e^(-0.01)D.1-e^(-0.1)某保險公司對某險種的理賠金額Y（單位：元）與投保金額X（單位：元）的關(guān)系為Y=0.8X+200，已知X的標(biāo)準(zhǔn)差為500，則Y的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.400B.500C.600D.800在風(fēng)險評估中，常用VaR（ValueatRisk）衡量風(fēng)險，若某投資組合在95%置信水平下的日VaR為100萬元，則下列說法正確的是（）A.該組合在1天內(nèi)損失超過100萬元的概率為5%B.該組合在1天內(nèi)損失超過100萬元的概率為95%C.該組合在100天內(nèi)損失超過100萬元的天數(shù)為5天D.該組合的日均損失為100萬元某企業(yè)有3條獨立的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線因故障停產(chǎn)的概率為0.1，且故障相互獨立。則至少有2條生產(chǎn)線停產(chǎn)的概率為（）A.0.001B.0.028C.0.243D.0.729某理財產(chǎn)品的年化收益率X服從均勻分布U（4%，8%），則該產(chǎn)品收益率在5%到7%之間的概率為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1某風(fēng)險投資項目的預(yù)期收益為100萬元，標(biāo)準(zhǔn)差為20萬元，若投資者要求的風(fēng)險溢價為8%，無風(fēng)險利率為3%，則該項目的風(fēng)險調(diào)整后收益率為（）A.3%B.8%C.11%D.13%某保險公司的客戶理賠數(shù)據(jù)顯示，每年理賠次數(shù)N服從泊松分布P（λ），已知P（N=0）=0.4，則λ=（）A.ln(0.4)B.-ln(0.4)C.e^0.4D.e^(-0.4)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某股票的年波動率為20%，則其日波動率約為________（一年按252個交易日計算，結(jié)果保留兩位小數(shù)）。某投資組合的預(yù)期收益率為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%，若投資者投入100萬元，則該組合的風(fēng)險價值（在95%置信水平下，正態(tài)分布的分位數(shù)為1.645）為________萬元。某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中，一等品率為80%，二等品率為15%，次品率為5%。若每件一等品盈利20元，二等品盈利5元，次品虧損10元，則每件產(chǎn)品的平均盈利為________元。某銀行對客戶的信用評分Y與年收入X（單位：萬元）的回歸方程為Y=20X+50，若某客戶年收入為15萬元，則其信用評分為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）某超市為降低庫存風(fēng)險，對某種商品的月需求量進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)需求量X（單位：件）服從正態(tài)分布N（500，1002）。（1）求該商品月需求量在400到600件之間的概率；（2）若超市每月進貨量為550件，求當(dāng)月需求量超過進貨量的概率。（參考數(shù)據(jù)：Φ（1）=0.8413，Φ（0.5）=0.6915）（12分）某投資公司有A、B兩個項目，其收益情況如下表所示（單位：萬元）：|經(jīng)濟狀況|概率|項目A收益|項目B收益||----------|------|-----------|-----------||繁榮|0.3|200|300||正常|0.5|100|100||衰退|0.2|-50|-100|（1）分別計算A、B項目的預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）若投資者將資金按3:2的比例分配給A、B項目，且兩項目收益的相關(guān)系數(shù)為0.2，求該組合的預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)差。（12分）某保險公司推出一款車輛保險，保費為每年2000元，若車輛發(fā)生事故，保險公司賠付金額Y（單位：元）服從參數(shù)為λ=0.001的指數(shù)分布，即f(y)=0.001e^(-0.001y)（y≥0）。（1）求保險公司賠付金額的期望值；（2）若每年有10000輛車上該保險，且事故發(fā)生相互獨立，求保險公司一年的總利潤期望值；（3）若保險公司希望總利潤的標(biāo)準(zhǔn)差不超過50000元，求每輛車的保費至少應(yīng)為多少元（精確到整數(shù)）。（12分）某工廠有一批產(chǎn)品需要質(zhì)檢，已知產(chǎn)品的不合格率為p，現(xiàn)從中隨機抽取n件進行檢驗，設(shè)X為不合格品數(shù)。（1）若n=100，p=0.05，用泊松分布近似計算P（X=3）；（2）若要求檢驗結(jié)果中不合格品數(shù)的期望值不超過2，且樣本容量n=50，求p的最大值；（3）若p=0.1，采用放回抽樣的方式檢驗，直到抽到1件不合格品為止，求所需檢驗次數(shù)的期望值。（12分）某金融資產(chǎn)的價格S（t）服從幾何布朗運動，即dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)，其中μ=0.1（年化漂移率），σ=0.2（年化波動率），W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。（1）求該資產(chǎn)價格在1年后的期望值E[S(1)]；（2）若當(dāng)前價格S(0)=100元，求3個月后價格S(0.25)的概率分布；（3）計算該資產(chǎn)在1年內(nèi)價格上漲超過20%的概率（Φ（0.3）=0.6179，Φ（0.5）=0.6915）。（10分）某風(fēng)險決策問題中，決策者面臨兩個方案：方案甲的收益分布為X~N（100，252），方案乙的收益分布為Y~U（50，150）。（1）比較兩個方案的收益期望值；（2）若決策者的效用函數(shù)為U(x)=ln(x)，計算兩個方案的期望效用并判斷哪個方案更優(yōu)。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題都做，按第一題計分）某保險公司的巨災(zāi)保險產(chǎn)品中，每次巨災(zāi)的損失金額X（單位：千萬元）服從帕累托分布，其概率密度函數(shù)為f(x)=αx^(-(α+1))（x≥1，α>0）。已知P（X≤2）=0.75，求α