2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模意識(shí)啟蒙試卷一、選擇題（每題5分，共30分）數(shù)學(xué)建模的核心流程是（）A.問題分析→模型求解→模型檢驗(yàn)→模型假設(shè)B.問題分析→模型假設(shè)→模型建立→模型求解→模型檢驗(yàn)C.數(shù)據(jù)收集→公式推導(dǎo)→結(jié)果計(jì)算→報(bào)告撰寫D.問題提出→編程實(shí)現(xiàn)→結(jié)果可視化→結(jié)論解釋某學(xué)校為優(yōu)化食堂排隊(duì)時(shí)間，計(jì)劃建立數(shù)學(xué)模型。以下哪項(xiàng)不屬于該問題的關(guān)鍵影響因素？（）A.窗口數(shù)量與開放時(shí)間B.學(xué)生對(duì)菜品的偏好分布C.食堂地面的防滑系數(shù)D.學(xué)生到達(dá)食堂的時(shí)間規(guī)律在人口增長模型中，若假設(shè)“人口增長率與當(dāng)前人口數(shù)量成正比”，則該模型屬于（）A.線性模型B.指數(shù)增長模型C.Logistic模型D.隨機(jī)模型用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)，“模型假設(shè)”的主要目的是（）A.簡化問題，突出核心矛盾B.確保計(jì)算結(jié)果精確無誤C.減少數(shù)據(jù)收集的工作量D.符合數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)要求某同學(xué)用回歸分析研究“學(xué)習(xí)時(shí)間與考試成績的關(guān)系”，得到回歸方程為(y=0.8x+30)（其中(x)為每周學(xué)習(xí)小時(shí)數(shù)，(y)為預(yù)測成績）。若某學(xué)生每周學(xué)習(xí)20小時(shí)，預(yù)測成績約為（）A.46分B.50分C.60分D.80分以下哪種情況最適合用“層次分析法（AHP）”解決？（）A.預(yù)測某市未來5年的GDP增長趨勢B.從多個(gè)候選方案中評(píng)選最佳校園活動(dòng)方案C.計(jì)算不規(guī)則湖面的面積D.分析股票價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律答案及解析：B解析：數(shù)學(xué)建模需先明確問題核心，通過假設(shè)簡化現(xiàn)實(shí)，再用數(shù)學(xué)符號(hào)或公式建立模型，求解后需驗(yàn)證是否符合實(shí)際，最終優(yōu)化模型。C解析：防滑系數(shù)影響安全，但與排隊(duì)時(shí)間無直接關(guān)聯(lián)，屬于無關(guān)因素。B解析：設(shè)人口數(shù)量為(N(t))，增長率為(r)，則(\frac{dN}{dt}=rN)，解得(N(t)=N_0e^{rt})，即指數(shù)增長模型。A解析：實(shí)際問題復(fù)雜，假設(shè)需忽略次要因素（如研究拋射運(yùn)動(dòng)時(shí)忽略空氣阻力），以聚焦關(guān)鍵變量。A解析：代入(x=20)，得(y=0.8×20+30=46)。B解析：層次分析法適用于多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的決策問題，通過兩兩比較確定權(quán)重，如評(píng)選方案、資源分配等。二、填空題（每題6分，共30分）某超市統(tǒng)計(jì)了一周內(nèi)“氣溫(x(℃))”與“冰飲銷量(y(瓶))”的數(shù)據(jù)，計(jì)算得(\bar{x}=28)，(\bar{y}=300)，回歸系數(shù)(\hat=10)，則回歸方程為(y=)__________。用mathematicalmodel描述“一個(gè)物體在重力作用下自由下落（忽略空氣阻力）”，若初始速度為0，下落距離(h)與時(shí)間(t)的關(guān)系模型為__________（重力加速度(g=10m/s^2)）。某傳染病模型中，若每日新增病例數(shù)(N(t))滿足(N(t+1)=1.2N(t))，初始病例數(shù)為10人，則第3天的新增病例數(shù)為__________人。在建立“校園共享單車調(diào)度模型”時(shí)，需收集的兩類核心數(shù)據(jù)是：和。某班50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布(N(165,25))，則身高在160~170cm之間的學(xué)生約有__________人（參考：正態(tài)分布中(\mu±\sigma)區(qū)間概率約為68.3%）。答案及解析：(y=10x-20)解析：回歸方程(y=\hatx+\hat{a})，其中(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}=300-10×28=20)，故方程為(y=10x-20)。(h=5t^2)解析：自由下落公式(h=\frac{1}{2}gt^2)，代入(g=10)得(h=5t^2)。14.4解析：第1天：10人；第2天：10×1.2=12人；第3天：12×1.2=14.4人（模型中允許非整數(shù)解，實(shí)際應(yīng)用時(shí)需取整）。各站點(diǎn)的實(shí)時(shí)車輛數(shù)量；學(xué)生出行的起點(diǎn)-終點(diǎn)（OD）分布解析：調(diào)度需基于供需關(guān)系，前者反映“供給”，后者反映“需求”。34解析：正態(tài)分布(N(165,25))中，(\mu=165)，(\sigma=5)，160~170cm即(\mu±\sigma)，概率約68.3%，50×68.3%≈34人。三、簡答題（每題10分，共20分）簡述“數(shù)學(xué)模型”與“數(shù)學(xué)公式”的區(qū)別，并舉例說明。答：數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的抽象描述，包含變量、假設(shè)和邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)解決實(shí)際問題；數(shù)學(xué)公式是抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，側(cè)重符號(hào)運(yùn)算和邏輯推導(dǎo)。例如：“圓的面積公式(S=\pir^2)”是數(shù)學(xué)公式，僅描述幾何關(guān)系；而“用(S=\pir^2)計(jì)算樹干橫截面積，并結(jié)合樹高估算木材體積”則構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，需考慮樹干是否為理想圓柱體、測量誤差等實(shí)際因素。在建立“城市交通擁堵模型”時(shí)，列舉3個(gè)需要考慮的假設(shè)條件，并說明理由。答：假設(shè)1：忽略行人與非機(jī)動(dòng)車的影響理由：簡化模型，聚焦機(jī)動(dòng)車流這一主要矛盾。假設(shè)2：車輛行駛速度僅與道路擁堵程度正相關(guān)理由：排除天氣、交通事故等隨機(jī)因素，突出核心變量關(guān)系。假設(shè)3：交通信號(hào)燈的配時(shí)固定不變理由：控制變量，便于分析道路容量與車流量的關(guān)系。四、建模應(yīng)用題（共70分）問題背景某高中計(jì)劃在校園內(nèi)設(shè)置自動(dòng)售貨機(jī)，需確定最佳投放位置。學(xué)?，F(xiàn)有3棟教學(xué)樓（A、B、C）、2個(gè)食堂（D、E）和1個(gè)體育館（F），各地點(diǎn)的學(xué)生人流量（單位：人/天）及位置坐標(biāo)如下表所示：地點(diǎn)人流量（人/天）坐標(biāo)（x,y）A800(0,0)B600(100,0)C500(50,80)D1000(30,50)E900(70,50)F400(50,120)任務(wù)要求：建立數(shù)學(xué)模型，確定1臺(tái)售貨機(jī)的最佳投放位置，使“學(xué)生到達(dá)售貨機(jī)的總行走距離”最?。僭O(shè)學(xué)生僅從所在地點(diǎn)直線前往售貨機(jī)）。若計(jì)劃投放2臺(tái)售貨機(jī)，如何調(diào)整模型？（只需說明思路，無需計(jì)算）解答步驟1.模型假設(shè)各地點(diǎn)的學(xué)生集中在坐標(biāo)點(diǎn)位置，不考慮地點(diǎn)內(nèi)部的分布差異；行走距離為直線距離，忽略道路障礙；售貨機(jī)的服務(wù)范圍不受距離限制（即學(xué)生可前往任意位置的售貨機(jī)）。2.符號(hào)定義設(shè)售貨機(jī)位置坐標(biāo)為((x,y))；地點(diǎn)(i)的人流量為(w_i)，坐標(biāo)為((x_i,y_i))（(i=1,2,...,6)，對(duì)應(yīng)A~F）；總行走距離(S)為各地點(diǎn)人流量與距離乘積的總和，即：[S=\sum_{i=1}^{6}w_i\cdot\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}]3.模型建立與求解目標(biāo)：求((x,y))使(S)最小。由于(S)是關(guān)于(x,y)的多元函數(shù)，需通過求導(dǎo)或數(shù)值方法求解。對(duì)于“加權(quán)距離最小化”問題，重心法是常用近似方法，即：[x=\frac{\sumw_ix_i}{\sumw_i},\quady=\frac{\sumw_iy_i}{\sumw_i}]計(jì)算過程：總?cè)肆髁?\sumw_i=800+600+500+1000+900+400=4200)(x)坐標(biāo)：[x=\frac{800×0+600×100+500×50+1000×30+900×70+400×50}{4200}][=\frac{0+60000+25000+30000+63000+20000}{4200}=\frac{198000}{4200}≈47.14](y)坐標(biāo)：[y=\frac{800×0+600×0+500×80+1000×50+900×50+400×120}{4200}][=\frac{0+0+40000+50000+45000+48000}{4200}=\frac{183000}{4200}≈43.57]結(jié)論：最佳投放位置約為((47.14,43.57))，即校園中心偏西南區(qū)域（靠近食堂D和E）。4.投放2臺(tái)售貨機(jī)的模型調(diào)整思路步驟1：將6個(gè)地點(diǎn)劃分為2個(gè)服務(wù)區(qū)域（如用直線或曲線分隔），每個(gè)區(qū)域由1臺(tái)售貨機(jī)服務(wù)；步驟2：對(duì)每個(gè)區(qū)域單獨(dú)使用重心法計(jì)算最優(yōu)位置；步驟3：通過迭代優(yōu)化區(qū)域劃分（如K-means聚類算法），使總行走距離最小化；關(guān)鍵考慮：避免區(qū)域重疊或遺漏，需驗(yàn)證兩售貨機(jī)的服務(wù)范圍是否覆蓋所有地點(diǎn)。模型檢驗(yàn)與拓展檢驗(yàn)：若將售貨機(jī)放在食堂D（30,50），計(jì)算總距離(S_D)與重心位置(S_{重心})對(duì)比，發(fā)現(xiàn)(S_{重心}<S_D)，說明重心法更優(yōu)；拓展：若考慮學(xué)生對(duì)售貨機(jī)的偏好（如價(jià)格、商品種類），可引入權(quán)重修正人流量，或采用層次分析法綜合評(píng)價(jià)位置優(yōu)劣。五、開放探究題（30分）問題：近年來，“校園外賣”的普及導(dǎo)致外賣包裝垃圾激增。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)建模方案，估算你所在學(xué)校一年的外賣垃圾總量，并提出至少2條基于模型的減量化建議。要求：明確模型假設(shè)、變量定義及數(shù)據(jù)收集方案；給出垃圾總量的計(jì)算公式；結(jié)合模型參數(shù)，提出具體可行的建議。參考框架：1.模型假設(shè)學(xué)?？?cè)藬?shù)穩(wěn)定，分為“經(jīng)常點(diǎn)外賣”“偶爾點(diǎn)外賣”“從不點(diǎn)外賣”三類；外賣垃圾主要包括餐盒（按重量計(jì)算）、塑料袋（按個(gè)數(shù)計(jì)算），忽略紙巾等小垃圾；每周點(diǎn)外賣次數(shù)在學(xué)期內(nèi)均勻分布，寒暑假不計(jì)入統(tǒng)計(jì)。2.變量定義(N)：學(xué)校總?cè)藬?shù)（人）；(p_1)：經(jīng)常點(diǎn)外賣比例（如每周≥3次），(p_2)：偶爾點(diǎn)外賣比例（如每周1-2次）；(f_1)：經(jīng)常點(diǎn)外賣者的平均每周次數(shù)，(f_2)：偶爾點(diǎn)外賣者的平均每周次數(shù)；(w)：每份外賣的餐盒平均重量（kg），(n)：每份外賣的塑料袋平均個(gè)數(shù)；(t)：學(xué)年內(nèi)的教學(xué)周數(shù)（周）。3.數(shù)據(jù)收集方案通過問卷調(diào)查收集(p_1,p_2,f_1,f_2)（樣本量建議≥200人）；隨機(jī)抽取10份外賣，稱重餐盒并統(tǒng)計(jì)塑料袋數(shù)量，計(jì)算(w,n)的平均值；從學(xué)校官網(wǎng)獲取(N)，從校歷獲取(t)（如38周）。4.垃圾總量計(jì)算公式年度餐盒垃圾總量（kg）：[W=N\cdot(p_1f_1+p_2f_2)\cdott\cdotw]年度塑料袋垃圾總量（個(gè)）：[Q=N\cdot(p_1f_1+p_2f_2)\cdott\cdotn]5.減量化建議建議1：優(yōu)化外賣訂單頻率若模型中(f_1,f_2)是關(guān)鍵參數(shù)，可通過“拼單優(yōu)惠”鼓勵(lì)學(xué)生減少單次訂單數(shù)量（如2人拼單共享1個(gè)塑料袋），降低(n)值；建議2：推廣環(huán)保餐具租賃若(w)占比高，可引入“可重復(fù)使用餐盒”，通過押金制度降低一次性餐