2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模能力初步構(gòu)建試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）某學(xué)校為優(yōu)化圖書館座位資源配置，統(tǒng)計(jì)了一周內(nèi)每天的座位使用率（%）：82、78、91、85、76、94、88。若用數(shù)學(xué)建模方法分析數(shù)據(jù)穩(wěn)定性，應(yīng)優(yōu)先選擇的統(tǒng)計(jì)量是（）A.平均值B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)在人口增長模型中，以下哪種情況適合用Logistic模型而非指數(shù)增長模型描述（）A.實(shí)驗(yàn)室理想條件下的細(xì)菌繁殖B.資源無限環(huán)境中的種群擴(kuò)張C.受環(huán)境承載力限制的城市人口增長D.短期內(nèi)的病毒傳播趨勢某電商平臺(tái)根據(jù)用戶消費(fèi)數(shù)據(jù)構(gòu)建推薦模型，其中"用戶最近一次消費(fèi)時(shí)間"屬于（）A.定類數(shù)據(jù)B.定序數(shù)據(jù)C.定距數(shù)據(jù)D.定比數(shù)據(jù)在建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，若收集到的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)周期性波動(dòng)特征，最適宜的函數(shù)類型是（）A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)C.三角函數(shù)D.指數(shù)函數(shù)某物流公司用數(shù)學(xué)模型優(yōu)化運(yùn)輸路線，已知從倉庫到配送點(diǎn)的距離矩陣如下（單位：km）：倉庫A點(diǎn)B點(diǎn)C點(diǎn)A點(diǎn)01520B點(diǎn)15010C點(diǎn)20100若采用最短路徑算法（Dijkstra算法）規(guī)劃從倉庫→A→B→C的配送路線總距離為（）A.35kmB.45kmC.55kmD.65km在數(shù)學(xué)建模的"模型檢驗(yàn)"環(huán)節(jié)，以下哪項(xiàng)操作不屬于該環(huán)節(jié)的核心任務(wù)（）A.計(jì)算模型預(yù)測值與實(shí)際值的誤差B.調(diào)整模型參數(shù)以提高擬合度C.驗(yàn)證模型假設(shè)條件的合理性D.收集新數(shù)據(jù)補(bǔ)充樣本量某高中開展"校園垃圾分類效率提升"建模項(xiàng)目，以下哪項(xiàng)屬于建模過程中的"問題分析"階段工作（）A.建立垃圾桶分布的幾何模型B.統(tǒng)計(jì)不同時(shí)段的垃圾產(chǎn)生量C.編寫MATLAB程序模擬垃圾清運(yùn)路線D.制作垃圾分類效率評估指標(biāo)體系在回歸分析中，若散點(diǎn)圖顯示兩個(gè)變量間存在非線性關(guān)系，可采用的處理方法是（）A.進(jìn)行變量替換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系B.直接使用線性回歸方程擬合C.增加樣本數(shù)量消除非線性特征D.放棄回歸分析改用聚類算法某社區(qū)規(guī)劃停車位時(shí)，需考慮車輛進(jìn)出的便利性。若用幾何模型分析車位布局，以下哪個(gè)因素不屬于建模的關(guān)鍵變量（）A.車位長度與寬度B.轉(zhuǎn)彎半徑與通道寬度C.居民的年齡分布D.出入口的位置數(shù)量在數(shù)學(xué)建模競賽中，對模型的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不包括（）A.模型假設(shè)的合理性B.數(shù)學(xué)方法的先進(jìn)性C.求解過程的完整性D.研究課題的新穎性二、填空題（共5題，每題6分，共30分）某奶茶店通過銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，氣溫（℃）與日銷量（杯）近似滿足線性關(guān)系。已知當(dāng)氣溫為20℃時(shí)日銷800杯，25℃時(shí)日銷650杯，據(jù)此建立的線性回歸方程為銷量=℃+（請補(bǔ)充完整方程系數(shù)）。某學(xué)校要在長100米的操場一側(cè)均勻擺放垃圾桶，要求兩端各放一個(gè)，且相鄰兩個(gè)垃圾桶之間距離不超過10米，則至少需要擺放_(tái)_____個(gè)垃圾桶。在傳染病傳播模型中，SIR模型將人群分為易感者（S）、感染者（I）、康復(fù)者（R）三類，其核心微分方程組為：dS/dt=-βSI/NdI/dt=______dR/dt=γI（請補(bǔ)充完整第二個(gè)方程）某網(wǎng)店用數(shù)學(xué)模型預(yù)測"雙十一"銷售額，根據(jù)前5年數(shù)據(jù)建立指數(shù)增長模型：y=2000e^0.2t（t=1對應(yīng)2020年），據(jù)此預(yù)測2025年銷售額為______萬元（精確到整數(shù)）。某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模作品評分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，用分層抽樣方法從80-89分和90-100分的作品中抽取5份進(jìn)行展示，則應(yīng)從90-100分段抽取______份。分?jǐn)?shù)段人數(shù)60-69570-791580-892090-10010三、建模應(yīng)用題（共3題，共90分）校園共享單車調(diào)度優(yōu)化問題（30分）某高中引入共享單車服務(wù)后，出現(xiàn)"早高峰教學(xué)樓區(qū)域車多樁少，晚自習(xí)后宿舍區(qū)車少人多"的供需失衡問題。請完成以下建模任務(wù)：（1）設(shè)計(jì)3項(xiàng)量化指標(biāo)用于評估共享單車調(diào)度效率（10分）（2）收集哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)來分析問題成因（至少列舉4項(xiàng)）（10分）（3）建立簡單的數(shù)學(xué)模型描述"學(xué)生出行距離-單車使用頻率"的關(guān)系（10分）校園食堂排隊(duì)時(shí)間優(yōu)化模型（30分）某高中食堂有3個(gè)打飯窗口，午餐時(shí)段（11:30-13:00）學(xué)生陸續(xù)到達(dá)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)知：學(xué)生到達(dá)率服從λ=20人/分鐘的泊松分布每個(gè)窗口的服務(wù)時(shí)間服從μ=3人/分鐘的指數(shù)分布當(dāng)前平均排隊(duì)長度達(dá)15人，學(xué)生抱怨等待時(shí)間過長請回答：（1）用排隊(duì)論模型（M/M/c模型）計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)的平均等待時(shí)間（Wq）（12分）（2）若要將平均等待時(shí)間控制在5分鐘以內(nèi)，至少需要增加幾個(gè)窗口（8分）（3）除增加窗口外，提出2項(xiàng)基于數(shù)學(xué)建模的優(yōu)化建議并說明原理（10分）社區(qū)養(yǎng)老服務(wù)中心選址問題（30分）某街道計(jì)劃新建一個(gè)養(yǎng)老服務(wù)中心，服務(wù)區(qū)域包含A、B、C三個(gè)社區(qū)，相關(guān)數(shù)據(jù)如下：各社區(qū)老年人口數(shù)：A區(qū)800人，B區(qū)1200人，C區(qū)600人社區(qū)位置坐標(biāo)（單位：km）：A(2,5)，B(8,3)，C(5,9)建設(shè)成本與服務(wù)半徑的關(guān)系：C=50萬元+20萬元×r（r為服務(wù)半徑，單位km）請建立數(shù)學(xué)模型解決：（1）若采用重心法確定選址坐標(biāo)，計(jì)算最優(yōu)位置（10分）（2）若要求所有社區(qū)到服務(wù)中心的距離不超過5km，判斷該選址是否可行（10分）（3）在建設(shè)預(yù)算80萬元的限制下，確定最大服務(wù)半徑及對應(yīng)服務(wù)人口比例（10分）四、建模案例分析題（共1題，40分）閱讀以下建模案例，回答問題："校園快遞柜使用效率提升"建模項(xiàng)目背景：某高中快遞柜常出現(xiàn)"高峰期爆滿、非高峰期空置"的現(xiàn)象，學(xué)生會(huì)開展建模項(xiàng)目解決該問題。過程：①項(xiàng)目組連續(xù)一周統(tǒng)計(jì)了快遞柜使用數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每天9:00-11:00、16:00-18:00為取件高峰②建立了"快遞柜容量-取件人數(shù)"的線性回歸模型，R2=0.65③提出"錯(cuò)峰取件獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制"，通過調(diào)整取件時(shí)間分散人流④用模擬仿真驗(yàn)證方案，顯示高峰時(shí)段擁擠度下降30%⑤撰寫建模報(bào)告并建議學(xué)校實(shí)施問題：（1）分析該建模過程存在的3處不足，并說明改進(jìn)措施（15分）（2）若要建立更精準(zhǔn)的預(yù)測模型，可引入哪些變量改進(jìn)回歸模型（至少列舉4項(xiàng)）（10分）（3）設(shè)計(jì)一個(gè)"快遞柜使用滿意度"的綜合評價(jià)指標(biāo)體系（包含3個(gè)一級指標(biāo)和9個(gè)二級指標(biāo)）（15分）五、開放性建模題（共1題，50分）校園水資源優(yōu)化配置項(xiàng)目背景：隨著校園人數(shù)增加，某高中面臨"用水高峰期水壓不足"與"水資源浪費(fèi)"的雙重挑戰(zhàn)。學(xué)校計(jì)劃通過數(shù)學(xué)建模制定節(jié)水方案。要求：（1）確定建模目標(biāo)及主要研究問題（10分）（2）設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)收集方案（至少包含3類數(shù)據(jù)來源、5項(xiàng)關(guān)鍵指標(biāo)）（15分）（3）選擇合適的數(shù)學(xué)方法建立模型框架（說明模型類型、核心變量及關(guān)系）（15分）（4）提出2項(xiàng)具體的節(jié)水措施，并說明如何用模型驗(yàn)證措施效果（10分）（全卷共計(jì)250分，考試時(shí)間180分鐘）本文通過多樣化的題型設(shè)計(jì)，全面考察高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核