2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)發(fā)明技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）某科技公司研發(fā)的智能機器人在平面直角坐標(biāo)系中沿直線運動，其位移函數(shù)為s(t)=t3-6t2+9t（單位：米），其中t為時間（單位：秒）。則該機器人在t=2秒時的瞬時速度為（）A.-3米/秒B.0米/秒C.3米/秒D.6米/秒在人工智能圖像識別技術(shù)中，常用到二值化處理。若將函數(shù)f(x)=sinx+cosx的圖像在x∈[0,π]范圍內(nèi)進行二值化（大于0的區(qū)域記為1，小于等于0的區(qū)域記為0），則二值化后的圖像中值為1的區(qū)間長度為（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π某新能源汽車電池的充電效率P（單位：%）與充電電流I（單位：A）的關(guān)系滿足P(I)=-0.1I2+2I+60，其中I∈[5,20]。為使充電效率最高，充電電流應(yīng)設(shè)置為（）A.10AB.12AC.15AD.20A在區(qū)塊鏈技術(shù)中，哈希值通常通過復(fù)雜算法生成?，F(xiàn)有一種簡化的哈希函數(shù)f(x)，對于正整數(shù)x，f(x)等于x的各位數(shù)字之和。若x是由1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則f(x)的最大值為（）A.15B.18C.20D.21某自動駕駛汽車在直線公路上行駛，其速度v（單位：km/h）與時間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示（圖像為折線OABC）。則該汽車在前3小時內(nèi)行駛的總路程為（）A.120kmB.150kmC.180kmD.210km在量子計算中，量子比特的狀態(tài)可用二維復(fù)向量表示。若某量子比特的狀態(tài)向量為|ψ?=a|0?+b|1?，其中|a|2+|b|2=1。已知|a|=√3/2，且b為純虛數(shù)，則b=（）A.i/2B.-i/2C.±i/2D.±i√3/2某工廠使用3D打印技術(shù)生產(chǎn)零件，其生產(chǎn)的零件尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(50,σ2)。若P(X>52)=0.2，則P(48≤X≤50)=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5在密碼學(xué)中，RSA加密算法基于大數(shù)分解問題。若某RSA公鑰中的模數(shù)n=pq，其中p,q為質(zhì)數(shù)，且φ(n)=(p-1)(q-1)=140。已知p+q=34，則n的值為（）A.221B.253C.289D.323某智能家居系統(tǒng)需要同時控制n個設(shè)備，每個設(shè)備獨立工作，且每個設(shè)備正常工作的概率均為0.9。為保證系統(tǒng)整體正常工作的概率不低于0.95，則n的最大值為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A.2B.3C.4D.5在虛擬現(xiàn)實技術(shù)中，常用矩陣變換實現(xiàn)三維圖形的旋轉(zhuǎn)。若將空間點P(x,y,z)繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角后得到點P'(x',y',z')，其變換矩陣為：[\begin{pmatrix}x'\y'\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosθ&-\sinθ&0\\sinθ&\cosθ&0\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}]則點A(1,1,0)繞z軸旋轉(zhuǎn)180°后得到的點A'的坐標(biāo)為（）A.(-1,-1,0)B.(-1,1,0)C.(1,-1,0)D.(1,1,0)某無人機在距離地面高度為h的上空水平飛行，在A處觀測地面目標(biāo)P的俯角為30°，繼續(xù)飛行100米到達B處，觀測目標(biāo)P的俯角為45°。則h的值為（）A.50(√3-1)米B.50(√3+1)米C.100(√3-1)米D.100(√3+1)米在機器學(xué)習(xí)中的邏輯回歸模型中，常用到sigmoid函數(shù)σ(x)=1/(1+e??)。則函數(shù)y=σ(x)的導(dǎo)數(shù)y'等于（）A.σ(x)(1-σ(x))B.σ(x)(σ(x)-1)C.e??σ(x)2D.-e??σ(x)2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某人工智能算法的訓(xùn)練誤差E與訓(xùn)練次數(shù)n的關(guān)系滿足E(n)=100/(n+1)+0.1n，其中n∈N*。則當(dāng)訓(xùn)練次數(shù)n=______時，訓(xùn)練誤差E(n)取得最小值。某5G通信基站的信號覆蓋范圍是一個半徑為1000米的圓形區(qū)域?，F(xiàn)要在邊長為2000米的正方形區(qū)域內(nèi)建設(shè)基站，為使該正方形區(qū)域完全被信號覆蓋，則至少需要建設(shè)______個基站。在數(shù)字孿生技術(shù)中，常用到三維建模。若某幾何體由棱長為2的正方體挖去一個半徑為1的內(nèi)切球后得到，則該幾何體的體積為______（結(jié)果保留π）。某科研團隊開發(fā)的預(yù)測模型中，定義了一種新的運算“?”：a?b=|a|2b-(a·b)a，其中a,b為空間向量。已知向量a=(1,2,2)，b=(2,1,-2)，則a?b=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）某科技公司研發(fā)的智能溫控系統(tǒng)采用PID控制算法，其溫度調(diào)節(jié)誤差e(t)（單位：℃）與時間t（單位：分鐘）的關(guān)系滿足微分方程：de/dt+2e=4sin2t，且初始條件為e(0)=0。（1）求該微分方程的通解；（2）求溫度調(diào)節(jié)誤差e(t)的表達式，并分析當(dāng)t→+∞時誤差的變化趨勢。（本小題滿分12分）在元宇宙虛擬展館設(shè)計中，需要繪制一個由曲線y=x2，y=2x2和直線y=1所圍成的平面圖形，并計算其面積用于3D建模。（1）求曲線y=x2，y=2x2與直線y=1的交點坐標(biāo)；（2）求該平面圖形的面積；（3）若將該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（本小題滿分12分）某新能源企業(yè)研發(fā)的太陽能電池板的發(fā)電功率P（單位：W）與光照強度I（單位：klx）和環(huán)境溫度T（單位：℃）的關(guān)系滿足P(I,T)=100I-0.5I2+0.1IT-0.01T2+200。（1）當(dāng)光照強度I=5klx，環(huán)境溫度T=25℃時，求發(fā)電功率P的值；（2）當(dāng)環(huán)境溫度T=25℃時，求發(fā)電功率P關(guān)于光照強度I的函數(shù)解析式，并求出此時P的最大值；（3）若光照強度I在[4,8]范圍內(nèi)變化，環(huán)境溫度T在[20,30]范圍內(nèi)變化，求發(fā)電功率P的最大值及對應(yīng)的I和T的值。（本小題滿分12分）某自動駕駛汽車在平面直角坐標(biāo)系xOy中沿曲線C:y=x3-3x2+2x行駛，其中x≥0。（1）求曲線C在點(1,0)處的切線方程；（2）求曲線C的單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）若該汽車在行駛過程中，其位置(x,y)處的剎車距離d（單位：米）滿足d=√(x2+y2)，當(dāng)x∈[1,3]時，求剎車距離d的最大值和最小值。（本小題滿分12分）在量子通信技術(shù)中，常用到量子態(tài)的疊加與糾纏?，F(xiàn)有一種簡化模型：某量子系統(tǒng)有兩個量子比特，每個量子比特有|0?和|1?兩個狀態(tài)，系統(tǒng)的量子態(tài)可表示為|ψ?=a|00?+b|01?+c|10?+d|11?，其中|a|2+|b|2+|c|2+|d|2=1，a,b,c,d為復(fù)數(shù)。（1）若|ψ?=1/√2|00?+1/√2|11?，求測量第一個量子比特得到|0?的概率；（2）若系統(tǒng)處于糾纏態(tài)，即無法表示為兩個單獨量子比特狀態(tài)的乘積，則稱該量子態(tài)為糾纏態(tài)。證明|ψ?=1/√2|00?+1/√2|11?是糾纏態(tài)；（3）若a,b,c,d均為實數(shù)，且系統(tǒng)的量子態(tài)滿足a=b=c=d，求此時測量得到|00?狀態(tài)的概率。（本小題滿分12分）某科技公司開發(fā)的智能推薦系統(tǒng)基于用戶行為數(shù)據(jù)分析。已知某平臺有10000名用戶，其中使用過A功能的用戶有6000名，使用過B功能的用戶有5000名，既使用過A功能又使用過B功能的用戶有3000名。（1）求從該平臺隨機選取一名用戶，該用戶至少使用過A功能或B功能中的一個的概率；（2）為改進推薦算法，從使用過A功能的用戶中隨機抽取5人，從使用過B功能的用戶中隨機抽取5人，組成測試小組。求該測試小組中既使用過A功能又使用過B功能的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該平臺新推出C功能，已知使用過A功能的用戶中有40%會使用C功能，使用過B功能的用戶中有30%會使用C功能，既使用過A功能又使用過B功能的用戶中有50%會使用C功能。求從該平臺隨機選取一名用戶，該用戶使用過C功能的概率。四、選考題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在智能制造中，工業(yè)機器人的手臂運動軌跡常用參數(shù)方程表示。已知某機器人手臂末端的運動軌跡在極坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為：[\begin{cases}\rho=2+\cos\theta\\theta=t\end{cases}]其中t為參數(shù)，t∈[0,2π)。（1）將該參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求該運動軌跡上的點到極點的最大距離和最小距離；（3）求該運動軌跡所圍成的圖形的面積。[選修4-5：不等式選講]在信息安全領(lǐng)域，數(shù)據(jù)傳輸?shù)恼`碼率需要控制在一定范圍內(nèi)。某通信系統(tǒng)的誤碼率R與信號功率S（單位：dB）的關(guān)系滿足R=e^(-kS)，