2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)計算器探究試卷一、函數(shù)圖像繪制與性質(zhì)分析（共30分）1.基礎(chǔ)作圖題（10分）使用計算器繪制函數(shù)(f(x)=2\sin(3x+\frac{\pi}{4})+1)在區(qū)間([-π,π])上的圖像，完成下列任務(wù)：（1）設(shè)置合適的窗口參數(shù)（Xmin=-π，Xmax=π，Ymin=-1，Ymax=3），并記錄圖像與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)（精確到小數(shù)點后2位）；（2）觀察圖像周期，計算函數(shù)最小正周期(T)；（3）判斷函數(shù)在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的單調(diào)性，寫出單調(diào)遞增區(qū)間。操作提示：進入函數(shù)繪圖模式后，輸入表達(dá)式時需注意三角函數(shù)的參數(shù)格式，使用弧度制計算。通過"求零點"功能可精確獲取交點坐標(biāo)，利用"縮放"工具觀察圖像細(xì)節(jié)。2.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用探究（15分）已知函數(shù)(g(x)=x^3-2x^2-5x+6)，使用計算器完成：（1）繪制函數(shù)圖像，確定所有極值點的大致位置；（2）計算導(dǎo)數(shù)(g'(x))，并求解方程(g'(x)=0)的精確解；（3）利用積分功能計算函數(shù)在區(qū)間([-2,3])與x軸圍成的封閉圖形面積。關(guān)鍵步驟：①通過"導(dǎo)數(shù)計算"功能直接生成導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式；②使用"解方程"模塊輸入二次方程，選擇精確解模式；③積分計算前需確認(rèn)函數(shù)與x軸交點，分段設(shè)置積分區(qū)間。3.開放性探究（5分）嘗試用不同顏色繪制函數(shù)(y=\ln|x|)與(y=x^2-4)的圖像，觀察它們的交點個數(shù)。若將其中一個函數(shù)改為(y=\ln|x|+k)，探索參數(shù)k對交點個數(shù)的影響，寫出你的發(fā)現(xiàn)并繪制k=-1時的圖像驗證。二、概率統(tǒng)計與數(shù)據(jù)處理（共35分）4.隨機模擬實驗（12分）某商場促銷活動設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)：從裝有3個紅球、2個白球的不透明袋中隨機摸球（不放回），連續(xù)摸出2個紅球可獲得一等獎。（1）使用計算器的隨機數(shù)生成功能模擬該抽獎過程（設(shè)定0-2代表紅球，3-4代表白球），重復(fù)實驗50次，記錄獲得一等獎的頻率；（2）計算理論概率值，并與模擬結(jié)果比較，分析誤差產(chǎn)生的原因；（3）若改為有放回摸球，重新模擬100次實驗，比較兩種抽樣方式的概率差異。模擬參數(shù)：隨機數(shù)范圍：0-4（整數(shù)）樣本量：50次/100次成功條件：連續(xù)兩個隨機數(shù)≤2（紅球）5.數(shù)據(jù)分析綜合題（18分）某班40名學(xué)生的數(shù)學(xué)月考成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5,92,78,90,88,76,95,82,89,79,65,80,93,87,75,84,91,83,77,86,94,81,70,68,96,85,73,80,88,92,74,89,97,69,82,71,85,90,72,84（1）使用計算器的統(tǒng)計功能計算：①平均分(\bar{x})、中位數(shù)、眾數(shù)；②方差(s^2)、標(biāo)準(zhǔn)差(s)（保留2位小數(shù)）；③成績在區(qū)間([\bar{x}-s,\bar{x}+s])內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占比。（2）繪制成績的頻率分布直方圖（分組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]），并計算80分以上學(xué)生的累積頻率。數(shù)據(jù)輸入技巧：使用STAT模式下的列表輸入功能，注意剔除重復(fù)數(shù)據(jù)；頻率分布表可通過"區(qū)間統(tǒng)計"功能自動生成；直方圖繪制需設(shè)置合適的區(qū)間寬度和頻數(shù)刻度。6.回歸分析應(yīng)用（5分）某地區(qū)2018-2023年的居民人均收入（千元）與消費支出（千元）數(shù)據(jù)如下：年份：201820192020202120222023收入(x)：323538424650支出(y)：222426293235（1）使用線性回歸功能計算回歸直線方程(\hat{y}=bx+a)（a,b精確到0.01）；（2）預(yù)測當(dāng)2024年收入為55千元時的消費支出。三、立體幾何與解析幾何（共35分）7.空間幾何體計算（15分）已知正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為5，使用計算器完成：（1）計算棱錐的高h(yuǎn)和斜高l；（2）求側(cè)面與底面所成二面角的余弦值；（3）若用一個平行于底面的平面截棱錐，使截面面積為底面面積的1/4，計算截面到頂點的距離?？臻g關(guān)系轉(zhuǎn)化：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理：(h=\sqrt{側(cè)棱長^2-底面外接圓半徑^2})，其中底面外接圓半徑(r=\frac{\sqrt{2}}{2}\times底面邊長)。8.解析幾何綜合題（20分）已知橢圓方程(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1)，使用計算器完成：（1）求橢圓的焦點坐標(biāo)、離心率e及準(zhǔn)線方程；（2）過右焦點F作斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點，計算弦長|AB|；（3）在橢圓上是否存在點P，使得(\angleF_1PF_2=60^\circ)（F1、F2為左右焦點）？若存在，計算點P的縱坐標(biāo)。計算策略：聯(lián)立直線與橢圓方程時，可先手動化簡為一元二次方程，再用計算器求解判別式和根與系數(shù)關(guān)系；焦點三角形面積公式：(S=b^2\tan\frac{\theta}{2})，可用于驗證結(jié)果。四、編程與算法初步（共20分）9.程序設(shè)計題（10分）使用計算器的編程功能（或偽代碼）實現(xiàn)以下算法：輸入一個正整數(shù)n，判斷其是否為"完數(shù)"（完數(shù)指所有真因子之和等于自身的數(shù)，如6=1+2+3）。要求：（1）寫出程序代碼（支持基本循環(huán)、條件判斷語句）；（2）測試n=28時的運行結(jié)果，記錄程序輸出；（3）優(yōu)化算法，減少循環(huán)次數(shù)（提示：只需遍歷到√n）。參考代碼框架：INPUTnsum=1FORi=2TO√nIFnMODi=0THENsum=sum+i+n/iENDIFNEXTiIFsum=nTHENPRINT"YES"ELSEPRINT"NO"ENDIF10.迭代法求解（10分）使用計算器的迭代功能求解方程(x=\cosx)的近似解，要求：（1）設(shè)置初始值x0=0.5，迭代公式(x_{n+1}=\cosx_n)，計算前5次迭代結(jié)果；（2）觀察迭代收斂情況，記錄最終收斂值（精確到小數(shù)點后6位）；（3）改用初始值x0=3，比較迭代結(jié)果差異，分析原因。迭代操作：在計算器中使用ANS鍵調(diào)用上一次計算結(jié)果，設(shè)置迭代公式后連續(xù)按等號鍵即可自動迭代。五、跨學(xué)科應(yīng)用（共15分）11.物理運動模型（8分）一物體做斜拋運動，初速度v0=20m/s，拋射角θ=30°，忽略空氣阻力（g=9.8m/s2）。使用計算器計算：（1）物體運動軌跡方程（以拋出點為原點，水平方向為x軸）；（2）飛行時間t、最大高度H和水平射程R；（3）計算拋出后1.5s時物體的速度大小和方向（與水平方向夾角）。公式提示：軌跡方程：(y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta})速度合成：(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2})，其中(v_x=v_0\cos\theta)，(v_y=v_0\sin\theta-gt)12.經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型（7分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每件產(chǎn)品可變成本為15元，售價p（元）與產(chǎn)量x（件）的關(guān)系為(p=50-0.02x)。（1）建立利潤函數(shù)L(x)的表達(dá)式（利潤=總收入-總成本）；（2）使用計算器的最大值功能，求利潤最大時的產(chǎn)量x及最大利潤；（3）若政府征收每件2元的環(huán)保稅，重新計算最優(yōu)產(chǎn)量。六、探究性學(xué)習(xí)（共20分）13.數(shù)學(xué)建模（10分）測量學(xué)校旗桿高度的方案設(shè)計：（1）使用計算器的三角函數(shù)功能，設(shè)計兩種測量方案（提示：影子測量法、仰角測量法）；（2）假設(shè)某次測量數(shù)據(jù)：某時刻旗桿影長12米，同時測得1米標(biāo)桿影長1.5米，計算旗桿高度；（3）若使用仰角測量法，在距離旗桿底部20米處測得仰角35°，計算旗桿高度（精確到0.1米）。14.計算器功能拓展（10分）探索計算器的隱藏功能或高級應(yīng)用：（1）使用"數(shù)列"功能生成斐波那契數(shù)列前20項，并計算相鄰兩項比值的極限；（2）嘗試用"矩陣"功能求解三元一次方程組：[\begin{cases}x+y+z=6\2x-y+z=3\x+2y-z=2\end{cases}]（3）利用"復(fù)數(shù)"模式計算((1+i)^{10})的結(jié)果，并將其轉(zhuǎn)化