2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)整合試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.數(shù)學(xué)抽象某城市為優(yōu)化交通信號燈設(shè)置，統(tǒng)計(jì)了早高峰時段某路口東西方向機(jī)動車的等待時間（單位：秒），數(shù)據(jù)如下：62,58,71,65,59,68,73,64.若將等待時間超過65秒的定義為“擁堵狀態(tài)”，則該路口東西方向早高峰時段“擁堵狀態(tài)”的頻率是（）A.0.375B.0.4C.0.5D.0.625考查要點(diǎn)：從實(shí)際數(shù)據(jù)中抽象出“擁堵狀態(tài)”的數(shù)學(xué)定義，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)中“用數(shù)學(xué)語言表述研究對象本質(zhì)”的要求。2.邏輯推理已知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，且滿足$f(x+2)=-f(x)$，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.$f(x)$是周期函數(shù)，且最小正周期為2B.$f(x)$是奇函數(shù)C.$f(x)$是周期函數(shù)，且最小正周期為4D.$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=1$對稱考查要點(diǎn)：通過抽象函數(shù)的遞推關(guān)系進(jìn)行演繹推理，培養(yǎng)邏輯推理中的“從一般到特殊”推理能力。3.數(shù)學(xué)建模某電商平臺在“雙11”促銷期間，某商品的銷量$y$（單位：件）與促銷費(fèi)用$x$（單位：萬元）滿足關(guān)系$y=1000+200\sqrt{x}-5x$（$0\leqx\leq10$）。若要使銷量達(dá)到最大，則促銷費(fèi)用應(yīng)投入（）A.2萬元B.4萬元C.6萬元D.8萬元考查要點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建函數(shù)模型，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決最優(yōu)化問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的融合。4.直觀想象在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$E$為棱$BB_1$的中點(diǎn)，則三棱錐$E-ACD_1$的體積為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.2D.$\frac{8}{3}$考查要點(diǎn)：通過空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用割補(bǔ)法或等體積法計(jì)算體積，培養(yǎng)直觀想象中的空間重構(gòu)能力。5.數(shù)學(xué)運(yùn)算已知向量$\vec{a}=(2,m)$，$\vec=(1,-2)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec)$，則$m^2+2m$的值為（）A.-4B.0C.4D.8考查要點(diǎn)：通過向量垂直的坐標(biāo)表示建立方程，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算求解參數(shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性。6.數(shù)據(jù)分析某學(xué)校為研究學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間與數(shù)學(xué)成績的關(guān)系，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)每周學(xué)習(xí)≥10小時187每周學(xué)習(xí)<10小時817總計(jì)2624若用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法計(jì)算$\chi^2$，則$\chi^2$的值約為（）（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$）A.4.844B.5.024C.6.635D.7.879考查要點(diǎn)：通過實(shí)際數(shù)據(jù)的收集與整理，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。7.綜合素養(yǎng)（跨模塊）已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）（圖像描述：函數(shù)圖像過點(diǎn)$(0,1)$，相鄰對稱軸之間的距離為$\pi$，且在$x=\frac{\pi}{3}$處取得最大值）A.$A=2$，$\omega=1$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$B.$f(x)$在區(qū)間$[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}]$上單調(diào)遞增C.$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(\frac{\pi}{12},0)$對稱D.將$f(x)$的圖像向右平移$\frac{\pi}{3}$個單位長度，可得到$y=2\cosx$的圖像考查要點(diǎn)：結(jié)合三角函數(shù)圖像與性質(zhì)，綜合考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力。8.創(chuàng)新探究定義“”運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)$a$，$b$，有$ab=\begin{cases}a^2-b,&a\geqb\b^2-a,&a<b\end{cases}$。若函數(shù)$f(x)=(x2)-(x1)$，則$f(x)$的最小值為（）A.-2B.-1C.0D.1考查要點(diǎn)：通過新定義運(yùn)算構(gòu)建分段函數(shù)，結(jié)合分類討論思想求解最值，培養(yǎng)創(chuàng)新思維與數(shù)學(xué)抽象能力。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理若數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，則數(shù)列${\frac{1}{a_n}}$的前10項(xiàng)和為________?？疾橐c(diǎn)：通過遞推關(guān)系抽象出等差數(shù)列模型，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的結(jié)合。10.數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布$N(50,4)$（單位：mm），現(xiàn)從一批零件中隨機(jī)抽取100個，其中尺寸在$(48,54]$內(nèi)的零件個數(shù)約為________。（參考數(shù)據(jù)：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，則$P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6827$，$P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9545$）考查要點(diǎn)：運(yùn)用正態(tài)分布模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模能力。11.直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過點(diǎn)$F$的直線$l$與拋物線交于$A$，$B$兩點(diǎn)，若$|AF|=3|BF|$，則直線$l$的斜率為________?？疾橐c(diǎn)：通過拋物線的定義與幾何性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算求解直線斜率，體現(xiàn)直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的融合。12.綜合素養(yǎng)（開放題型）某同學(xué)在研究“函數(shù)$f(x)=x+\frac{a}{x}$（$a>0$）的單調(diào)性”時，通過求導(dǎo)得到$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}$，并得出“當(dāng)$x>\sqrt{a}$時，$f(x)$單調(diào)遞增”的結(jié)論。請你補(bǔ)充一個條件，使該結(jié)論成立：________。（注：補(bǔ)充條件需具體且合理）考查要點(diǎn)：通過開放性問題考查邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)批判性思維。三、解答題（本大題共6小題，共70分）13.（10分）邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算已知$\triangleABC$的內(nèi)角$A$，$B$，$C$的對邊分別為$a$，$b$，$c$，且滿足$\sinA+\sinB=2\sinC$，$a=2b$。（1）求$\cosC$的值；（2）若$\triangleABC$的面積為$\sqrt{15}$，求$c$的值?？疾橐c(diǎn)：運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決三角形問題，體現(xiàn)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的綜合應(yīng)用。14.（12分）數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析為了解某地區(qū)居民的日均鍛煉時間，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取100名居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：日均鍛煉時間（分鐘）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]頻數(shù)1020302515（1）求這100名居民日均鍛煉時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）若該地區(qū)有10萬居民，估計(jì)日均鍛煉時間不少于30分鐘的人數(shù)?？疾橐c(diǎn)：通過統(tǒng)計(jì)圖表處理數(shù)據(jù)，計(jì)算數(shù)字特征并進(jìn)行估計(jì)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。15.（12分）直觀想象與邏輯推理如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC$，$D$為$AB$的中點(diǎn)，$AA_1=AB=2AC=2$。（1）求證：$CD\perp$平面$A_1ABB_1$；（2）求二面角$A_1-CD-C_1$的余弦值?？疾橐c(diǎn)：通過空間幾何體的線面垂直證明與二面角計(jì)算，綜合考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。16.（12分）數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算某公司計(jì)劃生產(chǎn)一種新型產(chǎn)品，前期研發(fā)投入為50萬元，生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為20萬元/年，每生產(chǎn)$x$千件，需另投入可變成本$C(x)$萬元，且$C(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2+2x,&0<x<10\22x+\frac{200}{x}-150,&x\geq10\end{cases}$。每件產(chǎn)品的售價為40元，假設(shè)該產(chǎn)品當(dāng)年生產(chǎn)當(dāng)年銷售。（1）寫出年利潤$L(x)$（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量$x$（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司所獲年利潤最大？最大利潤是多少？考查要點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建分段函數(shù)模型，通過導(dǎo)數(shù)或基本不等式求解最值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。17.（12分）邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$OA\perpOB$，求證：直線$l$恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)?？疾橐c(diǎn)：通過橢圓的幾何性質(zhì)與直線和橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算證明定點(diǎn)問題，培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。18.（12分）綜合素養(yǎng)（壓軸題）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-\sinx$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）當(dāng)$a=1$時，證明：$f(x)\geq0$；（2）若$f(x)$在$(0,\pi)$上有且僅有一個極值點(diǎn)，求$a$的取值范圍；（3）設(shè)$g(x)=f(x)-f(-x)$，若對任意$x>0$，$g(x)>0$恒成立，求$a$的最大值?？疾橐c(diǎn)：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與不等式證明，綜合考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與創(chuàng)新思維，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的高階應(yīng)用。試卷設(shè)計(jì)說明：素養(yǎng)覆蓋：試卷通過選擇、填空、解答題的梯度設(shè)計(jì)，全面覆蓋數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，每個題目至少體現(xiàn)1