2025年下學期高中古典概型與幾何概型試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.基礎概念辨析下列試驗中，屬于古典概型的是（）A.拋擲一枚圖釘，觀察釘尖朝上的概率B.從52張撲克牌中隨機抽取一張，觀察花色C.在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機取一個實數(shù)，觀察其是否大于0.5D.某射手射擊一次，觀察命中的環(huán)數(shù)2.古典概型基本計算從數(shù)字1，2，3，4中隨機不放回地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和為奇數(shù)的概率是（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$3.幾何概型與長度度量在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)$x$，則$x\leq1$的概率為（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$4.古典概型與互斥事件同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件$A$為“點數(shù)之和為偶數(shù)”，事件$B$為“點數(shù)之和小于5”，則$P(A\cupB)$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{5}{9}$5.幾何概型與面積度量如圖，在邊長為4的正方形內(nèi)隨機投擲一顆豆子，則豆子落在陰影區(qū)域（由兩個半徑為2的四分之一圓組成）的概率為（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{8}$C.$1-\frac{\pi}{4}$D.$1-\frac{\pi}{8}$6.古典概型與排列組合從3名男生和2名女生中隨機選出2人參加演講比賽，則至少有1名女生的概率為（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$7.幾何概型與角度度量在等腰直角三角形$ABC$中，$\angleC=90^\circ$，在斜邊$AB$上任取一點$M$，則$AM<AC$的概率為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$8.古典概型與條件概率已知某密碼箱的密碼由4位數(shù)字組成，每位數(shù)字可從0~9中任選，若某人忘記了密碼的最后一位數(shù)字，則他隨機試一次密碼就能打開箱子的概率為（）A.$\frac{1}{10}$B.$\frac{1}{100}$C.$\frac{1}{1000}$D.$\frac{1}{10000}$9.幾何概型與體積度量在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)的概率為（）A.$\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4\pi}$C.$\frac{3}{4\pi}$D.$\frac{1}{4\pi}$10.古典概型與實際應用某班級有50名學生，其中30人喜歡數(shù)學，25人喜歡物理，15人既喜歡數(shù)學又喜歡物理，現(xiàn)隨機抽取1名學生，則該學生只喜歡數(shù)學的概率為（）A.$\frac{3}{10}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{2}{5}$11.幾何概型與隨機模擬利用隨機模擬方法近似計算函數(shù)$y=x^2$與$y=4$所圍成區(qū)域的面積時，若在區(qū)間[0,2]上產(chǎn)生1000個均勻隨機數(shù)$x$，其中有600個$x$滿足$x^2\leq4$，則可估計該區(qū)域面積為（）A.2.4B.3.2C.4.8D.6.412.古典概型與綜合應用甲、乙兩人玩“石頭、剪刀、布”游戲，約定每局勝者得1分，負者得0分，平局雙方各得0分，若兩人共玩3局，且每局勝負相互獨立，則甲恰好得2分的概率為（）A.$\frac{2}{9}$B.$\frac{4}{9}$C.$\frac{5}{27}$D.$\frac{10}{27}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.古典概型基本計算從字母$a,b,c,d$中任意取出兩個不同的字母，記事件$A$為“取到字母$a$”，則$P(A)=$________。14.幾何概型與長度度量在區(qū)間[0,6]上隨機取兩個數(shù)$x,y$，則$|x-y|\leq2$的概率為________。15.古典概型與放回抽樣一個口袋中裝有3個紅球和2個白球，每次從中隨機摸出1個球后放回，連續(xù)摸取3次，則至少有2次摸到紅球的概率為________。16.幾何概型與實際問題某公共汽車站每隔10分鐘發(fā)一班車，若某乘客隨機到達車站，則他等車時間不超過3分鐘的概率為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）古典概型基礎應用某商場舉辦抽獎活動，規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中裝有大小相同的紅球5個、白球3個，從中隨機抽取2個球。若抽到2個紅球，獲一等獎；若抽到1個紅球和1個白球，獲二等獎；若抽到2個白球，獲三等獎。（1）求獲一等獎的概率；（2）求獲獎的概率。18.（12分）幾何概型與角度問題在半徑為1的圓$O$中，弦$AB$的長為$\sqrt{2}$，點$C$為圓上任意一點，求$\angleACB\geq90^\circ$的概率。19.（12分）古典概型與排列組合綜合從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中隨機選取3個數(shù)字組成一個三位數(shù)（數(shù)字不重復），求：（1）該三位數(shù)是偶數(shù)的概率；（2）該三位數(shù)能被3整除的概率。20.（12分）幾何概型與面積綜合在平面直角坐標系中，設點$(x,y)$滿足$0\leqx\leq2$，$0\leqy\leq2$，求：（1）點$(x,y)$落在區(qū)域$x^2+y^2\leq4$內(nèi)的概率；（2）點$(x,y)$落在區(qū)域$|x-1|+|y-1|\leq1$內(nèi)的概率。21.（12分）古典概型與條件概率甲、乙兩人輪流投籃，甲先投，每人每次投中概率均為$\frac{1}{2}$，約定先投中者獲勝。（1）求甲在第1次投籃中獲勝的概率；（2）求甲在第3次投籃中獲勝的概率；（3）求甲最終獲勝的概率。22.（12分）概率模型綜合應用某中學為了解學生的體育鍛煉時間，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：鍛煉時間（小時/周）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8]人數(shù)10304020（1）從這100名學生中隨機選取1人，求其鍛煉時間不少于4小時的概率；（2）按鍛煉時間分層抽樣從[2,4)和[6,8]中選取5人，再從這5人中隨機選取2人，求兩人鍛煉時間都在[2,4)內(nèi)的概率。參考答案及評分標準（部分示例）一、選擇題B2.C3.C4.D5.A6.C7.A8.A9.A10.C11.B12.D二、填空題$\frac{1}{2}$14.$\frac{7}{9}$15.$\frac{81}{125}$16.$\frac{3}{10}$三、解答題（示例）17.解：（1）總基本事件數(shù)為$C_8^2=28$，獲一等獎的基本事件數(shù)為$C_5^2=10$，故$P(\text{一等獎})=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$。（5分）（2）獲獎的對立事件為“未獲獎”，即抽到2個白球，$P(\text{未獲獎})=\frac{C_3^2}{28}=\frac{3}{28}$，故$P(\text{獲獎})=1-\frac{3}{28}=\frac{25}{28}$。（10分）18.解：圓$O$的周長為$2\pi$，弦$AB$將圓分為優(yōu)弧和劣弧，其中劣弧$AB$所對的圓心角為$90^\circ$（即$\frac{\pi}{2}$），優(yōu)弧$AB$所對的圓心角為$270^\circ$（即$\frac{3\pi}{2}$）。（4分）當點$C$在劣弧$AB$上時，$\angleACB=135^\circ\geq90^\circ$；當點$C$在優(yōu)弧$AB$上時，$\angleACB=45^\circ<90^\circ$。（8分）故$P(\angleACB\geq90^\circ)=\frac{\text{劣弧}AB\text{長度}}{\text{圓周長}}=\frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi}=\frac{1}{4}$。（12分）22.解：（1）鍛煉時間不少于4小時的人數(shù)為$40+20=60$，故$P=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$。（4分）（2）分層抽樣從[2,4)（30人）和[6,8]（20人）中選取5人，其中[2,4)中選3人，[6,8]中選2人。（6分）記[2,4)中的3人為$A,B,C$，[6,8]中的2人為$D,E$，基本事件總數(shù)為$C_5^2=10$，兩人都在[2,4)內(nèi)的事件數(shù)為$C_3^2=3$，故$P=\frac{3}{10}$。（12分）命題說明：