2025年下學期高中數學個性化學習試卷一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x-12\leq0})，則(A\capB=)（）A.([-2,5))B.((1,5))C.([-2,3))D.((1,3))函數(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m+1,3))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.(-\frac{1}{2})B.(-2)C.(\frac{1}{2})D.(2)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.(10)B.(15)C.(20)D.(25)已知(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=2^{0.1})，則(a,b,c)的大小關系為（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(c<a<b)D.(c<b<a)從5名男生和4名女生中任選3人參加數學競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.(70)種B.(80)種C.(90)種D.(100)種已知等差數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3+a_7=18)，則(S_9=)（）A.(54)B.(81)C.(108)D.(126)已知函數(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(f(x))的極大值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，則(c=)（）A.(\sqrt{10})B.(\sqrt{13})C.(4)D.(5)已知函數(f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq0\\lnx,&x>0\end{cases})，若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），則(a+b+c)的取值范圍是（）A.((-1,1))B.((0,2))C.((1,3))D.((2,4))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若((x+\frac{1}{x})^n)的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則展開式中(x^2)的系數為________。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。已知隨機變量(X)服從正態(tài)分布(N(2,\sigma^2))，若(P(X<4)=0.8)，則(P(0<X<2)=)________。已知數列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則數列({a_na_{n+1}})的前(n)項和(S_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且(2\sinA\cosB=\sinC)。（1）求角(B)的大??；（2）若(b=2)，(c=2\sqrt{3})，求(\triangleABC)的面積。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A_1-BD-C_1)的余弦值。（12分）某學校為了解學生的數學學習情況，隨機抽取100名學生進行數學成績調查，得到如下頻率分布表：成績分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.100.200.300.250.10（1）求這100名學生數學成績的平均數和方差（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若從成績在[80,100]的學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范圍。（12分）已知函數(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(a=1)時，求函數(f(x))的單調區(qū)間；（2）若函數(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調遞減，求(a)的取值范圍。（12分）已知數列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數列({a_n-3^n})是等比數列；（2）求數列({a_n})的前(n)項和(S_n)。參考答案及解析（部分）一、單項選擇題B解析：由(\log_2(x-1)<2)得(1<x<5)，即(A=(1,5))；解不等式(x^2-4x-12\leq0)得(-2\leqx\leq6)，即(B=[-2,6])，故(A\capB=(1,5))。B解析：(f(x)=\frac{\tanx+1}{\tanx-1}=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right))，最小正周期為(\pi)。A解析：由(\vec{a}\perp\vec)得(2(m+1)+3m=0)，解得(m=-\frac{1}{2})。C解析：該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，體積(V=\pi\times2^2\times4+\frac{1}{3}\pi\times2^2\times3=20\pi)。A解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{a}\right)^2}=\sqrt{3})，得(\frac{a}=\sqrt{2})，漸近線方程為(y=\pm\sqrt{2}x)。B解析：程序框圖為求和(1+2+3+4+5=15)。A解析：(a=\log_32<\log_33=1)，(b=\ln2<1)，且(\log_32<\ln2)（因為(\log_32=\frac{1}{\log_23})，(\ln2=\frac{1}{\log_2e})，(\log_23>\log_2e)），(c=2^{0.1}>1)，故(a<b<c)。B解析：總選法數為(C_9^3=84)，全為男生的選法數為(C_5^3=10)，故至少有1名女生的選法數為(84-10=74)（注：原選項無74，此處修正為(C_9^3-C_5^3=74)，可能題目選項有誤）。B解析：(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(a_3+a_7)}{2}=\frac{9\times18}{2}=81)。A解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)，當(x<0)時(f'(x)>0)，當(0<x<2)時(f'(x)<0)，故極大值點為(x=0)。B解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=13)，得(c=\sqrt{13})。C解析：令(f(a)=f(b)=f(c)=t)，則(a=\log_2(t+1))（(t\in(-1,0])），(b,c)為方程(\lnx=t)的兩根，即(b=e^t)，(c=e^t)（此處修正為(b,c)為(\lnx=t)的兩根，即(b=e^t)，(c=e^t)不成立，應為(a<0)，(0<b<1)，(c>1)，且(2^a-1=\lnb=\lnc)，設(t=\lnb=\lnc)，則(a=\log_2(t+1))，(b=e^t)，(c=e^t)（矛盾，正確應為(b)和(c)關于(x=1)對稱，(b+c=2)，(a\in(-1,0))，故(a+b+c\in(1,2))，選項C最接近）。二、填空題210解析：由(C_n^2=C_n^6)得(n=8)，展開式通項為(T_{r+1}=C_8^rx^{8-2r})，令(8-2r=2)得(r=3)，系數為(C_8^3=56)（原答案210錯誤，修正為56）。(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})解析：圓(C:(x-1)^2+y^2=4)，圓心到直線距離(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})，由(d^2+(\sqrt{3})^2=2^2)得(d=1)，解得(k=0)或(k=-\frac{4}{3})（原答案錯誤，修正為(k=0)或(k=-\frac{4}{3})）。0.3解析：(P(X<0)=P(X>4)=0.2)，(P(0<X<2)=\frac{1-2\times0.2}{2}=0.3)。(\frac{n}{n+1})解析：(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1)，(\frac{1}{a_n}=n)，(a_n=\frac{1}{n})，(a_na_{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})，(S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1})。三、解答題（部分）（1）由(2\sinA\cosB=\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB)，得(\sinA\cosB=\cosA\sinB)，即(\tanB=1)，故(B=\frac{\pi}{4})。（2）由正弦定理(\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC})，得(\sinC=\frac{c\sinB}=\frac{2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2})（無解，修正為(\sinC=\frac{c\sinB}=\frac{2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}>1)，題目數據錯誤，應改為(c=\sqrt{6})，則(\sinC=\frac{\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(C=\frac{\pi}{3})或(\frac{2\pi}{3})，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2})）。（1）連接(A_1B)，(A_1C_1)，由(D,E)分別為(BC,B_1C_1)中點，得(DE\parallelA_1B)，又(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，故(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（2）以(A)為原點，(AB,AC,AA_1)為坐標軸建立空間直角坐標系，(A_1(0,0,2))，(B(2,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，求出平面(A_1BD)和平面(C_1BD)的法向量，計算二面角余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})。（1）平均數(\bar{x}=45\times0.05+55\times0.1+65\times0.2+75\times0.3+85\times0.25+95\times0.1=73)，方差(s^2=(45-73)^2\times0.05+\cdots+(95-73)^2\times0.1=169)。（2）成績在[80,90)的學生有25人，[90,100]的有10人，總選法數(C_{35}^2=595)，至少1人在[90,100]的選法數為(C_{10}^1C_{25}^1+C_{10}^2=250+45=295)，概率(P=\frac{295}{595}=\frac{59}{119})。（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，代入點((2,1))得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入韋達定理得(5m^2=8k^2+8)，結合判別式(\Delta>0)，得(m^2\geq\frac{8}{5})。（1）當(a=1)時，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(f'(x)=0)得(x=1)，當(0<x<1)時(f'(x)>0)，當(x>1)時(f'(x)<0)，故單調遞增區(qū)間為((0,1))，單調遞減區(qū)間為((1,+\i