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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)不等式思想理解試卷一、單選題(共8小題,每題5分,共40分)不等式(x^2-3x-10\leq0)的解集是()A.((-\infty,-2]\cup[5,+\infty))B.([-2,5])C.((-2,5))D.((-\infty,-2)\cup(5,+\infty))解析:原不等式可化為((x-5)(x+2)\leq0),結(jié)合二次函數(shù)圖像,解集為兩根之間(含端點),即([-2,5])。答案:B。已知(a>b>0),則下列不等式成立的是()A.(a^2<b^2)B.(\frac{1}{a}>\frac{1})C.(ac^2>bc^2)((c\in\mathbb{R}))D.(a+\frac{1}>b+\frac{1}{a})解析:由(a>b>0)得(\frac{1}>\frac{1}{a}),兩式相加得(a+\frac{1}>b+\frac{1}{a})。選項C中,當(dāng)(c=0)時不成立。答案:D。若正實數(shù)(x,y)滿足(x+2y=4),則(xy)的最大值為()A.1B.2C.4D.8解析:由基本不等式得(x+2y\geq2\sqrt{2xy}),即(4\geq2\sqrt{2xy}),解得(xy\leq2),當(dāng)且僅當(dāng)(x=2y=2)時等號成立。答案:B。設(shè)變量(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x\geq0\y\geq0\x+y\leq1\end{cases}),則(z=x-2y)的最大值為()A.-1B.0C.1D.2解析:可行域為直角三角形,頂點為((0,0))、((1,0))、((0,1))。代入目標(biāo)函數(shù)得(z)最大值為(1-0=1)。答案:C。不等式(\frac{x-1}{x+2}\leq0)的解集是()A.([-2,1])B.((-2,1])C.((-\infty,-2)\cup[1,+\infty))D.((-\infty,-2]\cup[1,+\infty))解析:分式不等式等價于((x-1)(x+2)\leq0)且(x+2\neq0),解得(-2<x\leq1)。答案:B。已知(a,b\in\mathbb{R}),且(a+b=1),則(a^2+b^2)的最小值為()A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.1D.2解析:由(a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2}),當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=\frac{1}{2})時等號成立。答案:B。若關(guān)于(x)的不等式(x^2-ax+1>0)在(\mathbb{R})上恒成立,則實數(shù)(a)的取值范圍是()A.((-2,2))B.([-2,2])C.((-\infty,-2)\cup(2,+\infty))D.((-\infty,-2]\cup[2,+\infty))解析:判別式(\Delta=a^2-4<0),解得(-2<a<2)。答案:A。已知(x>2),則函數(shù)(y=x+\frac{4}{x-2})的最小值為()A.4B.6C.8D.10解析:令(t=x-2>0),則(y=t+\frac{4}{t}+2\geq2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}+2=6),當(dāng)(t=2)即(x=4)時等號成立。答案:B。二、多選題(共4小題,每題5分,共20分)下列命題中正確的有()A.若(a>b),則(ac^2>bc^2)B.若(a<b<0),則(a^2>ab>b^2)C.若(a>b>0),則(\sqrt{a}>\sqrt)D.若(a>b>0),則(\frac{b+1}{a+1}>\frac{a})解析:A中(c=0)時不成立;B中由(a<b<0)得(a^2>ab)且(ab>b^2);C由不等式性質(zhì)成立;D中作差得(\frac{a(b+1)-b(a+1)}{a(a+1)}=\frac{a-b}{a(a+1)}>0)。答案:BCD。設(shè)正實數(shù)(a,b)滿足(a+b=1),則下列說法正確的有()A.(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4)B.(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2})C.(a^2+b^2\geq\frac{1}{2})D.(ab+\frac{1}{ab}\geq\frac{17}{4})解析:A中(\frac{1}{a}+\frac{1}=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1})=2+\frac{a}+\frac{a}\geq4);B中((\sqrt{a}+\sqrt)^2=a+b+2\sqrt{ab}\leq2);C中(a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2});D中(ab\leq\frac{1}{4}),令(t=ab\in(0,\frac{1}{4}]),函數(shù)(y=t+\frac{1}{t})在((0,1])遞減,故(y\geq\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4})。答案:ABCD。三、填空題(共4小題,每題5分,共20分)若不等式(|x-1|<2)的解集為________。解析:由(-2<x-1<2)得(-1<x<3)。答案:((-1,3))。已知(x>0),則(x+\frac{4}{x}-1)的最小值為________。解析:由基本不等式得(x+\frac{4}{x}\geq4),故原式最小值為(4-1=3)。答案:3。若關(guān)于(x)的不等式(x^2-mx+4>0)對一切(x\in(0,+\infty))恒成立,則實數(shù)(m)的取值范圍是________。解析:分離參數(shù)得(m<x+\frac{4}{x}),由(x+\frac{4}{x}\geq4)得(m<4)。答案:((-\infty,4))。設(shè)(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}2x-y+1\geq0\x-2y-1\leq0\x\leq1\end{cases}),則(z=2x+y)的最小值為________。解析:可行域頂點為((-1,-1))、((1,0))、((1,3)),代入得(z)最小值為(2(-1)+(-1)=-3)。答案:-3。四、解答題(共6小題,共70分)(10分)解不等式組(\begin{cases}x^2-4x+3<0\\frac{x+1}{x-2}\leq0\end{cases})。解析:解(x^2-4x+3<0)得(1<x<3);解(\frac{x+1}{x-2}\leq0)得(-1\leqx<2)。取交集得((1,2))。答案:((1,2))。(12分)已知正實數(shù)(a,b)滿足(2a+b=1),求(\frac{1}{a}+\frac{2})的最小值。解析:(\frac{1}{a}+\frac{2}=(2a+b)(\frac{1}{a}+\frac{2})=4+\frac{a}+\frac{4a}\geq4+2\sqrt{4}=8),當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{a}=\frac{4a})即(b=2a=\frac{1}{2})時等號成立。答案:8。(12分)某工廠要建造一個長方體無蓋蓄水池,容積為(4800m^3),深為(3m)。如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?解析:設(shè)池底長(xm),寬(ym),則(3xy=4800\Rightarrowxy=1600)??傇靸r(W=150xy+120\times2(3x+3y)=240000+720(x+y))。由基本不等式得(x+y\geq2\sqrt{xy}=80),故(W\geq240000+720\times80=297600)元,當(dāng)(x=y=40m)時等號成立。答案:池底為邊長40m的正方形時造價最低,最低造價297600元。(12分)已知函數(shù)(f(x)=|x-2|+|x+1|)。(1)求不等式(f(x)\leq5)的解集;(2)若(f(x))的最小值為(m),正實數(shù)(a,b)滿足(a+b=m),求證:(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq\frac{4}{3})。解析:(1)(f(x)=\begin{cases}-2x+1&(x<-1)\3&(-1\leqx\leq2)\2x-1&(x>2)\end{cases}),解得(-2\leqx\leq3)。(2)(m=3),(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{3}(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1})=\frac{1}{3}(2+\frac{a}+\frac{a})\geq\frac{4}{3})。答案:(1)([-2,3]);(2)見解析。(12分)已知函數(shù)(f(x)=ax^2-(a+2)x+2)。(1)若(a=1),解不等式(f(x)<0);(2)若(a>0),求關(guān)于(x)的不等式(f(x)>0)的解集。解析:(1)當(dāng)(a=1)時,(f(x)=(x-1)(x-2)<0),解集為((1,2))。(2)(f(x)=(ax-2)(x-1)>0),對應(yīng)方程根為(x_1=\frac{2}{a}),(x_2=1)。當(dāng)(\frac{2}{a}>1)((0<a<2))時,解集為((-\infty,1)\cup(\frac{2}{a},+\infty));當(dāng)(\frac{2}{a}=1)((a=2))時,解集為((-\infty,1)\cup(1,+\infty));當(dāng)(\frac{2}{a}<1)((a>2))時,解集為((-\infty,\frac{2}{a})\cup(1,+\infty))。答案:(1)((1,2));(2)見解析。(12分)已知正實數(shù)(x,y,z)滿足(x+y+z=1),求證:(1)(xyz\leq\frac{1}{27});(2)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq9)。解析:(1)由基本不等式得(x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}),即(1\geq3\sqrt[3]{xyz}),解得(xyz\leq\frac{1}{27})。(2)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac
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