2025年下學(xué)期高中非線性學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知變量x與y的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)曲線分布，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)y與x的倒數(shù)存在線性相關(guān)關(guān)系。若令u=1/x，得到回歸方程為?=2u+3，則原變量x與y的非線性回歸方程為（）A.?=2/x+3B.?=2x+3C.?=3x+2D.?=3/x+2某同學(xué)對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸分析，嘗試了指數(shù)函數(shù)y=ae??、對(duì)數(shù)函數(shù)y=a+blnx和二次函數(shù)y=ax2+bx+c三種模型，計(jì)算得到相應(yīng)的決定系數(shù)R2分別為0.89、0.94和0.81，則擬合效果最好的模型是（）A.指數(shù)函數(shù)模型B.對(duì)數(shù)函數(shù)模型C.二次函數(shù)模型D.無法確定在非線性回歸分析中，殘差平方和SSE與總偏差平方和SST的關(guān)系是（）A.SSE>SSTB.SSE=SSTC.SSE<SSTD.不確定某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，其成本y（萬元）與產(chǎn)量x（千件）的關(guān)系經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系。已知當(dāng)x=1時(shí)y=5；x=2時(shí)y=12；x=3時(shí)y=21，則該二次回歸模型的方程為（）A.y=x2+2x+2B.y=2x2+x+2C.y=x2+3x+1D.y=2x2+2x+1對(duì)具有非線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，下列說法正確的是（）A.必須先進(jìn)行變量變換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系B.可以直接建立非線性回歸方程C.相關(guān)系數(shù)r越接近1，非線性相關(guān)性越強(qiáng)D.殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越寬，擬合效果越好某地區(qū)近10年的人均GDP（萬元）與恩格爾系數(shù)（%）的散點(diǎn)圖顯示兩者呈曲線相關(guān)，計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.92，由此可判斷（）A.兩者具有極強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系B.兩者具有極強(qiáng)的非線性相關(guān)關(guān)系C.人均GDP每增加1萬元，恩格爾系數(shù)平均下降0.92%D.無法判斷兩者的相關(guān)程度在對(duì)某商品的價(jià)格x（元）與銷量y（件）進(jìn)行非線性回歸分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：|x|10|20|30|40|50||---|----|----|----|----|----||y|80|40|27|20|16|若采用模型y=a/x+b進(jìn)行擬合，則a，b的估計(jì)值最可能是（）A.a=800，b=0B.a=800，b=10C.a=1000，b=0D.a=1000，b=5下列關(guān)于非線性回歸與線性回歸的說法，錯(cuò)誤的是（）A.兩者都需要進(jìn)行殘差分析來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合效果B.非線性回歸可以通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性回歸C.線性回歸的相關(guān)系數(shù)r可以直接用于衡量非線性相關(guān)關(guān)系D.兩種回歸模型都需要滿足隨機(jī)誤差項(xiàng)的基本假設(shè)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某生物實(shí)驗(yàn)室觀察酵母菌種群數(shù)量變化，發(fā)現(xiàn)其增長(zhǎng)規(guī)律符合Logistic模型N(t)=K/(1+e????????)。已知當(dāng)t=0時(shí)N=100；t=10時(shí)N=500；t→∞時(shí)N=1000，則該模型中的參數(shù)K=，a=。對(duì)一組非線性數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，得到回歸方程?=3lnx+2，當(dāng)x=e2時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為______；當(dāng)x增加e倍時(shí)，y的平均變化量為______。某種藥物在人體內(nèi)的濃度c（mg/L）隨時(shí)間t（h）變化的曲線符合指數(shù)衰減模型c=ce???。若初始濃度c?=20mg/L，2小時(shí)后濃度為10mg/L，則衰減系數(shù)k=______，藥物濃度降至5mg/L需要的時(shí)間為______小時(shí)。某同學(xué)對(duì)非線性回歸模型進(jìn)行殘差分析，計(jì)算得到殘差平方和SSE=25，總偏差平方和SST=100，則該模型的決定系數(shù)R2=，說明解釋變量能解釋響應(yīng)變量%的變異。三、解答題（本大題共6小題，共90分）（14分）某電商平臺(tái)研究商品定價(jià)與日銷量的關(guān)系，收集到以下數(shù)據(jù)：|價(jià)格x（元）|20|30|40|50|60|70||-------------|----|----|----|----|----|----||銷量y（件）|150|120|100|85|75|68|（1）繪制散點(diǎn)圖判斷x與y的關(guān)系類型；（2）嘗試建立y與x的非線性回歸模型（至少兩種），并通過殘差分析選擇最優(yōu)模型；（3）若該商品成本為20元/件，利用最優(yōu)模型預(yù)測(cè)定價(jià)多少時(shí)利潤(rùn)最大。（15分）某氣象站記錄了海拔高度h（km）與氣溫T（℃）的數(shù)據(jù)：|海拔h（km）|0|1|2|3|4|5||-------------|----|----|----|----|----|----||氣溫T（℃）|25|19|13|7|1|-5|（1）判斷氣溫與海拔高度的關(guān)系類型，建立適當(dāng)?shù)幕貧w模型；（2）計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2，評(píng)價(jià)模型擬合效果；（3）預(yù)測(cè)海拔6km處的氣溫，若登山隊(duì)攜帶的保暖裝備能承受-15℃的低溫，判斷能否安全攀登海拔8km的山峰。（15分）某城市研究居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系，收集到10戶家庭的月收入x（千元）與月消費(fèi)y（千元）數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：Σx=50，Σy=30，Σx2=290，Σy2=100，Σxy=170，且散點(diǎn)圖顯示兩者呈曲線關(guān)系，嘗試建立y與√x的線性回歸模型。（1）進(jìn)行變量變換u=√x，建立y關(guān)于u的線性回歸方程；（2）計(jì)算該非線性回歸模型的決定系數(shù)R2；（3）若某家庭月收入為8100元，預(yù)測(cè)其月消費(fèi)支出，并解釋模型的實(shí)際意義。（16分）某企業(yè)研發(fā)新型材料，測(cè)試其強(qiáng)度y（MPa）與固化時(shí)間t（h）的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下：|時(shí)間t（h）|1|2|3|4|5|6|7|8||------------|----|----|----|----|----|----|----|----||強(qiáng)度y（MPa）|10|25|42|58|70|78|83|86|（1）判斷強(qiáng)度與時(shí)間的關(guān)系類型（線性、指數(shù)、對(duì)數(shù)或二次）；（2）選擇合適的非線性模型進(jìn)行擬合，寫出回歸方程；（3）計(jì)算各數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差，繪制殘差圖并分析模型擬合效果；（4）預(yù)測(cè)材料達(dá)到90MPa強(qiáng)度所需的固化時(shí)間。（15分）某生態(tài)保護(hù)區(qū)記錄了某種鳥類數(shù)量N（百只）與年份t（以2015年為t=0）的數(shù)據(jù)：|年份t|0|1|2|3|4|5|6||-------|----|----|----|----|----|----|----||數(shù)量N|5|8|13|20|29|38|45|（1）嘗試建立N關(guān)于t的二次函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型；（2）通過殘差平方和比較兩種模型的擬合效果；（3）若采用指數(shù)增長(zhǎng)模型N=ae??，預(yù)測(cè)2025年該鳥類的數(shù)量，并分析模型的局限性。（15分）某科研團(tuán)隊(duì)研究植物生長(zhǎng)高度h（cm）與光照強(qiáng)度I（千勒克斯）的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：|光照I|1|2|3|4|5|6|7|8||-------|----|----|----|----|----|----|----|----||高度h|5|12|20|26|30|33|35|36|（1）建立h關(guān)于I的Logistic生長(zhǎng)模型h=K/(1+e?????)；（2）計(jì)算模型參數(shù)K、a、b的估計(jì)值；（3）分析該模型的生物學(xué)意義，解釋當(dāng)光照強(qiáng)度無限增加時(shí)植物高度的變化趨勢(shì)。四、附加題（本大題共1小題，共20分）某投資公司研究股票價(jià)格波動(dòng)規(guī)律，收集到某股票連續(xù)100天的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)價(jià)格走勢(shì)符合GARCH模型（廣義自回歸條件異方差模型）。已知模型表達(dá)式為：r?=μ+ε?σ?2=ω+αε???2+βσ???2其中r?為日收益率，ε?為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，σ?2為條件方差。（