2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與邏輯設(shè)集合(A={x\mid\log_2(x-1)<1})，集合(B={x\midx^2-4x+3\leq0})，則(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B))等于（）A.((1,2))B.((2,3))C.([1,2))D.((2,3])2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3(a-1)x+1)在區(qū)間((1,2))上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.(a\geq2)B.(a>2)C.(a\leq1)D.(a<1)3.三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的面積為（）A.(2\sqrt{2})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(5\sqrt{2})4.數(shù)列與不等式已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則數(shù)列({a_n+n})的前(n)項(xiàng)和為（）A.(2^n-1+\frac{n(n+1)}{2})B.(2^{n+1}-2+\frac{n(n+1)}{2})C.(2^n-1+\frac{n(n-1)}{2})D.(2^{n+1}-2+\frac{n(n-1)}{2})5.立體幾何在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(E,F)分別為棱(A_1D_1,C_1D_1)的中點(diǎn)，則直線(BE)與平面(BDF)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{3})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(\frac{\sqrt{3}}{2})6.解析幾何已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)(A)，若(|AF|=2|OF|)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{3})B.(2)C.(\sqrt{5})D.(3)7.概率與統(tǒng)計(jì)某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：頻率分布直方圖中，組距為1小時(shí)，區(qū)間分別為[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5]）若將頻率視為概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記(X)為鍛煉時(shí)間在[2,4)小時(shí)內(nèi)的人數(shù)，則(X)的數(shù)學(xué)期望(E(X))為（）A.1.2B.1.5C.1.8D.2.18.復(fù)數(shù)與向量已知復(fù)數(shù)(z=\frac{1+i}{1-i})，向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(z,|z|))，則(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol)等于（）A.1+iB.3C.2+iD.49.立體幾何與空間向量在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，則異面直線(A_1B)與(AC_1)所成角的余弦值為（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{2}}{2})C.(\frac{\sqrt{3}}{3})D.(\frac{1}{3})10.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)，若對(duì)任意(x\geq0)，都有(f(x)\geq0)，則實(shí)數(shù)(a)的最大值為（）A.1B.2C.eD.(e^2)11.圓錐曲線與直線的位置關(guān)系已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=8)，則直線(l)的方程為（）A.(y=x-1)或(y=-x+1)B.(y=\sqrt{3}(x-1))或(y=-\sqrt{3}(x-1))C.(y=2(x-1))或(y=-2(x-1))D.(y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1))或(y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1))12.創(chuàng)新題型：數(shù)學(xué)文化與實(shí)際應(yīng)用《九章算術(shù)》中記載了“芻甍”（chúméng）的體積計(jì)算方法：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也；甍，屋蓋也.”現(xiàn)有一個(gè)芻甍，下底面為矩形，長為6，寬為4，上棱與下底面的長邊平行，長度為2，且上棱到下底面的距離為3，則該芻甍的體積為（）A.24B.36C.48D.60二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.二項(xiàng)式定理((x^2-\frac{2}{x})^5)的展開式中，(x^4)的系數(shù)為________.14.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線(y=xe^x)在點(diǎn)((1,e))處的切線方程為________.15.橢圓與圓的綜合已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1)).若圓(O:x^2+y^2=r^2)與橢圓(C)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則半徑(r)的值為________.16.數(shù)列與不等式的創(chuàng)新應(yīng)用已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，設(shè)(b_n=\frac{1}{a_n})，則使得(b_1+b_2+\cdots+b_n\geq2025)成立的最小正整數(shù)(n)為________.三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(c=2).（1）求邊(c)上的中線長的取值范圍；（2）若(\triangleABC)的面積為(\frac{4}{3}\sqrt{3})，求角(C)的大小.18.（本小題滿分12分）立體幾何如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為菱形，(\angleABC=60^\circ)，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(E)為(PC)的中點(diǎn).（1）證明：(BE\parallel)平面(PAD)；（2）求二面角(E-BD-C)的余弦值.19.（本小題滿分12分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1(a\in\mathbb{R})).（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)(x_1,x_2(x_1<x_2))，證明：(x_1+x_2>\frac{2}{a}).20.（本小題滿分12分）概率與統(tǒng)計(jì)某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品三個(gè)等級(jí).已知生產(chǎn)一件一等品的概率為(\frac{1}{2})，二等品的概率為(\frac{1}{3})，次品的概率為(\frac{1}{6}).每件產(chǎn)品的利潤分別為：一等品50元，二等品30元，次品虧損10元.（1）求生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤；（2）若該工廠每天生產(chǎn)100件產(chǎn)品，記(X)為當(dāng)天的利潤（單位：元），求(X)的數(shù)學(xué)期望和方差；（3）若從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件一等品的概率.21.（本小題滿分12分）圓錐曲線已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{1}{2})，點(diǎn)(P)在橢圓(C)上，且(\trianglePF_1F_2)的周長為6.（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{3}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值.22.（本小題滿分12分）數(shù)列與不等式的創(chuàng)新綜合已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n+1).（1）證明：數(shù)列({a_n+n+2})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)(b_n=\frac{a_n}{2^n})，數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，證明：(S_n<3).參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、選擇題A2.A3.A4.B5.B6.B7.C8.B9.D10.A11.A12.C二、填空題-4014.(y=2ex-e)15.(\sqrt{2})16.2025三、解答題（1）中線長的取值范圍為((\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{3}{2}))；（2）(C=\frac{\pi}{3}).（1）提示：取(PD)中點(diǎn)(F)，證明四邊形(ABEF)為平行四邊形；（2）二面角的余弦值為(\frac{\sqrt{5}}{5}).（1）當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x))在((0,\frac{1}{a}))上單調(diào)遞增，在((\frac{1}{a},+\infty))上單調(diào)遞減；（2）提示：構(gòu)造函數(shù)(g(x)=f(\frac{2}{a}-x)-f(x))，證明其在((0,\frac{1}{a}))上單調(diào)遞增.（1）平均利潤為(\frac{100}{3})元；（2）(E(X)=\frac{10000}{3})元，(D(X)=\frac{160000}{9})；（3）概率為(\frac{1}{4}).（1）橢圓方程為(\fra