第一章勾股定理（壓軸專練）（九大題型）題型1：折疊問題1．如圖，在中，，，．點是上的點，且，點和點分別是邊和邊上的兩點，連接．將沿折疊，使得點恰好落在上的點處，與交于點，則的長為．2．如圖，，分別為銳角邊，上的點，把沿折疊，點落在所在平面內(nèi)的點處．(1)如圖1，點在的內(nèi)部，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，，折疊后點在直線上方，與交于點，且，求折痕的長．(3)如圖3，若折疊后，直線，垂足為點，且，，求此時的長．3．如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長．(2)點E是BC邊上的動點，點D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點E是BC中點時，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時，求BE的長．4．如圖①，在長方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段DC向終點C運動，運動時間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長方形的對邊平行且相等，四個角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點B，求出此時t的值；(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點F時，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由；(3)在動點P從點D到點C的整個運動過程中，若點E到直線AB的距離等于3，則此時t=___________．題型2：勾股定理與全等三角形5．如圖，過邊長為6的等邊的頂點A作直線，點D在直線l上（不與點A重合），作射線，將射線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后交直線于點E．(1)如圖1，點D在點A的左側(cè)，點E在邊上，求證：．(2)如圖2，點D在點A的右側(cè)，點E在邊的延長線上，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明：若不成立，寫出你的結(jié)論，再證明．(3)如圖3，點E在邊的反向延長線上，若，請直接寫出線段的長．6．如圖1，中，，D，E是直線上兩動點，且．探究線段、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，…請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：(1)猜想、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖3，當(dāng)動點在線段上，動點運動在線段延長線上時，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．7．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，請在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點在線段上且頂點在線段上時，過點作，垂足為點，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點在線段上且頂點在線段上時，若，，連接，則的面積為．8．【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【初步運用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長．【靈活運用】（4）如圖3，在中，，D為中點，，交于點E，交于點F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．題型3：勾股定理的實際應(yīng)用9．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明門庭若市，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，，．請用a、b、c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：______，______，______，則它們滿足的關(guān)系式為______，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．知識運用：（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個供應(yīng)站P，使得，求出的距離．知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值．10．綜合與實踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個臺階兩個相對的端點．【探究實踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到B點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經(jīng)過計算得到長度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm，高是8cm，若螞蟻從點A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計）11．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】①如圖1，中，，為邊上的中點，連接．設(shè)的面積和周長分別為和，的面積和周長分別為和，則，．（填“>”，“<”或“”）②如圖2，中，、是邊上的兩點，若，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）【問題延伸】如圖3，四邊形中，，，若的長度為6，求出四邊形的面積．（3）【問題解決】國際港務(wù)區(qū)計劃將一塊四邊形空地開發(fā)為小型公園，空地的示意圖如圖4所示．其中，，，．現(xiàn)計劃將點處設(shè)置為公園的入口，在邊上設(shè)置一個出口，并修建一條貫穿整個公園的小路．根據(jù)規(guī)劃，要求小路將整個公園分成兩塊面積相同和周長相同的區(qū)域（即與四邊形的周長和面積都相同），施工隊能否按照規(guī)劃修建出這條小路？若能，請求出的長度；若不能，請說明理由．（小路的寬度忽略不計）題型4：勾股定理的證明、與弦圖有關(guān)的計算題12．閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應(yīng)用．出入相補原理是中國古代數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內(nèi)容：一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和．基于以上原理，回答問題：(1)把邊長為8的正方形按圖1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把圖形重新拼成圖2中長為13，寬為5的長方形；(2)如圖3，a，b，c分別表示直角三角形的三邊，比較大?。篴2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)觀察圖4，寫出（ac＋bd）2與（a2＋b2）（c2＋d2）的大小關(guān)系：______．13．閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數(shù)學(xué)等式：，化簡證得勾股定理：．(1)【初步運用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；(2)【初步運用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為；(3)【初步運用】如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．(4)【初步運用】如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．(5)【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程（知識補充：如圖6，含60°的直角三角形，對邊y：斜邊x＝定值k）．14．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．15．【材料閱讀】我國古人對勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：，得，則，得到：．從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），則【問題解決】如圖2，已知的三邊長分別為，如何計算的面積？據(jù)記載，古人是這樣計算的：作邊上的高．以的長為斜邊和直角邊作（如圖3），其中．

(1)用古人的方法計算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計算過程；(3)你還有其他計算的面積的方法嗎？寫出解答過程．題型5：勾股定理與特殊三角形16．如圖1，等邊的邊長為，點是直線上異于，的一動點，連接，以為邊長，在右側(cè)作等邊，連接．【初步感知】（1）求證：；【類比探究】（2）當(dāng)點在直線上運動時，①與的數(shù)量關(guān)系是；②的周長是否存在最小值？若存在，求此時的長；若不存在，說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)點在直線上運動時，能否形成直角三角形？若能，請直接寫出此時的長；若不能，說明理由．17．在和中，點在邊上，，，．(1)如圖1，當(dāng)時，連接，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)時，過點作的垂線并延長，交于點，若，，求線段的長．18．閱讀下面材料，并解決問題：(1)如圖①等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出；(2)基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖②，中，，，E，F(xiàn)為上的點且，求證：；(3)能力提升如圖③，在中，，，，點O為內(nèi)一點，連接，，，且，求的值．題型6：勾股定理與數(shù)軸19．閱讀材料，完成任務(wù)．材料1：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想．按照圖1所示將兩個邊長為1的小正方形進行剪拼（無縫隙不重疊的拼接）成一個大的正方形，可以得到無理數(shù)；按照圖2和圖3所示的兩種剪拼方法將一個邊長為1的正方形和一個邊長為2的正方形剪拼出一個大正方形，可以得到無理數(shù)m．材料2：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．要在數(shù)軸上找到表示的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段．如圖4，正方形的邊長為1個單位長度，以原點O為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點A，，則點A對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為．類似的，我們可以在數(shù)軸上找到表示任意無理數(shù)的點．材料3：如圖5，改變圖4中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與，其中O仍在原點，點B，分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長得到點B，所表示的無理數(shù)．按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點．任務(wù)：(1)材料1中，無理數(shù)m是________，畫圖確定表示m的點M；(2)如圖5，點B表示的數(shù)為________，點表示的數(shù)為________；(3)數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及的點，并比較它們的大?。?4)若，，求代數(shù)式的值，并在數(shù)軸上表示對應(yīng)的點．題型7：表格類素材題20．受全球氣候變暖影響，今年深圳的雨水特別多．據(jù)悉，不止深圳，整個華南地區(qū)暴雨形成“列車效應(yīng)”．雨水增多導(dǎo)致雨傘的需求量大大增加．下圖是某型號雨傘的結(jié)構(gòu)圖．

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)，探究雨傘中的數(shù)學(xué)問題素材1圖1是這個雨傘的示意圖．不管是張開還是收攏，是傘柄，傘骨且，，D點為傘圈．傘完全張開時，如圖1所示．

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動，如圖2是完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D滑動到的位置，且三點共線．測得（參考值：）．

素材3同學(xué)們經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線與地面夾角為，小田站在傘圈D點的正下方點G處，記為，此時發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測得．

問題解決任務(wù)1判斷AP位置求證：是的角平分線．任務(wù)2探究傘圈移動距離當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動的距離（精確到）．任務(wù)3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離_____，使得人站在G處身上不被雨淋濕，（直接寫出答案）題型8：最值問題21．如圖所示，是等邊三角形，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接平分交于點E．(1)若，求的長；(2)以為邊作，，連接，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)若點P是直線上的一動點，將沿著進行翻折得到，連接，將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，當(dāng)最小時，直接寫出的值．22．如圖1所示，點在線段上，分別以為一邊，在線段的上方，作等邊和等邊，連接，它們交于點．(1)容易判斷，與的數(shù)量關(guān)系為______，它們所夾銳角的大小為______度；(2)探究：把圖1中的等邊三角形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，變成圖2，線段的延長線與交于點．請你判斷與的數(shù)量關(guān)系及的大小，并給出證明過程；(3)應(yīng)用：如圖3所示，點在線段上，，在的上方作等邊三角形（的大小和位置可以改變），連接．請直接寫出的最小值．題型9：動點、旋轉(zhuǎn)問題23．如圖1，有等邊和等邊，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形．

(1)求證：；(2)如圖3，若，，且旋轉(zhuǎn)角為時，求的度數(shù)；(3)如圖4，連接，并延長交于點F，若旋轉(zhuǎn)至某一位置時，恰有，，求的值．24．如圖，和中，．(1)如圖1，若，．點A、B、D共線時，，求的度數(shù)．(2)如圖2，，，且點A、B、D不共線時，點H為線段的中點，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，若，．點A、B、D不共線時，點G為的中點，繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，連接，若，，直接寫出線段的最大值．25．如圖，在中，，點是邊上的動點（不與點、重合），把沿過點的直線折疊，點的對應(yīng)點是點，折痕為．

(1)若點恰好在邊上．①如圖1，當(dāng)時，連接，求證：．②如圖2，當(dāng)，且，，求與的周長差．(2)如圖3，點在邊上運動時，若直線始終垂直于，的面積是否變化？請說明理由．

第一章勾股定理（壓軸專練）（九大題型）題型1：折疊問題1．如圖，在中，，，．點是上的點，且，點和點分別是邊和邊上的兩點，連接．將沿折疊，使得點恰好落在上的點處，與交于點，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)，，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，，然后設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理，得出，解出即可得出，再根據(jù)勾股定理，即可得出的長．【解析】解：∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∵沿折疊，使得點恰好落在上的點處，∴，，，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得：，∴，在中，．故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在應(yīng)用勾股定理列出方程解決問題．2．如圖，，分別為銳角邊，上的點，把沿折疊，點落在所在平面內(nèi)的點處．(1)如圖1，點在的內(nèi)部，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，，折疊后點在直線上方，與交于點，且，求折痕的長．(3)如圖3，若折疊后，直線，垂足為點，且，，求此時的長．【答案】(1)(2)(3)或10【分析】（1）根據(jù)折疊知，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；（2）根據(jù)，由等邊對等角可得，設(shè)度，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，建立一元一次方程解方程求解即可求得，過作于，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得的長；（3）①當(dāng)點在上方時，②當(dāng)點在下方時，設(shè)，則，勾股定理求解即可；【解析】（1）由折疊知，，同理得，∴.（2）如圖，∵，∴，設(shè)度，∵，∴度，∴，解得，即，過作于，∵，∴，∴.（3）當(dāng)點在上方時，如圖3-1∵，，直線，∴，設(shè)，則，又由折疊知：，，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得解得，即；當(dāng)點在下方時，如圖3-2由折疊知：，，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，即.【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角求角度，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長．(2)點E是BC邊上的動點，點D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點E是BC中點時，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時，求BE的長．【答案】(1)8(2)①14.4；②307或2或【分析】（1）如圖，過A作AT⊥BC于T,再求解BT=CT=6,再利用勾股定理求解高線長即可；（2）①如圖，連接AE,利用等腰三角形的三線合一證明AE⊥BC,BE=CE=6,求解AE=8,可得S△ABE=12AE·BE=24,證明S△BDES△ADE=64=32,【解析】（1）解：如圖，過A作AT⊥BC于T,∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BT=CT=6,AT=10所以BC邊上的高線長為8.（2）解：①如圖，連接AE,∵AB=AC=10,BC=12,E為BC的中點，∴AE⊥BC,BE=CE=6,由（1）得：AE=8,∴S∵AD=4,則BD=10?4=6,∴S∴S②當(dāng)DF⊥AB時，由對折可得：∠BDE=∠FDE=45°,過A作AT⊥BC于T,連接DT,過D作DK⊥BC于K,過E作EN⊥AB于N,由①得：S∴12×6×DK=14.4,∵EN⊥BD,∠BDE=45°,設(shè)DN=x,則EN=DN=x,由12∴BE=5∴BN=(54∴34x=6?x,∴BE=5當(dāng)DF⊥BC于K時，則DK=4.8,∴BK=6過E作EN⊥BD于N,由對折可得∠BDE=∠FDE,∴EN=EK,∴S∴BE∴BE=5當(dāng)DF⊥AC時，如圖，則∠FTM=90°,由對折可得∠B=∠F,而AB=AC=10,則∠B=∠C,∴∠C=∠F,而∠FMT=∠CME,∴∠MEC=∠MTE=90°,結(jié)合對折可得：∠DEK=∠DEF=45°,過D作DK⊥BC于K,同理可得：DK=EK=4.8,∴BK=6∴BE=3.6+4.8=8.4,綜上：當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時，BE的長為307或2或8.4【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，清晰的分類討論，等面積法是應(yīng)用等都是解本題的關(guān)鍵.4．如圖①，在長方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段DC向終點C運動，運動時間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長方形的對邊平行且相等，四個角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點B，求出此時t的值；(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點F時，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由；(3)在動點P從點D到點C的整個運動過程中，若點E到直線AB的距離等于3，則此時t=___________．【答案】(1)1(2)或13(3)或10【分析】（1）由長方形性質(zhì)得知，，，，再證，則，然后由勾股定理得，則，由此得出結(jié)論．（2）分兩種情況：E在矩形內(nèi)部和外部兩種情況，分別根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可解答．（3）分兩種情況：E在AB上方和下方兩種情況，由折疊性質(zhì)與勾股定理即可解答．【解析】（1）四邊形ABCD是長方形，，，，，，由翻折性質(zhì)可知：，，在中，由勾股定理得：，，，．（2）存在，分兩種情況：如圖③，當(dāng)點E在長方形內(nèi)部時：作于G，設(shè)，則由翻折可知，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：，即，在與中：，解得：．如圖④，當(dāng)點P運動至與點C重合時，在與中：，．綜上，當(dāng)或時，有．（3）過點E作交AB于點M，交CD于點N．如圖⑤，點E在長方形內(nèi)部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：如圖⑥，點E在長方形外部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：綜上，若點E到直線AB的距離等于3，或．【點睛】本題是幾何綜合題目，考查了軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識，綜合性強，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及勾股定理，進行分類討論解題是本題的解題關(guān)鍵．題型2：勾股定理與全等三角形5．如圖，過邊長為6的等邊的頂點A作直線，點D在直線l上（不與點A重合），作射線，將射線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后交直線于點E．(1)如圖1，點D在點A的左側(cè)，點E在邊上，求證：．(2)如圖2，點D在點A的右側(cè)，點E在邊的延長線上，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明：若不成立，寫出你的結(jié)論，再證明．(3)如圖3，點E在邊的反向延長線上，若，請直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)不成立，,證明見解析(3)【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出,,則,再得出,則有,由,即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),從而證明,得出,根據(jù),即可得證;（3）過作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出,再根據(jù),從而證明,得出,由,得出,根據(jù)勾股定理求得,再算得,得為等腰直角三角形，則，即可求出的值.【解析】（1）證明:等邊三角形，∴，∵直線，，，在和中,，∴,∴,∴；（2）不成立，,理由如下：∵直線,∴,∴，又在和中,，，∴，；（3）如圖所示,過作于,∵直線，又，在和中,，，∴，，，，，∴為等腰直角三角形，，∴.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用以上性質(zhì)進行求證.6．如圖1，中，，D，E是直線上兩動點，且．探究線段、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，…請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：(1)猜想、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖3，當(dāng)動點在線段上，動點運動在線段延長線上時，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．【答案】(1)(2)不變，，證明見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）通過證明，得到，在中，有，即；（2）作，且截取，連接，連接，先證明，再證明，則，在中，，即．【解析】（1）解：，∵中，，∴，將沿折疊，得，連接∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴在中，有，即．（2）解：結(jié)論不變，作，且截取，連接，連接，∵，∴，，又，，，，，又，，，，，，在中，，即．7．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，請在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點在線段上且頂點在線段上時，過點作，垂足為點，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點在線段上且頂點在線段上時，若，，連接，則的面積為．【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明；（2）由、互余，、互余推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推得、、的數(shù)量關(guān)系；（3）作延長線交于點，同理證明后，求得垂線的長度，根據(jù)即可得解．【解析】（1）解：，，，，又，，，在和中，，．（2）解：猜想，證明如下：，，，，，，，即，在和中，，，，，，．（3）解：作延長線交于點，，，，，，，在和中，，，，，中，，，，，．故答案為．【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握一線三等角模型的全等判定方法．8．【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【初步運用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長．【靈活運用】（4）如圖3，在中，，D為中點，，交于點E，交于點F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）線段、，之間的等量關(guān)系為：【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的三邊關(guān)系計算即可；（3）延長到M，使，連接BM，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（4）延長到點G，使，連結(jié)，證明，得到，根據(jù)勾股定理解答．【解析】解：（1）在和中，，∴，故選D；（2）∵，∴，在中，，∴∴；（3）延長到M，使，連接，

∵，，∴，∵AD是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即；（4）線段之間的等量關(guān)系為：．證明：如圖，延長到點G，使，連結(jié)，

∵，∴，∵D是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴中，，∴．題型3：勾股定理的實際應(yīng)用9．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明門庭若市，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，，．請用a、b、c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：______，______，______，則它們滿足的關(guān)系式為______，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．知識運用：（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個供應(yīng)站P，使得，求出的距離．知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值．【答案】小試牛刀：；；；；知識運用：（1）41；（2）（千米）；知識遷移：20．【分析】小試牛刀：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積可以表示出相應(yīng)部分面積；知識運用：（1）連接，過點作的垂線，根據(jù)垂直得到邊長之間的關(guān)系，再用勾股定理即可求得．（2）作的垂直平分線，交于點，分別在和中用勾股定理表示出與聯(lián)立方程求解即可．知識遷移：運用數(shù)形結(jié)合根據(jù)“軸對稱-最短路徑問題”求解即可．【解析】解：小試牛刀：，

，

，

則它們滿足的關(guān)系式為：．知識運用：（1）如圖2①，連接，作于點E，

，，，有勾股定理得到：（千米）∴兩個村莊相距41千米．（2）連接，作的垂直平分線交于點，

設(shè)千米，則千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，，即千米．知識遷移：如圖3，過作點的對稱點，連接交于點，過作，

根據(jù)對稱性：，設(shè)，則，有勾股定理得，，．∴代數(shù)式的最小值為：．【點睛】本題考查了四邊形綜合以及用數(shù)形結(jié)合方式來證明勾股定理，解答本題的關(guān)鍵在于勾股定理的應(yīng)用、最短線路問題、線段的垂直平分線以及用面積法證明勾股定理，本題是一道綜合型較強的題目．10．綜合與實踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個臺階兩個相對的端點．【探究實踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到B點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經(jīng)過計算得到長度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm，高是8cm，若螞蟻從點A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計）【答案】（1）25；（2）17cm；（3）B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題：（1）直接利用勾股定理進行求解即可；（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【解析】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：25；（2）將圓柱體展開，如圖，由題意，得：，，由勾股定理得：；故答案為：17cm．（3）如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，11．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】①如圖1，中，，為邊上的中點，連接．設(shè)的面積和周長分別為和，的面積和周長分別為和，則，．（填“>”，“<”或“”）②如圖2，中，、是邊上的兩點，若，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）【問題延伸】如圖3，四邊形中，，，若的長度為6，求出四邊形的面積．（3）【問題解決】國際港務(wù)區(qū)計劃將一塊四邊形空地開發(fā)為小型公園，空地的示意圖如圖4所示．其中，，，．現(xiàn)計劃將點處設(shè)置為公園的入口，在邊上設(shè)置一個出口，并修建一條貫穿整個公園的小路．根據(jù)規(guī)劃，要求小路將整個公園分成兩塊面積相同和周長相同的區(qū)域（即與四邊形的周長和面積都相同），施工隊能否按照規(guī)劃修建出這條小路？若能，請求出的長度；若不能，請說明理由．（小路的寬度忽略不計）【答案】（1）①，；②；（2）；（3）能，【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（2）延長至，使得，連接，證明，進而得出，，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（3）延長至，使得，過點作交的延長線于點，同（2）可得，設(shè)，則，，根據(jù)得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)（2）的方法求得面積，根據(jù)題意在上取點，使得，根據(jù)將整個公園分成兩塊面積相同和周長相同的區(qū)域，得出，進而求得，即可求解．【解析】解：①∵中，，為邊上的中點，∴，設(shè)的面積和周長分別為和，的面積和周長分別為和，∴，∴，故答案為：，．②設(shè)邊上的高為，∵∴∴即（2）如圖所示，延長至，使得，連接，∵，∴又∵∴在中，∴∴，∴∴（3）能，如圖所示，延長至，使得，過點作交的延長線于點，同（2）可得∴，∴∴，則是等腰直角三角形，∴，∵，，∴∴，則，設(shè)，則，，∴又∵∴解得：∴在上取點，使得，∵，∴將整個公園分成兩塊面積相同和周長相同的區(qū)域，則即為所求，由（2）可得即解得：∴題型4：勾股定理的證明、與弦圖有關(guān)的計算題12．閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應(yīng)用．出入相補原理是中國古代數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內(nèi)容：一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和．基于以上原理，回答問題：(1)把邊長為8的正方形按圖1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把圖形重新拼成圖2中長為13，寬為5的長方形；(2)如圖3，a，b，c分別表示直角三角形的三邊，比較大?。篴2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)觀察圖4，寫出（ac＋bd）2與（a2＋b2）（c2＋d2）的大小關(guān)系：______．【答案】(1)不能(2)＝；＞(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2）【分析】（1）分別計算正方形的面積和長方形的面積，比較兩個圖形的面積大小即可得解；（2）如圖3中，分別計算左邊大正方形的面積和右邊大正方形的面積，即可得a2+b2=c2，再利用(a+b)2=a2+2ab+b2變形得；（3）如圖4，先由完全平方公式和整式的乘法計算得，，，進而可得．【解析】（1）解：如圖1，圖2，∵S正方形=82=64，S長方形=5×13=65，∴S正方形S長方形，故答案為：不能；（2）解：如圖3中，左邊大正方形的面積：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右邊大正方形的面積：S大正方形=c2+4×ab=c2+2ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=(a+b)2-2ab，∵，∴，∴，故答案為：=，；（3）解：如圖4，，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式及勾股定理，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．13．閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數(shù)學(xué)等式：，化簡證得勾股定理：．(1)【初步運用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；(2)【初步運用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為；(3)【初步運用】如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．(4)【初步運用】如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．(5)【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程（知識補充：如圖6，含60°的直角三角形，對邊y：斜邊x＝定值k）．【答案】(1)5：9(2)28(3)24(4)(5)，見解析【分析】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可；（2）根據(jù)空白部分的面積＝小正方形的面積﹣2個直角三角形的面積計算即可；（3）可設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計算即可求解；（4）根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可；（5）根據(jù)大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積，構(gòu)建關(guān)系式即可．【解析】（1）∵，b＝2a，∴c＝a，∴小正方形面積：大正方形面積＝(a)2：(3a)2＝5：9，故答案為：5：9；（2）根據(jù)題意可求，∵空白部分的面積為=小正方形的面積-兩個三角形的面積，∴空白部分的面積為=52-2××4×6＝28．故答案為：28；（3）根據(jù)題意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．設(shè)AC＝x，則OA＝3+x，AB＝6-x．在中，，即，解得x＝1，∴OA=4，∴該風(fēng)車狀圖案的面積=；（4）將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案為：；（5）結(jié)論：．由題意：大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積可得：，∴∴．【點睛】本題考查勾股定理的證明和應(yīng)用，根據(jù)圖形得出面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【解析】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．15．【材料閱讀】我國古人對勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：，得，則，得到：．從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），則【問題解決】如圖2，已知的三邊長分別為，如何計算的面積？據(jù)記載，古人是這樣計算的：作邊上的高．以的長為斜邊和直角邊作（如圖3），其中．

(1)用古人的方法計算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計算過程；(3)你還有其他計算的面積的方法嗎？寫出解答過程．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）由題中勾股定理的推論將空格補充完整即可；（2）根據(jù)材料中勾股定理的推論，完成面積的計算過程即可；（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面積公式求解即可．【解析】（1）故答案為：；（2）在中，由勾股定理的推論，可知：．∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（3）如圖2，設(shè)，由勾股定理，得，，解得，，∴，∴．題型5：勾股定理與特殊三角形16．如圖1，等邊的邊長為，點是直線上異于，的一動點，連接，以為邊長，在右側(cè)作等邊，連接．【初步感知】（1）求證：；【類比探究】（2）當(dāng)點在直線上運動時，①與的數(shù)量關(guān)系是；②的周長是否存在最小值？若存在，求此時的長；若不存在，說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)點在直線上運動時，能否形成直角三角形？若能，請直接寫出此時的長；若不能，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②；（3）或【分析】（1）證即可得證；（2）①同第一問，證證即可得證；②由(1)得，則，因為，所以要使的周長最小，只要最小，當(dāng)時，的長最小，此時最小，由“三線合一”即可求出的長；（3）分兩種情況：當(dāng)時和當(dāng)時，分別作出圖形，作于點，利用（1）的結(jié)果及勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：、都是等邊三角形，．，，，，，，．（2）①如圖，當(dāng)點在線段上、點在延長線上、點在延長線上時，證明方法同第一問：、都是等邊三角形，，，，，，，．故答案為：．②的周長存在最小值，由（1）得，，，要使的周長最小，則最小，，當(dāng)時，的長最小，如圖2，，，；（3）當(dāng)點在直線上運動時，能形成直角三角形，分兩種情況，①當(dāng)時，作于點，如圖3，，，，，，，，，；②當(dāng)時，作于點，如圖4，同理得，，設(shè)，由（1）得，，，由勾股定理得，，即，解得，，，綜上，當(dāng)點在直線上運動時，能形成直角三角形，的值為或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求最短路線問題、勾股定理等知識，靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．17．在和中，點在邊上，，，．(1)如圖1，當(dāng)時，連接，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)時，過點作的垂線并延長，交于點，若，，求線段的長．【答案】(1)，理由見解析(2)的長為【分析】（1）根據(jù)可證，則可得，，進而可得，在中，根據(jù)勾股定理可得，進而可得．（2）連接，，過點作，交的延長線于點，可得是的垂直平分線，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．【解析】（1）．理由如下：，，，，．．在和中，．，．，在中，．，．（2），，，和是等邊三角形．，，則．如圖，連接，，過點作，交的延長線于點，由（1）可知，，，．，．在中，，．，．是等邊三角形，，平分．．設(shè)，則，，在中，，即．解得．的長為．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．閱讀下面材料，并解決問題：(1)如圖①等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出；(2)基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖②，中，，，E，F(xiàn)為上的點且，求證：；(3)能力提升如圖③，在中，，，，點O為內(nèi)一點，連接，，，且，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明為等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理證明，即得答案；（2）把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，得到，再利用勾股定理即可得證；（3）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至處，連接，先證明，再證明C，O，，四點共線，再利用勾股定理計算得出，由此即得答案．【解析】（1）解：，，，，由題意知旋轉(zhuǎn)角，為等邊三角形，，，在中，，，，，為直角三角形，且，；故答案為：；（2）證明：如圖2，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，由勾股定理得，，即；（3）解：如圖3，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至處，連接，在中，，，，，繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，，，，，繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，，，是等邊三角形，，，，，C，O，，四點共線，在中，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型6：勾股定理與數(shù)軸19．閱讀材料，完成任務(wù)．材料1：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想．按照圖1所示將兩個邊長為1的小正方形進行剪拼（無縫隙不重疊的拼接）成一個大的正方形，可以得到無理數(shù)；按照圖2和圖3所示的兩種剪拼方法將一個邊長為1的正方形和一個邊長為2的正方形剪拼出一個大正方形，可以得到無理數(shù)m．材料2：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．要在數(shù)軸上找到表示的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段．如圖4，正方形的邊長為1個單位長度，以原點O為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點A，，則點A對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為．類似的，我們可以在數(shù)軸上找到表示任意無理數(shù)的點．材料3：如圖5，改變圖4中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與，其中O仍在原點，點B，分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長得到點B，所表示的無理數(shù)．按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點．任務(wù)：(1)材料1中，無理數(shù)m是________，畫圖確定表示m的點M；(2)如圖5，點B表示的數(shù)為________，點表示的數(shù)為________；(3)數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及的點，并比較它們的大?。?4)若，，求代數(shù)式的值，并在數(shù)軸上表示對應(yīng)的點．【答案】(1)，見解析(2)，(3)，見解析(4)，見解析【分析】本題考查勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上確定表示無理數(shù)所在點的位置的方法，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形，利用勾股定理求出大正方形的邊長，即可，根據(jù)數(shù)軸構(gòu)造無理數(shù)的方法，作圖即可；（2）由圖可知，點到1的距離為，根據(jù)兩點間的距離即可得出結(jié)果；（3）以為圓心，為半徑化弧，與數(shù)軸的交點到的距離即為，確定點位置，進行比較即可；（4）將的值代入，化簡絕對值，然后在數(shù)軸上表示出結(jié)果即可．【解析】（1）解：由勾股定理得：，如圖，M點表示的數(shù)為；（2）由圖可知，點到1的距離為，∴點B表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為：；故答案為：，；（3）點A表示，點B表示，表示數(shù)和的點如圖所示：．（4）由（1），得，，原式．題型7：表格類素材題20．受全球氣候變暖影響，今年深圳的雨水特別多．據(jù)悉，不止深圳，整個華南地區(qū)暴雨形成“列車效應(yīng)”．雨水增多導(dǎo)致雨傘的需求量大大增加．下圖是某型號雨傘的結(jié)構(gòu)圖．

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)，探究雨傘中的數(shù)學(xué)問題素材1圖1是這個雨傘的示意圖．不管是張開還是收攏，是傘柄，傘骨且，，D點為傘圈．傘完全張開時，如圖1所示．

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動，如圖2是完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D滑動到的位置，且三點共線．測得（參考值：）．

素材3同學(xué)們經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線與地面夾角為，小田站在傘圈D點的正下方點G處，記為，此時發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測得．

問題解決任務(wù)1判斷AP位置求證：是的角平分線．任務(wù)2探究傘圈移動距離當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動的距離（精確到）．任務(wù)3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離_____，使得人站在G處身上不被雨淋濕，（直接寫出答案）【答案】任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：；任務(wù)3：72【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點，弄清題意、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明即可得到答案；（2）過點E作于點P，求出的長，即可利用據(jù)此解答即可；（3）設(shè)與交于點O，與交于點Q，先求出，可得，再求出，進而可求出即可解答．【解析】解：任務(wù)1:∵且，，∴，在和中，，，∴，∴，∴是的角平分線．任務(wù)2：如圖：過點E作于點Q，∵，∴，∴，∵，∴，由勾股定理，得，在圖2中，∵,∴,∴在中,,∴,∴,∴傘圈D移動的距離為.任務(wù)3:如圖：設(shè)與交于點O，與交于點Q，在中，，∴，∴∴，∴，在中，，∴，∴∵,∴,解得：，∴，在中，，則，由勾股定理得：．故答案為：72．題型8：最值問題21．如圖所示，是等邊三角形，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接平分交于點E．(1)若，求的長；(2)以為邊作，，連接，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)若點P是直線上的一動點，將沿著進行翻折得到，連接，將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，當(dāng)最小時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】本題考查等邊三角形，全等三角形，三角形內(nèi)角和，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的證明與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）延長交于點M，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進而可得