2025年下學(xué)期高中表層學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，則m的值為（）A.-6B.6C.-8/3D.8/3下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=2?已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)=（）A.-7√2/10B.-√2/10C.√2/10D.7√2/10已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，a?=1，a?=9，則數(shù)列{a?}的前10項(xiàng)和S??=（）A.100B.110C.120D.130某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知直線l?：ax+2y+6=0與直線l?：x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|PF|=5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A.(4,4)或(4,-4)B.(5,2√5)或(5,-2√5)C.(3,2√3)或(3,-2√3)D.(2,2√2)或(2,-2√2)在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件"sinx+cosx≥√2"發(fā)生的概率是（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：(log?8)?2+(27)2/3=________。已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則該雙曲線的漸近線方程為________。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π，且f(0)=1，則φ=________。已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a=2，b=3，cosC=1/3。（1）求c的值；（2）求sinA的值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：A?B//平面ADC?；（2）求二面角C?-AD-C的余弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：原點(diǎn)O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x?、x?(x?<x?)，求證：x?+x?>2。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.A3.A4.A5.B6.A7.C8.A9.A10.A11.A12.A二、填空題（每小題5分，共20分）1014.y=±√2x15.π/616.0三、解答題（共70分）（10分）解：（1）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×(1/3)=4+9-4=9∴c=3（5分）（2）由cosC=1/3，得sinC=√(1-cos2C)=√(1-1/9)=2√2/3由正弦定理得：a/sinA=c/sinC∴sinA=asinC/c=2×(2√2/3)/3=4√2/9（10分）（12分）（1）證明：∵a???=2a?+1∴a???+1=2(a?+1)又a?+1=2≠0∴數(shù)列{a?+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（6分）（2）解：由（1）得：a?+1=2×2??1=2?∴a?=2?-1∴S?=(21-1)+(22-1)+...+(2?-1)=(21+22+...+2?)-n=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2（12分）（12分）（1）證明：連接A?C，交AC?于點(diǎn)O，連接OD∵ABC-A?B?C?是直三棱柱∴四邊形ACC?A?是平行四邊形∴O是A?C的中點(diǎn)又D是BC的中點(diǎn)∴OD//A?B∵OD?平面ADC?，A?B?平面ADC?∴A?B//平面ADC?（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB、AC、AA?所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0)，D(1,1,0)，C?(0,2,2)∴向量AD=(1,1,0)，向量AC?=(0,2,2)設(shè)平面ADC?的法向量為n=(x,y,z)則{n·AD=x+y=0{n·AC?=2y+2z=0令x=1，則y=-1，z=1∴n=(1,-1,1)又平面ADC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)∴cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=1/(√3×1)=√3/3∴二面角C?-AD-C的余弦值為√3/3（12分）（12分）解：（1）由頻率分布直方圖得：(0.005+0.015+0.020+a+0.010+0.005)×10=1解得a=0.045（3分）（2）平均數(shù)：45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.45+85×0.10+95×0.05=71中位數(shù)：70+(0.5-0.05-0.15-0.20)/0.045≈72.22（7分）（3）成績在[80,90)的學(xué)生有10人，成績在[90,100]的學(xué)生有5人從這15名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，共有C??2=105種不同的選法至少有1人成績在[90,100]的選法有C??1C?1+C?2=50+10=60種∴所求概率P=60/105=4/7（12分）（12分）解：（1）由題意得：{e=c/a=√2/2{a2=b2+c2{1/a2+(1/2)/b2=1解得a2=2，b2=1∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1（6分）（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=m代入橢圓方程得y2=1-m2/2∵OA⊥OB∴m2-(1-m2/2)=0解得m2=2/3∴原點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|=√6/3當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+n聯(lián)立{y=kx+n{x2/2+y2=1得(1+2k2)x2+4knx+2n2-2=0設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)則x?+x?=-4kn/(1+2k2)，x?x?=(2n2-2)/(1+2k2)∵OA⊥OB∴x?x?+y?y?=0即x?x?+(kx?+n)(kx?+n)=0整理得(1+k2)x?x?+kn(x?+x?)+n2=0代入得(1+k2)(2n2-2)/(1+2k2)-4k2n2/(1+2k2)+n2=0化簡得3n2=2(1+k2)∴原點(diǎn)O到直線l的距離d=|n|/√(1+k2)=√(n2/(1+k2))=√(2/3)=√6/3綜上，原點(diǎn)O到直線l的距離為定值√6/3（12分）（12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)f'(x)=1/x-a當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減（4分）（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最大值為f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)+1=-lna要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需-lna>0，即0<a<1又f(1/e)=-1-a/e+1=-a/e<0f(1/a2)=ln(1/a2)-a×(1/a2)+1=-2lna-1/a+1令g(a)=-2lna-1/a+1(0<a<1)則g'(a)=-2/a+1/a2=(1-2a)/a2當(dāng)0<a<1/2時(shí)，g'(a)>0，g(a)單調(diào)遞增當(dāng)1/2<a<1時(shí)，g'(a)<0，g(a)單調(diào)遞減g(1/2)=-2ln(1/2)-2+1=2ln2-1>0∴當(dāng)0<a<1時(shí)，f(1/a2)>0∴a的取值范圍是(0,1)（8分）（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-x+1由（2）知，0<x?<1<x?令h(x)=f(x)-f(2-x)(0<x<1)則h(x)=lnx-x+1-[ln(2-x)-(2-x