2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期和對(duì)稱軸方程分別為（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))已知數(shù)列({a_n})為等差數(shù)列，前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，(S_9=45)，則公差(d=)（）A.1B.2C.-1D.-2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（注：此處省略三視圖，實(shí)際試卷需配圖：正視圖和側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為矩形）A.(8,\text{cm}^3)B.(12,\text{cm}^3)C.(16,\text{cm}^3)D.(24,\text{cm}^3)已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.-4B.-2C.2D.4函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值為（）A.2B.0C.-4D.-6已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過(guò)點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記事件(A)為“三個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，則(P(A)=)（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2若直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4)相交于(A,B)兩點(diǎn)，且(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.0B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\sqrt{3})D.(\pm\sqrt{3})已知(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，且(\sin\alpha=\frac{3}{5})，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7已知定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(dāng)(x\in[0,1])時(shí)，(f(x)=2^x-1)，則(f(2025)=)（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y>0)，且(x+2y=4)，則(xy)的最大值為_(kāi)_______．曲線(y=x^2-\lnx)在點(diǎn)((1,1))處的切線方程為_(kāi)_______．在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)________．已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3)，則(|BF|=)________．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)．（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)．（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且(2\cosA(b\cosC+c\cosB)=a)．（1）求角(A)的大??；（2）若(a=\sqrt{3})，(b+c=3)，求(\triangleABC)的面積．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)．（注：此處省略直觀圖，實(shí)際試卷需配圖：直三棱柱底面為等腰直角三角形）（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求異面直線(A_1D)與(AC_1)所成角的余弦值．（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為40元，銷售單價(jià)為60元，每月可銷售300件．為了提高利潤(rùn)，工廠決定改進(jìn)生產(chǎn)工藝，降低成本．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若每件產(chǎn)品成本降低(x)元（(0<x<20)），則月銷售量(y)（件）與(x)之間的函數(shù)關(guān)系為(y=300+20x)．（1）寫出月利潤(rùn)(L(x))（元）關(guān)于(x)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)(x)為何值時(shí)，月利潤(rùn)(L(x))最大？最大月利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{1}{2})，且過(guò)點(diǎn)((1,\frac{3}{2}))．（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(F_2)的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\triangleAF_1B)的面積為(\frac{12\sqrt{2}}{7})，求直線(l)的方程．（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍．參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題B2.A3.A4.B5.D6.A7.A8.C9.A10.D11.A12.C二、填空題214.(y=x)15.(\sqrt{7})16.(\frac{3}{2})三、解答題（1）證明：由(a_{n+1}=2a_n+1)得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，又(a_1+1=2)，故數(shù)列({a_n+1})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（5分）（2）解：由（1）得(a_n+1=2^n)，即(a_n=2^n-1)，則(S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-n-2)．（10分）（1）解：由正弦定理得(2\cosA(\sinB\cosC+\sinC\cosB)=\sinA)，即(2\cosA\sinA=\sinA)，又(\sinA\neq0)，故(\cosA=\frac{1}{2})，則(A=\frac{\pi}{3})．（6分）（2）解：由余弦定理得(3=(b+c)^2-3bc)，結(jié)合(b+c=3)得(bc=2)，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2})．（12分）（1）證明：連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)(O)，連接(OD)，則(O)為(A_1C)中點(diǎn)，又(D)為(BC)中點(diǎn)，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)．（6分）（2）解：以(A)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(A(0,0,0))，(C_1(0,2,2))，則(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2))，故(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{AC_1}|}{|\overrightarrow{A_1D}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{2}{\sqrt{6}\times\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{6})．（12分）（1）解：(L(x)=(60-(40-x))(300+20x)=(20+x)(300+20x)=20x^2+100x+6000)（(0<x<20)）．（6分）（2）解：(L(x)=20(x+2.5)^2+6125)，當(dāng)(x=2.5)時(shí)，(L(x)_{\text{max}}=6125)元．（12分）（1）解：由(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2})得(a=2c)，又(a^2=b^2+c^2)，將點(diǎn)((1,\frac{3}{2}))代入橢圓方程得(\frac{1}{4c^2}+\frac{9}{4b^2}=1)，解得(a=2)，(b=\sqrt{3})，故橢圓方程為(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)．（6分）（2）解：設(shè)直線(l:x=my+1)，聯(lián)立橢圓方程得((3m^2+4)y^2+6my-9=0)，則(|y_1-y_2|=\frac{12\sqrt{m^2+1}}{3m^2+4})，由(S_{\triangleAF_1B}=\frac{1}{2}\times2c\times|y_1-y_2|=\frac{12\sqrt{2}}{7})解得(m=\pm1)，故直線(l)的方程為(x\pmy-1=0)．（12分）（1）解：當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(f'(x)=0)得(x=1)，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)(f'(x)>0)，當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)(f'(x)<0)，故(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((1,+\infty))．（6分）（2）解：(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，由題意得