2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)必修一單元測試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|2x-3>0})，則(A\capB=)（）A.({1})B.({2})C.({1,2})D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2})的定義域是（）A.([1,+\infty))B.((1,2)\cup(2,+\infty))C.([1,2)\cup(2,+\infty))D.((1,+\infty))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\frac{1}{x})D.(f(x)=2^x)已知(f(x)=2x+1)，(g(x)=x^2-1)，則(f(g(2))=)（）A.5B.7C.9D.11函數(shù)(f(x)=x^2-4x+3)在區(qū)間([0,3])上的最大值是（）A.3B.0C.-1D.2若函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1))（(a>0)且(a\neq1)）的圖像過點(diǎn)((1,1))，則(a=)（）A.2B.(\frac{1}{2})C.eD.(\frac{1}{e})已知(2^a=5^b=10)，則(\frac{1}{a}+\frac{1}=)（）A.1B.2C.(\lg7)D.(\lg2+\lg5)函數(shù)(f(x)=|x-2|)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,+\infty))B.([2,+\infty))C.((-\infty,2])D.(\varnothing)設(shè)(a=0.3^{0.4})，(b=0.4^{0.3})，(c=\log_{0.4}0.3)，則(a,b,c)的大小關(guān)系是（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(a<c<b)D.(c<a<b)已知函數(shù)(f(x))是定義在(\mathbf{R})上的偶函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞增，則不等式(f(x-1)<f(2))的解集是（）A.((-1,3))B.((-\infty,-1)\cup(3,+\infty))C.((-3,1))D.((-\infty,-3)\cup(1,+\infty))函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)的零點(diǎn)個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知集合(A={x|-1\leqx<3})，(B={x|2x-4\geq0})，則(A\cupB=)________。函數(shù)(f(x)=x^3-2x^2+x)的導(dǎo)數(shù)(f'(x)=)________。若函數(shù)(f(x)=(m-1)x^2+2mx+3)是偶函數(shù)，則(m=)________。已知函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x})，則函數(shù)(y=f(x)-f(x-1))的定義域是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知集合(A={x|x^2-5x+6=0})，(B={x|mx-1=0})，且(A\cupB=A)，求實(shí)數(shù)(m)的值。解：由(x^2-5x+6=0)，解得(x=2)或(x=3)，所以(A={2,3})。因?yàn)?A\cupB=A)，所以(B\subseteqA)。當(dāng)(B=\varnothing)時，方程(mx-1=0)無解，此時(m=0)；當(dāng)(B\neq\varnothing)時，(B=\left{\frac{1}{m}\right})，則(\frac{1}{m}=2)或(\frac{1}{m}=3)，解得(m=\frac{1}{2})或(m=\frac{1}{3})。綜上，(m=0)或(m=\frac{1}{2})或(m=\frac{1}{3})。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)（(a)為常數(shù)），且(f(x))在區(qū)間([1,+\infty))上是增函數(shù)。（1）求(a)的取值范圍；（2）若(f(2)=7)，求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,3])上的最小值。解：（1）函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)的圖像開口向上，對稱軸為(x=a)。因?yàn)?f(x))在([1,+\infty))上是增函數(shù)，所以對稱軸(x=a\leq1)，即(a\in(-\infty,1])。（2）由(f(2)=7)，得(2^2-2a\times2+3=7)，即(4-4a+3=7)，解得(a=0)。此時(f(x)=x^2+3)，對稱軸為(x=0)，在區(qū)間([0,3])上單調(diào)遞增，所以最小值為(f(0)=0^2+3=3)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\log_2(x+1)+\log_2(3-x))。（1）求函數(shù)(f(x))的定義域；（2）判斷函數(shù)(f(x))的奇偶性，并說明理由；（3）求函數(shù)(f(x))的值域。解：（1）要使函數(shù)有意義，需滿足(\begin{cases}x+1>0,\3-x>0,\end{cases})解得(-1<x<3)，所以定義域?yàn)?(-1,3))。（2）函數(shù)(f(x))的定義域((-1,3))不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此(f(x))是非奇非偶函數(shù)。（3）(f(x)=\log_2[(x+1)(3-x)]=\log_2(-x^2+2x+3))。令(t=-x^2+2x+3)，(x\in(-1,3))，則(t=-(x-1)^2+4)，當(dāng)(x=1)時，(t_{\text{max}}=4)；當(dāng)(x\to-1)或(x\to3)時，(t\to0)，所以(t\in(0,4])。因此(f(x)=\log_2t\in(-\infty,2])，即值域?yàn)?(-\infty,2])。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=a^x)（(a>0)且(a\neq1)）的圖像過點(diǎn)((2,4))。（1）求(a)的值；（2）若(g(x)=f(x)+f(-x))，判斷(g(x))的單調(diào)性，并證明；（3）解不等式(f(x^2-1)>f(2x+2))。解：（1）由(f(2)=4)，得(a^2=4)，解得(a=2)（(a=-2)舍去）。（2）(g(x)=2^x+2^{-x})，在([0,+\infty))上是增函數(shù)，在((-\infty,0])上是減函數(shù)。證明：任取(x_1<x_2\leq0)，則(g(x_1)-g(x_2)=(2^{x_1}+2^{-x_1})-(2^{x_2}+2^{-x_2})=(2^{x_1}-2^{x_2})+\left(\frac{1}{2^{x_1}}-\frac{1}{2^{x_2}}\right))(=(2^{x_1}-2^{x_2})+\frac{2^{x_2}-2^{x_1}}{2^{x_1+x_2}}=(2^{x_1}-2^{x_2})\left(1-\frac{1}{2^{x_1+x_2}}\right))。因?yàn)?x_1<x_2\leq0)，所以(2^{x_1}<2^{x_2}\leq1)，(x_1+x_2<0)，(2^{x_1+x_2}<1)，(1-\frac{1}{2^{x_1+x_2}}<0)。因此(2^{x_1}-2^{x_2}<0)，(1-\frac{1}{2^{x_1+x_2}}<0)，所以(g(x_1)-g(x_2)>0)，即(g(x_1)>g(x_2))，故(g(x))在((-\infty,0])上是減函數(shù)。同理可證(g(x))在([0,+\infty))上是增函數(shù)。（3）由(f(x)=2^x)是增函數(shù)，不等式(f(x^2-1)>f(2x+2))等價于(x^2-1>2x+2)，即(x^2-2x-3>0)，解得(x<-1)或(x>3)，所以不等式的解集為((-\infty,-1)\cup(3,+\infty))。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)，且(f(1)=0)，(f'(1)=0)，(f''(1)=6)。（1）求(a,b,c)的值；（2）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間和極值。解：（1）(f'(x)=3x^2+2ax+b)，(f''(x)=6x+2a)。由已知條件得：(\begin{cases}f(1)=1+a+b+c=0,\f'(1)=3+2a+b=0,\f''(1)=6+2a=6,\end{cases})由(f''(1)=6)，解得(a=0)；代入(f'(1)=0)，得(3+0+b=0)，即(b=-3)；代入(f(1)=0)，得(1+0-3+c=0)，即(c=2)。（2）(f(x)=x^3-3x+2)，(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1))。令(f'(x)=0)，得(x=-1)或(x=1)。當(dāng)(x<-1)時，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(-1<x<1)時，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x>1)時，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。因此，單調(diào)遞增區(qū)間為((-\infty,-1))和((1,+\infty))，單調(diào)遞減區(qū)間為((-1,1))。極大值為(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4)，極小值為(f(1)=1-3+2=0)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{x+1}{x-1})（(x\neq1)）。（1）判斷函數(shù)(f(x))的奇偶性，并說明理由；（2）證明：函數(shù)(f(x))在((1,+\infty))上是減函數(shù)；（3）若對任意(x\in[2,4])，不等式(f(x)\leqm)恒成立，求實(shí)數(shù)(m)的最小值。解：（1）函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?(-\infty,1)\cup(1,+\infty))，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此(f(x))是非奇非偶函數(shù)。（2）證明：任取(x_1,x_2\in(1,+\infty))，且(x_1<x_2)，則(f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1+1}{x_1-1}-\frac{x_2+1}{x_2-1}=\frac{(x_1+1)(x_2-1)-(x_2+1)(x_1-1)}{(x_1-1)(x_2-1)})(=\frac{x_1x_2-x_1+x_2-1-(x_1x_2-x_2+x_1-1)}{(x_1-1)(x_2-1)}=\frac{2(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)})。因?yàn)?x_1<x_2)，所以(x_2-x_1>0)；