2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)波動(dòng)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4}))，則該運(yùn)動(dòng)的振幅和初相分別是（）A.3，(\frac{\pi}{4})B.2，(\frac{\pi}{4})C.3，(2x+\frac{\pi}{4})D.2，(2x+\frac{\pi}{4})函數(shù)(f(x)=\cos(3x-\frac{\pi}{6}))的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{3})B.(\frac{2\pi}{3})C.(\pi)D.(2\pi)若函數(shù)(y=A\sin(\omegax+\varphi))（(A>0)，(\omega>0)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)((0,1))和((\frac{\pi}{2},0))，且最小正周期為(\pi)，則(A)的值為（）A.1B.(\sqrt{2})C.2D.4在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)(y=\sinx)與(y=\cos(x-\frac{\pi}{2}))的圖像關(guān)系是（）A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.重合D.周期不同已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示，則其函數(shù)表達(dá)式可能是（）（圖像描述：振幅為2，周期為(2\pi)，過(guò)點(diǎn)((\frac{\pi}{2},2))）A.(y=2\sin(x+\frac{\pi}{2}))B.(y=2\cos(x-\frac{\pi}{2}))C.(y=2\sin(x-\frac{\pi}{2}))D.(y=2\cos(x+\frac{\pi}{2}))函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)的最大值為（）A.1B.(\sqrt{2})C.2D.(2\sqrt{2})將函數(shù)(y=\sin2x)的圖像向右平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新函數(shù)解析式為（）A.(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6}))B.(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))C.(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6}))D.(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))若方程(\sinx=\frac{1}{a})在區(qū)間([0,2\pi])上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則(a)的取值范圍是（）A.((-1,1))B.((1,+\infty))C.((-\infty,-1)\cup(1,+\infty))D.((-1,0)\cup(0,1))函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\cos2x)的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知點(diǎn)(P(\sin\theta,\cos\theta))在第二象限，則角(\theta)的終邊所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移(y)（cm）與時(shí)間(t)（s）的關(guān)系為(y=5\sin(4\pit+\frac{\pi}{3}))，則該運(yùn)動(dòng)的頻率為（）A.2HzB.4HzC.(\frac{1}{2})HzD.(\frac{1}{4})Hz函數(shù)(f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}])（(k\in\mathbb{Z})）B.([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}])（(k\in\mathbb{Z})）C.([2k\pi-\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{\pi}{6}])（(k\in\mathbb{Z})）D.([2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{\pi}{3}])（(k\in\mathbb{Z})）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)(y=\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}))的定義域是________。若(\sin\alpha=\frac{3}{5})，且(\alpha)為第二象限角，則(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)________。已知函數(shù)(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi))的圖像與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為(\frac{\pi}{2})，則其最小正周期為_(kāi)_______，(\omega=)________。某彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為4cm，周期為0.5s。若以振子經(jīng)過(guò)平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則該振子的位移表達(dá)式為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)(f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{6}))。（1）求函數(shù)(f(x))的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值和最小值。（本小題滿(mǎn)分12分）已知(\tan\alpha=2)，求下列各式的值：（1）(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha})；（2）(\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha)。（本小題滿(mǎn)分12分）函數(shù)(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi))（(A>0)，(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示。（圖像描述：振幅為2，相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為(\frac{\pi}{2})，過(guò)點(diǎn)((\frac{\pi}{12},2))）（1）求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）若將函數(shù)(f(x))的圖像向左平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)(g(x))的圖像，求(g(x))的單調(diào)遞增區(qū)間。（本小題滿(mǎn)分12分）某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移(y)（m）與時(shí)間(t)（s）的關(guān)系滿(mǎn)足(y=A\sin(\omegat+\varphi))（(A>0)，(\omega>0)，(0<\varphi<\pi)）。已知該運(yùn)動(dòng)的振幅為3m，周期為4s，且當(dāng)(t=1)s時(shí)，位移為(\frac{3\sqrt{3}}{2})m。（1）求該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式；（2）求(t\in[0,2])時(shí)，位移(y)的取值范圍。（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx)。（1）將(f(x))化為(A\sin(x+\varphi))的形式（其中(A>0)，(0<\varphi<\frac{\pi}{2})）；（2）若方程(f(x)=m)在區(qū)間([0,\pi])上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍。（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)(f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sinx\cosx)。（1）求函數(shù)(f(x))的最小正周期和最大值；（2）若(f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2})，且(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，求(\alpha)的值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）A2.B3.B4.C5.A6.B7.B8.D9.B10.D11.A12.A二、填空題（每小題5分，共20分）({x|x\neq\frac{5\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}})(-\frac{\sqrt{2}}{10})(\pi)，2(y=4\sin(4\pit))三、解答題（共70分）（10分）（1）最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。（2分）令(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi)（(k\in\mathbb{Z})），解得(\frac{\pi}{3}+k\pi\leqx\leq\frac{5\pi}{6}+k\pi)，故單調(diào)遞減區(qū)間為([\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{5\pi}{6}+k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）。（5分）（2）當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時(shí)，(2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}])，(\sin(2x-\frac{\pi}{6})\in[-\frac{1}{2},1])，故(f(x)\in[-1,2])，最大值為2，最小值為-1。（10分）（12分）（1）原式(=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)。（6分）（2）原式(=\frac{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{\tan^2\alpha+\tan\alpha-2}{\tan^2\alpha+1}=\frac{4+2-2}{4+1}=\frac{4}{5})。（12分）（12分）（1）由題意知(A=2)，(T=2\times\frac{\pi}{2}=\pi)，故(\omega=\frac{2\pi}{T}=2)。（3分）將點(diǎn)((\frac{\pi}{12},2))代入(f(x)=2\sin(2x+\varphi))，得(2\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)=2)，即(\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi)，解得(\varphi=\frac{\pi}{3}+2k\pi)，又(|\varphi|<\frac{\pi}{2})，故(\varphi=\frac{\pi}{3})，因此(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))。（8分）（2）(g(x)=2\sin[2(x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=2\sin(2x+\frac{2\pi}{3}))，令(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{2\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi)，解得(-\frac{7\pi}{12}+k\pi\leqx\leq-\frac{\pi}{12}+k\pi)，故單調(diào)遞增區(qū)間為([-\frac{7\pi}{12}+k\pi,-\frac{\pi}{12}+k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）。（12分）（12分）（1）由題意知(A=3)，(T=4)，則(\omega=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2})，故(y=3\sin(\frac{\pi}{2}t+\varphi))。將(t=1)，(y=\frac{3\sqrt{3}}{2})代入，得(3\sin(\frac{\pi}{2}+\varphi)=\frac{3\sqrt{3}}{2})，即(\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2})，又(0<\varphi<\pi)，故(\varphi=\frac{\pi}{6})，因此表達(dá)式為(y=3\sin(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{6}))。（6分）（2）當(dāng)(t\in[0,2])時(shí)，(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}])，(\sin(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{6})\in[-\frac{1}{2},1])，故(y\in[-\frac{3}{2},3])。（12分）（12分）（1）(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3}))。（6分）（2）由(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})=m)，得(\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{m}{2})。當(dāng)(x\in[0,\pi])時(shí)，(x+\frac{\pi}{3}\in[