2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)表現(xiàn)性評價試卷一、數(shù)與代數(shù)模塊（一）函數(shù)應(yīng)用與建模題目1某新能源汽車企業(yè)2025年1月推出一款新型電池，其充電效率函數(shù)為(f(t)=120t-10t^2)（單位：km/h），其中(t)為充電時間（單位：h，(0\leqt\leq6)）。（1）求充電2小時后的累計充電量（即函數(shù)(f(t))在區(qū)間([0,2])上的定積分）；（2）若電池容量為300km，求充滿電所需時間；（3）為優(yōu)化充電策略，企業(yè)計劃在充電效率下降至40km/h時切換至慢充模式，求切換時間點，并分析該策略對總充電時間的影響。題目2某電商平臺“雙11”促銷期間，某商品的單價(p)（元）與銷量(x)（件）滿足關(guān)系(p=200-0.5x)，總成本(C(x)=5000+20x)（元）。（1）求利潤函數(shù)(L(x))的表達(dá)式，并寫出定義域；（2）若銷量(x)服從正態(tài)分布(N(200,10^2))，求利潤超過20000元的概率（參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6827)）；（3）平臺為提升銷量，計劃對前100件商品打8折，其余商品恢復(fù)原價。修改后的利潤函數(shù)與原函數(shù)相比，最大利潤變化多少？（二）方程與不等式綜合題目3已知關(guān)于(x)的不等式組：[\begin{cases}x^2-(a+2)x+2a<0\\log_2(x+3)>1\end{cases}]（1）當(dāng)(a=3)時，求不等式組的解集；（2）若不等式組的解集為((1,2))，求實數(shù)(a)的取值范圍；（3）結(jié)合二次函數(shù)圖像，分析當(dāng)(a\in[-1,4])時，不等式組解集的區(qū)間長度隨(a)的變化規(guī)律。二、幾何與拓?fù)淠K（一）立體幾何與空間向量題目4如圖1，直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點，(E)為(A_1C_1)上一點，且(A_1E=\frac{1}{3}A_1C_1)。（1）用空間向量法求異面直線(AD)與(BE)所成角的余弦值；（2）求平面(ADE)與平面(BCC_1B_1)所成銳二面角的正弦值；（3）若在棱(BB_1)上存在點(F)，使得(CF\perp)平面(ADE)，求(BF)的長度。（二）解析幾何與變換題目5在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點(F)作斜率為(k)的直線(l)交橢圓于(M,N)兩點，若線段(MN)的垂直平分線與(x)軸交于點(P(t,0))，求(t)的取值范圍；（3）將橢圓(C)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)得到橢圓(C')，求直線(y=x+1)與(C')的交點坐標(biāo)。（三）三角學(xué)應(yīng)用題目6某無人機在距離地面100m的高空觀測地面目標(biāo)，測得目標(biāo)(A)的俯角為(30^\circ)，目標(biāo)(B)的俯角為(45^\circ)，且(A,B)兩點在同一水平線上，無人機與(A,B)構(gòu)成的平面與地面垂直。（1）求(A,B)兩點間的距離；（2）若無人機沿水平方向飛行至(O')處，此時測得(A)的俯角為(60^\circ)，求飛行距離(OO')；（3）在（2）的條件下，若目標(biāo)(A,B)分別以(2m/s)和(3m/s)的速度沿(AB)方向移動，求3秒后無人機觀測(A,B)的俯角變化率。三、數(shù)據(jù)與概率模塊（一）統(tǒng)計分析與建模題目7某中學(xué)為研究學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間與成績的關(guān)系，隨機抽取50名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)（單位：小時/周，分）：學(xué)習(xí)時間(t)468101214平均成績(s)657278858890（1）繪制散點圖（無需在試卷中呈現(xiàn)，僅需說明相關(guān)性類型），并求線性回歸方程(\hat{s}=\hatt+\hat{a})（參考公式：(\hat=\frac{\sum(t_i-\bar{t})(s_i-\bar{s})}{\sum(t_i-\bar{t})^2})）；（2）若該校學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間服從均勻分布(U(4,16))，估計成績超過80分的概率；（3）為驗證模型可靠性，隨機選取10名學(xué)生進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中8名成績預(yù)測誤差在5分內(nèi)。使用二項分布檢驗該模型的準(zhǔn)確率是否為0.8（顯著性水平(\alpha=0.05)，臨界值(\chi^2_{0.05}(1)=3.841)）。（二）概率與決策題目8某工廠生產(chǎn)的電子元件分為A、B、C三個等級，合格率分別為98%、95%、90%，產(chǎn)量占比為60%、30%、10%。（1）從該廠產(chǎn)品中隨機抽取一件，求該元件為合格品的概率；（2）若一件元件為合格品，求其為A級的概率；（3）工廠計劃對C級元件進(jìn)行技術(shù)升級，升級后合格率提升至94%，但生產(chǎn)成本增加20%。若A級元件利潤為10元/件，B級為8元/件，C級升級前后利潤分別為5元/件和4元/件，判斷升級方案是否可行，并說明理由。（三）矩陣與線性規(guī)劃題目9某物流公司有甲、乙兩個倉庫，需向A、B兩地配送貨物。甲倉庫可發(fā)貨120噸，乙倉庫可發(fā)貨80噸；A地需貨100噸，B地需貨100噸。每噸貨物的運輸成本（元）如下表：倉庫/目的地A地B地甲2025乙1530（1）設(shè)甲倉庫向A地發(fā)貨(x)噸，乙倉庫向A地發(fā)貨(y)噸，寫出約束條件及總成本(z)的表達(dá)式；（2）用矩陣表示運輸成本，并通過線性規(guī)劃求最低總成本；（3）若A地需求增加10噸，B地需求減少10噸，用靈敏度分析判斷最優(yōu)解是否變化。四、跨模塊綜合應(yīng)用題目10某城市計劃修建一條連接市中心與機場的快速路，路線為拋物線形，以市中心為原點，沿東西方向為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。已知拋物線頂點為((10,8))，且過點((0,0))。（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若限速為80km/h，汽車在該路段的行駛時間(t)（小時）與路程(s)（km）滿足(t=\frac{s}{v}+0.01s)（含啟動減速時間），求汽車通過全程（從(x=0)到(x=20)）的最短時間及對應(yīng)的速度；（3）為評估噪音影響，在距離拋物線對稱軸5km處設(shè)置監(jiān)測點，求監(jiān)測點到拋物線路線的最短距離。題目11某科研團(tuán)隊研究一種病毒的傳播模型，假設(shè)感染人數(shù)(N(t))滿足微分方程(\frac{dN}{dt}=kN(1-\frac{N}{M}))，其中(k=0.2)，(M=10000)（環(huán)境最大容納量）。（1）求解該微分方程，寫出(N(t))的表達(dá)式（初始條件(N(0)=100)）；（2）求感染人數(shù)增長最快的時間點及此時的增長率；（3）若采取隔離措施使(M)降低至8000，求感染人數(shù)達(dá)到5000的時間比原模型延遲多久。五、開放性探究題題目12某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計“斐波那契數(shù)列炒股策略”：第(n)天的持倉量為斐波那契數(shù)列第(n)項(F_n)（(F_1=1,F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n)），股價(S(n))服從等比數(shù)列(S(n)=100\times1.01^n)。（1）求第10天的持倉量和股價；（2）若每日收益率(r(n)=\frac{S(n+1)-