2025年下學(xué)期高中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）函數(shù)$f(x)=x^3-2x^2+3x-1$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$為（）A.$3x^2-4x+3$B.$3x^2-2x+3$C.$x^2-4x+3$D.$3x^2-4x-1$曲線$y=e^x-2x$在點$(0,1)$處的切線方程為（）A.$y=-x+1$B.$y=x+1$C.$y=-2x+1$D.$y=2x+1$函數(shù)$f(x)=x\lnx$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(0,\frac{1}{e})$B.$(\frac{1}{e},+\infty)$C.$(0,1)$D.$(1,+\infty)$若函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=-1$處取得極大值，在$x=3$處取得極小值，則$a+b=$（）A.$-12$B.$-10$C.$-8$D.$-6$已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$，則其在區(qū)間$[0,3]$上的最大值為（）A.$4$B.$\frac{28}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$0$函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在$x=\frac{\pi}{4}$處的導(dǎo)數(shù)為（）A.$\sqrt{2}$B.$0$C.$1$D.$-\sqrt{2}$若函數(shù)$f(x)=e^x-ax$在$R$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,0]$B.$(-\infty,1]$C.$[0,+\infty)$D.$[1,+\infty)$設(shè)函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)為$f'(x)$，若$f(x)=x^2-f'(1)x+2$，則$f'(1)=$（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對得5分，部分選對得3分，錯選得0分）關(guān)于函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的性質(zhì)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞增B.$x=0$是函數(shù)的極大值點C.函數(shù)的極小值為$-2$D.函數(shù)圖像在點$(1,-0)$處的切線斜率為$-3$已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減B.$f(x)$的最小值為$1$C.當(dāng)$x>1$時，$f(x)>\frac{1}{x}$D.方程$f(x)=2$有兩個不同的實數(shù)解若函數(shù)$f(x)=x^2e^x$，則（）A.$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)為$f'(x)=x(x+2)e^x$B.$f(x)$在$(-\infty,-2)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$的極小值為$0$D.$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=-1$對稱下列利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的命題中，正確的有（）A.若$f'(x_0)=0$，則$x_0$必為函數(shù)$f(x)$的極值點B.函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$的圖像在區(qū)間$(a,b)$上恒在$x$軸上方，則$f(x)$在$(a,b)$上單調(diào)遞增C.若函數(shù)$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，則曲線$y=f(x)$在點$(a,f(a))$處存在切線D.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值為$f(a)$，則$f'(x)\leq0$在$(a,b)$上恒成立三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{\lnx}$的定義域為______，其導(dǎo)函數(shù)$f'(x)=$______。曲線$y=x^3-3x$與直線$y=2$的交點個數(shù)為______。已知函數(shù)$f(x)=x^3+bx^2+cx+d$的圖像過點$(0,1)$，且在$x=1$處的切線方程為$y=3x-1$，則$b+c+d=$______。某物體做直線運動，其位移$s$（單位：米）與時間$t$（單位：秒）的關(guān)系為$s(t)=t^3-3t^2+2t$，則$t=2$秒時物體的加速度為______米/秒2。四、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x\lnx$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程。（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）若$a=1$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(x)$在區(qū)間$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+bx+1$在$x=1$處取得極值，且在$x=2$處的切線斜率為$1$。（1）求$a$，$b$的值；（2）求$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最值。（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-2x+k$（$k$為常數(shù)）。（1）若$f(x)$在$R$上有兩個零點，求$k$的取值范圍；（2）證明：當(dāng)$x>0$時，$f(x)>\frac{1}{2}x^2+1$。（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=2x^2+5x+100$（單位：元），銷售收入函數(shù)為$R(x)=-x^2+20x$（單位：元），其中$x$為產(chǎn)量（單位：百件）。（1）求利潤函數(shù)$L(x)$；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤為多少？（12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{m}{x}$（$m\inR$）。（1）討論$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)$有兩個極值點$x_1$，$x_2$（$x_1<x_2$），證明：$f(x_1)+f(x_2)>2$。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（以下內(nèi)容僅為命題說明，實際試卷中無需呈現(xiàn)）一、單項選擇題A2.A3.B4.C5.B6.B7.A8.B二、多項選擇題BCD10.ABC11.AC12.BC三、填空題$(0,1)\cup(1,+\infty)$，$\frac{x(2\lnx-1)}{\ln^2x}$336四、解答題（要點提示）（1）$f'(x)=2x-2\lnx-2$；（2）切線方程為$y=-1$。（1）單調(diào)遞增區(qū)間$(-\infty,1-\sqrt{2})$，$(1+\sqrt{2},+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間$(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$；（2）$a\leq\frac{5}{4}$。（1）$a=1$，$b=0$；（2）最大值$\frac{4}{3}$，最小值$-1$。（1）$k<2-2\ln2$；（2）構(gòu)造函數(shù)$g(x)=e^x-2x+k-\frac{1}{2}x^2-1$，證明$g(x)_{\min}>0$。（1）$L(x)=-3x^2+15x-100$；（2）產(chǎn)量$2.5$百件時，最大利潤$-68.75$元（說明：此處為理論計算結(jié)果，實際問題中需考慮虧損情況）。（1）當(dāng)$m\leq0$時，$f(x)$在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增；當(dāng)$m>0$時，$f(x)$在$(0,\sqrt{m})$單調(diào)遞減，在$(\sqrt{m},+\infty)$單調(diào)遞增；（2）由極值點關(guān)系得$x_1x_2=m$，$x_1+x_2=\sqrt{m}$，代入化簡證明。命題說明：考點覆蓋：試卷涵蓋導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、運算公式、單調(diào)性、極值、最值、恒成立問題、實際應(yīng)用等核心知識點，符合2025年教學(xué)大綱要求。難度梯度：基礎(chǔ)題（選擇1-5、填空13-14）占40%，中檔題（