經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第二章函數(shù)目錄01函數(shù)的定義02函數(shù)的性質(zhì)03反函數(shù)04初等函數(shù)05經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)本章學(xué)習(xí)基本要求理解函數(shù)的概念；了解函數(shù)的基本特性熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；掌握經(jīng)濟(jì)分析中的常見函數(shù)，能夠運(yùn)用函數(shù)描述并解決經(jīng)濟(jì)問題012.1函數(shù)的定義一、常量與變量在所考慮的問題中不發(fā)生變化，保持某一固定的值，叫常量；在所考慮的問題中發(fā)生變化，可以取不同的值，叫變量。二、函數(shù)的定義函數(shù)的定義設(shè)有兩個變量x與y，當(dāng)變量x在實數(shù)某范圍任取一值時，變量y按確定的規(guī)則有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)，記y=f(x)。x叫自變量，y叫因變量，x的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，記Df。對x0

Df

,稱y0=f(x0)為函數(shù)y=f(x)在點x0的函數(shù)值，所有函數(shù)值的集合稱為值域，記Zf。函數(shù)有兩個要素：兩變量之間的對應(yīng)規(guī)則和定義域。例題1分析下列各組函數(shù)是否相同1)y=|x|與；2)與y=x1；解：1)相同，定義域相同，都是全體實數(shù)，對應(yīng)法則相同。2)不相同，自變量取值不能為

1，y=x1定義域為全體實數(shù)，定義域不同。例題2設(shè)

，求

f(1)、f(0)、f(

1)、解：例題3已知，求f(x+1)。解：先求f(x)

設(shè)則即 ，則三、函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域要根據(jù)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和實際意義來求，如y=ax2，作為數(shù)學(xué)表達(dá)式對任意的實數(shù)都有意義，定義域為全體實數(shù)；而在圓的面積公式A=

r2中，r要大于0。對于用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的函數(shù)，其定義域由表達(dá)式本身確定，這樣的定義域稱之為自然定義域。三、函數(shù)的定義域求函數(shù)的自然定義域，一般要從這樣幾方面考慮：（i）分母不能為零；（ii）偶次根號內(nèi)不能小于零；（iii）對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)要大于零；（iv）反三角函數(shù)arcsinx，arccosx中要x的絕對值不能大于1。函數(shù)的定義域一般用不等式或區(qū)間表示。例題求下列函數(shù)的定義域1)

2)

3)解1)由題意可知3x+40，即，所以函數(shù)的定義域為2)由題意可知,即,所以函數(shù)的定義域為[

2,1)

(1,+

)

3)由題意可知，解得，所以函數(shù)的定義域為(2,3]

四、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法，一般有公式法、表格法和圖示法。（一）公式法用數(shù)學(xué)式子表示自變量與因變量之間的關(guān)系，如y=x2+x

1，y=sin(x+1)等。在用公式法表示函數(shù)時，經(jīng)常會遇到在定義域的不同區(qū)間用不同式子表示的函數(shù)，叫分段函數(shù)。如（二）表格法將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值用表格對應(yīng)起來，如銀行的存款利率，存期是自變量，利率是函數(shù)。時間一年期二年期三年期五年期利率1.5%2.1%2.75%3.0%（三）圖示法用平面直角坐標(biāo)系中的曲線表示函數(shù)的方法叫圖形法，如，氣溫自動記錄儀描出某一天的氣溫變化曲線，給出了時間t與氣溫T的對應(yīng)關(guān)系。T12963O3691215182124t022.2函數(shù)的性質(zhì)一、單調(diào)性設(shè)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，任意x1,x2

(a,b)且x1<x2，如果有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；如果有f(x1)>f(x2)，則稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少。如：y=x2

在(,0)內(nèi)單調(diào)減少，在(0,+)內(nèi)單調(diào)增加。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)，對應(yīng)的區(qū)間統(tǒng)稱單調(diào)區(qū)間。

y=ex，y=lnx都是單調(diào)函數(shù)。單調(diào)增加的函數(shù)圖像是沿x軸的正向上升的曲線；單調(diào)減少的函數(shù)圖像是沿x軸的正向下降的曲線。yoax1x2bxf(x1)

f(x2)yoax1x2bxf(x1)

f(x2)二、奇偶性如果函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任意x都滿足f(

x)=

f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任意x都滿足f(

x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。yxox-xyxox-x例題判斷下列函數(shù)的奇偶性1)

2)

3)解1)所以為偶數(shù)2)

所以為奇函數(shù)。3)所以為偶數(shù)三、周期性如果函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任意x都滿足f(

x)=

f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任意x都滿足f(

x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。對于函數(shù)f(x)，如果存在正數(shù)T，使得對定義域內(nèi)的任意x，有f(x+T)=f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)周期函數(shù)，使此式成立的最小正數(shù)稱為f(x)的周期。如sinx的周期為2

，tanx的周期為

。周期函數(shù)圖形的特點是，自變量每經(jīng)過一個周期其圖形重復(fù)一次。周期函數(shù)的圖形可由一個周期內(nèi)的圖形平移得到。四、有界性設(shè)f(x)在區(qū)間(a,

b)有定義，如果存在正數(shù)M，使對于一切x

(a,

b)，有|f(x)|

M成立，則稱f(x)在區(qū)間(a,

b)有界，否則稱f(x)在(a,

b)為無界。如果f(x)在它的整個定義域內(nèi)有界，稱f(x)為有界函數(shù)。如y=

sinx對定義域（

，+

）內(nèi)任意x，都有|sinx|

1，所以sinx為有界函數(shù)；y=tanx在區(qū)間內(nèi)無界。如的周期為2

的周期為

。oxy

y=tanx/2/2032.3反函數(shù)一、反函數(shù)的概念定義2.2設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為Df，值域為Zf，如果對于Zf內(nèi)的任一值y，都有Df內(nèi)唯一確定且滿足y=f(x)的x值與之對應(yīng)，則可得到一個定義在Zf上的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)x=

(y)，稱為y=f(x)的反函數(shù)，而y=f(x)稱為直接函數(shù)。習(xí)慣上自變量用字母x，因變量用字母y，所以y=f(x)的反函數(shù)寫為y=

(x)或y=f1(x)。二、反函數(shù)的求法求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的方法：（1） 從方程y=f(x)解出x=

(y)；（2） 交換自變量和因變量的字母得y=

(x)。例2-7求函數(shù)y=x3+1的反函數(shù)解：y=x3+1，解出，交換x與y的位置得三、反函數(shù)的圖形

圖形特點：y=f(x)的圖形與其反函數(shù)y=

(x)的圖形關(guān)于直線y=x對稱。042.4初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是指下列五類函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)。它們是微積分研究對象的基礎(chǔ)，大家一定要熟練掌握它們的概念、性質(zhì)和圖形。（一）冪函數(shù)函數(shù)y=x

(

為實數(shù))稱為冪函數(shù)，其定義域隨

的不同而不同，但對x>0，都有定義。其性質(zhì)在

>0和

<0根本不同。要記住最常見的幾個冪函數(shù)y=x，y=x2，，y=x1，的定義域及圖形（二）指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax

(a>0,a

1)，定義域：(,+)，值域：(0,+)，圖形過（0，1）點，a>1時，單調(diào)增加，0<a<1時，單調(diào)減少，今后y=ex用的較多。（三）對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,a

1)，定義域：(0,+)，值域：(,+)。與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖形過（1，0）點，a>1時，單調(diào)增加，0<a<1時，單調(diào)減少（四）三角函數(shù)1．正弦函數(shù)y=sinx，定義域(,+)，值域[

1，1]，周期為2

的周期函數(shù)，奇函數(shù)2．余弦函數(shù)y=cosx，定義域(,+)，值域[

1，1]，周期為2

的周期函數(shù)，偶函數(shù)3．正切函數(shù)y=tanx，定義域，值域(,+)，周期為

的周期函數(shù)，奇函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)增加。在3．余切函數(shù)y=cotx，定義域，值域(,+)，周期為

的周期函數(shù)，奇函數(shù)，在(0,

)內(nèi)單調(diào)減少。還有（五）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsinx，定義域[

1，1]，值域，單調(diào)增加，奇函數(shù)。反余弦函數(shù)y=arccosx，定義域[

1，1]，值域[0，

]，單調(diào)減少函數(shù)，

反正切函數(shù)y=arctanx，定義域(,+)，值域，單調(diào)增加，奇函數(shù)。反余切函數(shù)y=arccotx，定義域(,+)，值域(0，

)，單調(diào)減少函數(shù)，

二、復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=

(x)，如果u=

(x)的值域包含在y=f(u)的定義域中，則變量y通過變量u構(gòu)成變量x的函數(shù)y=f[

(x)]，稱為x的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量。如y=f(u)=lnu，u=

(x)=x2+1，可復(fù)合成y=f[

(x)]=ln(x2+1)三、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次復(fù)合構(gòu)成的能用一個解析式表出的函數(shù)叫初等函數(shù)。今后我們遇到的函數(shù)大多是初等函數(shù)。如012.5經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)一、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)需求函數(shù):表示商品的需求量與影響因素之間的關(guān)系,

實例分析某地區(qū)市場上可樂的價格與其消費(fèi)需求量的對應(yīng)數(shù)量關(guān)系，可以通過圖中直線表示，即為可樂的價格和需求量之間的函數(shù)關(guān)系隨著可樂價格的上漲，可樂的需求量下降，可樂的價格與需求量呈反方向變化2.供給函數(shù)供給函數(shù):表示商品的供給量與影響因素之間的函數(shù)關(guān)系