2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽自主招生試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）以下每道小題均給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確．1．設(shè)(a=\sqrt{3}-1)，則代數(shù)式(\frac{2a^3+6a^2-a}{2a^2-1})的值為（）A．(-3)B．(3)C．(-3+2\sqrt{3})D．(3-2\sqrt{3})2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)(m,n,p,q)，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)((m,n))與((p,q))的運(yùn)算“△”為：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))．若對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x,y)，都有((x,y)△(a,b)=(x,y))，則((a,b))為（）A．((0,1))B．((1,0))C．((-1,0))D．((0,-1))3．已知(A,B)是兩個(gè)銳角，且滿足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實(shí)數(shù)(t)所有可能值的和為（）A．(-\frac{1}{2})B．(-\frac{3}{2})C．(1)D．(\frac{3}{2})4．如圖，點(diǎn)(D,E)分別在(\triangleABC)的邊(AB,AC)上，(BE,CD)相交于點(diǎn)(F)，設(shè)(S_{\text{四邊形}EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）A．(S_1S_3<S_2S_4)B．(S_1S_3=S_2S_4)C．(S_1S_3>S_2S_4)D．不能確定5．設(shè)(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）A．(4)B．(5)C．(6)D．(7)二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6．兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)(a,b)（其中(a<b<2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．7．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8．同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是________．8．如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x}(x>0))與矩形(OABC)的邊(CB,BA)分別交于點(diǎn)(E,F)，且(AF=BF)，連接(EF)，則(\triangleOEF)的面積為_(kāi)_______．9．(\odotO)的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將(\odotO)分成的區(qū)域的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．10．設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(\overline{abcd}=20\cdot\overline{ab}+16\cdot\overline{cd})，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題（共4題，每小題20分，滿分80分）11．已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+bx+c=0)的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程(x^2+(b-1)x+(c-1)=0)的兩個(gè)根都大1，求(b)和(c)的值．12．如圖，點(diǎn)(H)為(\triangleABC)的垂心，以(AB)為直徑的(\odotO_1)和(\triangleBCH)的外接圓(\odotO_2)相交于點(diǎn)(D)，延長(zhǎng)(AD)交(CH)于點(diǎn)(P)，求證：點(diǎn)(P)為(CH)的中點(diǎn)．13．若從1，2，3，…，(n)中任取5個(gè)兩兩互素的不同整數(shù)(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)，其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求(n)的最大值．14．在(\triangleABC)中，(\angleBAC=60^\circ)，(AB=2AC)．點(diǎn)(P)在(\triangleABC)內(nèi)，且(PA=\sqrt{3})，(PB=5)