專題07相似（13個考點(diǎn)）

【知識梳理+解題方法】

一.比例的性質(zhì)

（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做

比例的內(nèi)項(xiàng).

（2）常用的性質(zhì)有:

①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若旦=￡，則4d=床.

bd

②合比性質(zhì).若旦=￡,則史業(yè)=2曳.

bdbd

③分比性質(zhì).若且=￡,則立空=￡工.

bdbd

④合分比性質(zhì).若且=￡,則空k=￡型.

bda-bc-d

⑤等比性質(zhì).若且=￡=-=@（b+d+…+〃ro）,則生9二二四=衛(wèi).

bdnb+d+...+nn

二.比例線段

（1）對于四條線段〃、b、。、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比用等，如ab

="（即〃=反），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

三.分割

（1）分割的定義：/c?§

如圖所示，把線段A8分成兩條線段AC和BC（4O8C）,且使AC是48和8c的比例中項(xiàng)（即AB：AC

=XC：8C）,叫做把線段AB分割，點(diǎn)C叫做線段/W的分割點(diǎn).

其中AC=m-1/8=0.618",并且線段48的分割點(diǎn)有兩個.

2

（2）三角形：三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為比值.

三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°,頂角為36。.這樣的三角形的底與一腰之長之比為比:

近二1;②等腰三角形，兩個底角為36°,頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為比：近二1.

22

（3）矩形：矩形的寬與長之比確切值為近11.

2

四.平行線分線段成比例

（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平

行于三角形的第三邊.

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的

三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

五.相似圖形

（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對于相似圖形，應(yīng)注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同：

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

（3）相似三角形

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

六.相似多邊形的性質(zhì)

(1)如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形.

(2)相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

(3)全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形.

(4)相似多邊形的性質(zhì)為：

①對應(yīng)角相等:

②對應(yīng)邊的比相等.

七.相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.

(I)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形(多邊形)的周長的比等于相似比;

相似三角形的對應(yīng)線段(對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高)的比也等于相似比.

(3)相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平

方.

八.相似三角形的判定

(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時要

善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似;

（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù).比較簡單的是把原三角形的三

邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例口】可得到對應(yīng)的相似圖形.

十二.位似變換

（1）位似圖形的定義：

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫

做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心.

注意：①兩個圖形必須是相似形；

②對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)；

③對應(yīng)邊平行.

（2）位似圖形與坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為女,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等

于1或-A

十三.作圖位似變換

（1）畫位似圖形的一般步驟為：

①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位

似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.

借助橡皮筋、方格紙、格點(diǎn)圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機(jī)也很好地將一個圖形放大或縮

小.

（2）注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在

圖形卜.對于具體問題要考慮畫圖方便日符合要求.②由于位似中心選擇的任意性,因此作已知圖形的位似

圖形的結(jié)果是不唯一的.

【專題過關(guān)】

一.比例的性質(zhì)（共4小題）

1.（2021秋?碧江區(qū)期末）若旦=2，則立也的值是（）

b3a-b

A.—B.C.-2D.2

22

2.（2022秋?大埔縣期中）已知且=￡?=￡■=?1且從■Zd■尸0,則a+2c-e的值為（）

bdf3b+2d-f

2911

A.—B.—C.—D.—

2336

3.（2022?夾江縣模擬）已知力2=加,，若〃：b=4：3,則力：c,的值等于（）

A.2：3B.3：2C.3：4D,4：3

4.（2022?大渡口區(qū)模擬）計算：

（1）已知x：y=2：3,若K+>=I5,求X,y的值.

（2）解方程：3x（x-2）=x~2.

二.比例線段（共5小題）

5.（2021秋?梧州期末）如果線段。=4c〃?，h=\6cm,那么〃和〃的比例中項(xiàng)是（）

A.B.4c〃？C.ScmD.64cm

4

6.（2022?宜昌模擬）已知線段a,b,c,如果a：b：c=\：2：3,那么"曳：Q2的值是（）

2c+bc+b

7.（2022?安慶二模）安慶潛山素有古皖之源、皖國古都、二喬故里、京劇之祖、禪宗之地、黃梅之鄉(xiāng)等等

眾多美名.擁有“潛陽十景”之首美譽(yù)的胭脂井，完美融入二喬公園之中，為古皖名城增輝，為百姓休

對生活增色.二喬公園占地面枳57622.48/J,其中景觀綠化面積約為37000/J,在按比例尺I：300縮小

繪制的公園示意圖中，景觀綠化面積大約相當(dāng)于（）

A.某縣體育中心體育館的面積

B.一張乒乓球臺的面積

C.一張《安徽日報》報紙的面積

D.《數(shù)學(xué)》教科書封面的面積

8.（2022秋?大埔縣期中）已知a,b,c是△A/3C的三邊長，且?=上=￡^0,若△A8C的周長為6（）,求

546

各邊的長.

9.（2022秋?新昌縣校級期中）已知線段”，〃滿足旦=上，且〃+”=34.

512

（1）求。的值.

（2）若線段x是線段。，〃的比例中項(xiàng)，求x的值.

三.分割（共3小題）

10.（2021秋?防城港期末）在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于

卜.部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感，這個比值叫分割數(shù).按此比例，若雕像的高為2米，

那么它的下部應(yīng)設(shè)計為多高？設(shè)雕像下部高x米，可列方程為（）

A./+2X-4=0B.?-2A+4=0C.?-2X-4=0D.?+2V+4=0

11.（2022秋?漢陽區(qū)期中）在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于

卜.部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感.按此比例，如果雕像的高度為2〃?，那么它的下部應(yīng)

設(shè)計的高度為（）m.

A.遙7B,C.導(dǎo)。?導(dǎo)

12.（2022?茂南區(qū)一模）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為三角形.如圖，△A8C中，且N

4=36°,則△A3C為三角形.

（1）尺規(guī)作圖：作N8的角平分線，交AC于點(diǎn)￡>.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）請判斷是否為三角形，如果是，請給出證明，如果不是，請說明理由.

四.平行線分線段成比例（共2小題）

13.（2021秋?雙灤區(qū)期末）如圖，AD//BE//CF,直線八，，2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A,B，C和點(diǎn)。,

E,F.已知AB=1,DE=2,BC=3,則上戶的長為（）

14.（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為的04邊上一點(diǎn)，AC：OC=\：2,過。作CO

交A3于點(diǎn)。，。、。兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3,則3點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

A.4B.5C.6D.7

五.相似圖形（共2小題）

15.（2021秋?福州期末）下列說法正確的是（）

A.有一個角等于100°的兩個等腰三角形相似

B.兩個矩形一定相似

C.有一個角等于45°的兩個等腰三角形相似

D.相似三角形一定不是全等三角形

16.（2021秋?耒陽市期末）下列四組圖形中，不是相似圖形的是（)

B.

六.相似多邊形的性質(zhì)（共2小題）

17.（2021秋?順平縣期末）一個四邊形A3。各邊長為2,3,4,5,另一個和它相似的四邊形A/iCiD最

長邊為15,則四邊形4加。。1的最短邊長為（）

A.2B.4C.6D.8

18.（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCQs四邊形ER7凡NA=80°,ZC=90°,ZF=70°,則

的度數(shù)為（）

A.100°B.1100C.120〃D.130〃

七.相似三角形的性質(zhì)（共2小題）

19.（2021秋?滄州期末）如圖所示,若△DACsAAB州則需滿足（）

A.C0=AD?DBB.AC2=BC*CDC.至gD.空羋

CDBCDAAC

20.（2022?賀州）如圖，在△ABC中,DE//BC,DE=2,BC=5,則必加心S"8C的值是（)

八.相似三角形的判定（共4小題）

21.（2021秋?盧龍縣期末）下列判斷中，不正確的有（）

A.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

B.兩邊對應(yīng)成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似

C.有一個銳角相等的兩個直角三角形相似

D.有一個角是100。的兩個等腰三角形相似

22.（2022秋?徐匯區(qū)期中）如圖，。是邊上的一點(diǎn)，N4BC的平分線交邊”于

點(diǎn)、E,交AO于點(diǎn)E則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ABFAsABECB.ABDFsMECC.ABACsABDAD.ABDF^ABAE

23.（2022?沈陽模擬）已知等邊△力BC,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別是邊BC,AC上的動點(diǎn)，BD=CE,則圖中相似的

三角形的對數(shù)是（)

A.3對B.4對C.5對D.6對

24.（2021秋?藤縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米.點(diǎn)P從點(diǎn)。開始

沿OA向點(diǎn)人以1厘米/秒的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿HO向點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動.當(dāng)一點(diǎn)

運(yùn)動到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止.如果P、。同時出發(fā)，用/（秒）表示移動的時間（0V/V6）,求當(dāng)

△POQ與△AO3相似時I的值.

九.相似三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

25.（2021秋?南宮市期末）如圖，ZC=ZE,AC=2,8c=4,AE=\.5,則。E的長為（）

q7

A.—B.3C.4D.—

22

26.（2022?大慶模擬）如圖，平行四邊形44co的對角線AC,80相交于點(diǎn)。，NA3C=60°,A8=2BC,

E是/W的中點(diǎn)，連接CE,0E.下列結(jié)論：①4ACO=30°；②CE平分NQC&③。。=4。石；④S&COE

和邊形2.其中結(jié)論正確的序號有（）

A.①②B.②@④C.①②③D.①?④

27.（2022?南充模擬）如圖，在AABC中，NACB=90°,CO是邊AB上的中線，E/垂直平分CQ,分別

交AC,BC于E,F,連接?！闐F.

（1）求證：△OCESXQFD.

（2）當(dāng)A￡=7,6f=24時，求線段E尸的長.

28.（2021秋?德?？h期末）如圖，在△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,CE=6,2c=15.

（1）求和b的長；

（2）直接判定四邊形。"CE的形狀.

29.（2022?惠民縣一模）如圖，A8是。0的直徑，AC是弦，OOJ_AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)4作。0的切線AP,

與0D的延長線交于點(diǎn)P,連接CP,與AH的延長線交于點(diǎn)E.

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）求證：EC2=EA*EB.

30.（2022?十堰模擬）如圖，已知CE是。。的直徑，點(diǎn)8在C。上.

（1）若。。的半徑為2,且。為菽的中點(diǎn)，求圓心。到弦CO的距離;

（2）在（1）的條件下，當(dāng)。尸?OB=C7）2時，求的大小.

D

一十.相似三角形的應(yīng)用（共6小題）

31.（2021秋?定興縣期末）如圖，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為20“樹的頂

瑞在水中的倒影距自己5〃?遠(yuǎn)，淇淇的身高為1.7〃?，則樹高為（）

C.5.1/22D.6.8/??

32.（2021秋?涿州市期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板。痔測量樹的高度他調(diào)整自己

的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊QE=40a〃，

EF=20cm,測得邊。尸離地面的高度AC=150c〃?，C￡>=800c/n,則樹高A8等于（）

A.300a"B.400（/??C.550cwD.都不對

33.（2021秋?城固縣期末）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑的高度（如圖1）.如圖

2,在地面8C上取E,G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2加的標(biāo)桿E尸和G”，兩標(biāo)桿間隔EG為23加，并且

古建筑4B,標(biāo)桿和G”在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿E尸后退到。處（即瓦）=2〃?），從。處觀察

4點(diǎn)，A、F、。三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退到C處（即CG=4/〃），從C處觀察A點(diǎn)，A、”、C三

點(diǎn)也成一線.已知仄E、。、G、。在同一直線上，ABLBC,EFLBC,GH1BC,請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，

幫助實(shí)踐小組求出該古建筑AB的高度.

圖1圖2

34.（2022秋?東湖區(qū)期中）某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實(shí)踐活動，如圖，他們在旗

桿底部所在的平地上放置一個平面鏡E來測量學(xué)校旗桿A8的高度，鏡子中心E與旗桿的距離EB=20

米，當(dāng)鏡子中心E與測量者的距離ED=2米時?，測量者剛好從鏡子中看到旅桿頂部的端點(diǎn)A.已知測量

者的身高為1.6米，測量者的眼睛距地面的高度為1.5米.

（1）在計算過程中C、D之間的距離應(yīng)是米；

（2）根據(jù)以上測量結(jié)果，求出學(xué)校旗桿4B的高度.

a

35.（2022?碑林區(qū)模擬）小潁想利用標(biāo)桿和皮尺測量自己小區(qū)大門口前遮雨玻璃水平寬度48,他在樓門前

水平地面上選擇一條直線C”，AB//CH,在CH上距離C點(diǎn)8米的。處豎立標(biāo)桿DE±CH,他沿

著DH方向走了2米到點(diǎn)N處，發(fā)現(xiàn)他的視線從M處通過標(biāo)桿的頂端E正好落在遮雨玻璃的B點(diǎn)處，

繼續(xù)沿原方向再走2米到點(diǎn)。處，發(fā)現(xiàn)他的視線從P處通過標(biāo)桿的頂端E正好落在遮雨玻璃的A點(diǎn)處,

求遮雨玻璃的水平寬度A8.

36.（2022?柯橋區(qū)一模）課本中有一個例題：木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑，如圖，用角尺的

較短邊緊靠。。于點(diǎn)A,并使較長邊與相切于點(diǎn)C記角尺的直角頂點(diǎn)為從量得A3=8c〃?，BC=

\6cm,求。0的半徑.

課本中給出的解答是：如圖，連接。C,。4,作AD_L。。，垂足為。，設(shè)圓的半徑為W〃?，

V0。與BC相切于點(diǎn)C,：.OC1BC,

'JABLBC,ADLOC,J四邊形A3C。為矩形，

：.AD=BC,DC=AB,OD=OC-CD=OC-AB,

在RtZ\A。。中，OA2=OD2+AD2,即J=(r-8)2+162,

解得:r=20,即該圓的半徑為20cm.

（1）課堂上，小敏同學(xué)說：“這個題目還可以用構(gòu)造相似三角形的方法來求解！”請你根據(jù)小敏同學(xué)提到

的方法解答這個問題：

（2）老師提出：若將角尺的兩邊抽象成兩條互相垂直的射線.如圖（2）,/P8Q=90°,0。與BQ、

BP分別交于點(diǎn)C、。與點(diǎn)A、E,若A8=8,BC=6,CD=\2.求AE的長.

圖⑴圖⑵

一十一.作圖相似變換（共2小題）

37.（2021秋?鐘山區(qū)期末）如圖①，在△A8C中，點(diǎn)P是A8邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），過

點(diǎn)、P的直線PE與AC交于點(diǎn)E使NAEP=NB.

（1）試判斷△ABC與△4EP的關(guān)系，并說明理由.

（2）若把滿足（1）的直線PE稱作“△A8C的一條相似線”，在圖②的△ABC中，ZA-36°,AB-AC,

且點(diǎn)P在4C垂直平分線上，請問過點(diǎn)P的“△48C的相似線”有幾條？并在圖②中作出所有過點(diǎn)尸的

“△ABC的相似線”.

38.（2022秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，在△A8C中，AB=AC,請用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點(diǎn)。，使得

△O/WsAABC.

一十二.位似變換（共2小題）

39.（2021秋?鐘山區(qū)期末）如圖，四邊形4BC。與四邊形以《