蘇科版八年級數(shù)學上冊《3.1勾股定理的探究》同步練習題（附答案）

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一、選擇題

1.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形48CD,中間陰影部分是一個小正方形EFGH,這

樣就組成一個“趙爽弦圖"，若AB=5,AE=4,則正方形的面積為（）

A.IB.2C.4D.6

2.如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形.若圖中的

直角三角形的一條直角邊長為5,大正方形的邊長為13,則中間小正方形的面積是（）

A.144B.49C.64D.25

3.下列條件中，不能判斷一個三角形是直角三角形的是（）

A.三個角的比為1：2：3B.三條邊滿足關系小=后一〃

C.三條邊的比為1：2：3D.三個角滿足關系48+乙。=44

4.△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

5.滿足兩條直角邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個數(shù)有（）.

A.1個B.2個C.3個D.無窮多個

6.圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成組2的正方體，則圖1中正方形頂點A、

B在圍成的正方體中的距離是（）

圖I

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A.0B.1C.x/2D.6

7.如圖，ABAC=Z-DAF=90°,AB=AC,AD=AF,D,E為BC邊上的兩點，且zOAE=45°,連

結EF,BF有下歹U結論：@^AFB=^ADC；（?）△ABD等IJ要三角形；（3）ZADC=120°；@BE2+DC2=

.其中正確的個數(shù)是（）

二、填空題

8.如圖是勾股樹衍生圖案，它由若干個正方形和直角三角形構成，Si，S2,S3,S,分別表示其對應

正方形的面積，若已知上方左右兩端的兩個正方形的面積分別是64,9,則51-52+$3-54的值為_

9.人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a,b,c滿足的關系〃+必=。2,我國漢代“趙爽弦圖”（如圖）

就巧妙的利用圖形面積證明了這一關系.下列幾何圖形中，可以正確的解釋直角三角形三邊這一關系

的圖有_________.（直接填寫圖序號）

ahcacbabah

①②③

10.如圖，以/?￡△48C的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若48=依，則圖中陰影部分的

面積為_________.

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11.如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相互垂直，若AB=3,BC=4,CD=5,則AD的長

為1

B

12.我國古代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1）,后人稱其為“趙爽弦圖:由圖1

變化得到圖2,它是用八個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形A8CD,正方形EFG”，正方

形MNKT的面積分別為S】，S2,S3.若S2=12,則S1+S3的值為

13.我國漢末三國初數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙契弦圖”，如

圖①.圖②由弦圖變化得到，它是用8個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD、正方形

EFGH、正方形MNKT的面積分別為Si,S2,S3,若S1+S2+^3=10,則S2的值是.

14,青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學家劉徽根據(jù)“割補術”運用數(shù)形關系證明勾股定理引入的圖形，

該圖中的兩個青入的三角形分別與兩個青出的三角形全等，朱入與朱出的三角形全等，朱方與音方是

兩個正方形.為便于敘述，將其繪成圖2,若記朱方對應正方形GD/”的邊長為a,青方對應正方形48CD

的邊長為b,已知b-Q=3,a2+b2=29?則圖2中的陰影部分面積為.

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（3）若AC=5,BC=3,EC=1,請直接寫出線段AF的長.

17.如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，在RSABC中，ZACB=90°,

BC=a,AC=b,AB=c；在正方形IECF中，IE=EC=CF=FI=Xo

小明發(fā)現(xiàn)了求止方形邊長的方法：由題意可得BD=BE=a-x,AD=AF=b-x,因為AB=BD+AD,所

以a-x+b-x=c,解得x=o

（2）探究2

小亮發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：連接IC,利用SAABC=SAAIB+SAAIC+SABIC可以得至I」x與a、

b、c的關系.請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程。

（3）探究3

請結合小明和小鳧得到的結論驗證勾股定理（注：根據(jù)比例的基本性質，由。=（可得ad=bc）。

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18.如圖，△ABC中，乙4cB=90。，AB=10,BC=6,若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度

的速度沿折線4-C-B-4運動，設運動時間為t秒(￡>0).

(2)若點P恰好在284c的平分線上，求t的值;

(3)若以P,C,B為頂點的三角形是等腰三角形時，直接寫出t的值.

19.如圖1,在等邊三角形ABC的AC,8c邊上分別取點E,A使AE=CF,連結BE,4尸相交于點P.

(1)求NBPF的度數(shù).

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(2)^^CBE=45°,PF=2,求BP的長.

(3)如圖2,連結CP,若N8PC=90。，AB=7,求8尸的長.

20.定義：若連結三角形一個頂點和對邊上一點的線段能把該三角形分成一個等腰三角形和一個直角

三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個三角形叫做智慧三角形.

圖2圖3

(1)如圖1,在智慧三角形48C中，4018C,力。為該三角形的智慧線，CD=1,AC=2,則80長

為,的度數(shù)為.

(2)如圖2,AABC為等腰直角三角形，乙84c=90。，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點，連結4F,以AF

為直角邊作等腰直角三角形4FE(點力，為E按順時針排列)/應4F=為。,4￡交BC于點D,連結EC,

EB,當48OE=24BCE時，求證：EO是△EBC的智慧線.

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（3）如圖3,△ABC中，48=AC=5,BC2=80,若aBCD是智慧三角形，且4c為智慈線，求公BCD

的面積.

21.已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角

形PCQ,其中/PCQ=90。，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+V5,PA=VJ，則：

①線段PB=，PC=；

②猜想：PA2,PB—PQ2三者之間的數(shù)量關系為

（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出

證明過程；

（3）若動點P滿足器=木求器的值.（提示：請利用備用圖進行探求）

2.B

3.C

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4.C

5.C

6.C

7.C

8.55

9.③④

10.5

11.4x/2

12.24

1310

13,T

14.10

15.2V13

16.(1)解：EF=BE.

(2)解：過點A作AG_LAC交ED延長線于點G,連接FG,

???AG〃BC,

AZAGD=ZBED,

在AAGD和ABED中：VZAGD=ZBED,ZADG=ZBDE,AD=BD,

:AGD且△BED,

二.AG=BE,

???FD垂直平分GE,

???FG=FE,

VGF^AG^AF2,

???EF2=BE2+AF2；

(3)解：如圖，當點E在線段BC上時,

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設AF=x,則CF=5-x,BE=2,由EF2=AF2+BE2=CF2+CE2,得x2+2=(5-X)2+1.2,X=

11

T

如圖，當點E在BC延長線上時，

222

設AF二x,貝lJCF=5-x,BE=4,同理由x+4=(5-x)4-1,得x=L

綜上所述，AF的長為9或1.

17.(1)

(2)解：VSAABC=SAAB|++SABIC+SAAIC

AIab=icx+Iax+|bx,/.x=

2222a+b+c

(3)解：根據(jù)(1)和(2)得*=^Z￡=-^—,2ab=(a+b+c)(a+b-c),

Za+b+c

化簡得a2+b2=c2…

18.⑴竿

(2)等或24

(3)2或19或20或野

19.(1)解：MABC是等邊三角形,

:.LBAC="=60°,AB=AC,AE=CF,

在A48E和中，

AB=CA

乙EAB=乙FCA,

EA=FC

:4ABE=△CAF(SAS),

:.LABE=Z.CAF,

LBPF=Z.ABE+乙BAP=/.CAF4-Z.BAF=60°；

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(2)解：如圖，過點尸作FM_L8"于點M,

vLBPF=60°,

zMFP=90°-60°=30°,

PM=1,MF=y/PF2-PM2=V22-=V3?

VLMBF=45°,Z-BMF=90°,

BM=MF=百，

-%BF=y/BM2+MF2=J(百j+(V5)2=后

(3)解：如圖，過點B作BN_L4產于點N,

設PN=x,

???在RtZkBNP中，Z-BPN=60°,

LPBN=30°,

???BP=2x,

二.在等邊三角形4BC中，/.BAG=/-ABC=60°,=AC,

又；/.ABE=Z.CAF,

LBAN=乙CBP,

又；乙ANB=乙BPC,AB=BC,

在△48/7和4C8P中，

乙BAN=乙CBP

乙ANB=乙BPC,

AB=CB

ABNACBP(44S),

???AN=BP=2%,

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BN2=BP2-PN2=(2x)2一%2=3*2,

???在RtAABN中,AB2=BN2-iAN2,

.%3X2+(2X)2=72,

解得：％=±V7,

???x>0,

???x=V7,

BP=277.

20.(1)V3,45°

(2)證明：如圖2中，'：^BAC=^EAF=90°,

A

E

：.LBAE=4C4產，

在ABAE和△C4尸中,

AB=AC

Z.BAE=Z-CAF,

AE=AF

:?&BAE*CAF(SAS)，

：.LABE=^.ACF,

'：LABC=Z-ACB=45°,

C.LABE=^ACF=135°,

:.乙EBD=90°,

?:乙BDE=2DCE+乙DEC,乙BDE=2乙DCE,

：.LDCE=乙DEC,

:,DE=DC,

???△OEC是等腰三角形，

??,△￡08是直角三角形，

是智慧三角形；

???E。是