專題1.4（2）特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定（專項練習(xí)）

（夯實基礎(chǔ)）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選

項，其中只有一項符合題目要求）

（2025?河南駐馬店?三模）

1.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角線相等B.對角線平分一組對角

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直且相等

（2025?河南?模擬預(yù)測）

2.如圖，在RtZ^48C中，AB=3t^ABC=90°,〃。是4c邊上的中線，以4D,為鄰

i力作平行四i力形力力9月.若/￡4。=120。，則力。的長為（）

A.3行B.5C.6D.473

（24-25八年級下?河南商丘?期中）

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=&,對角線力。與5。相交于點。，DEJ.AC,垂足

為E,OE=CE,則8c的長為（）

A.3&B.4C.2石D.272

（2025?四川內(nèi)江?中考真題）

4.按如下步驟作四邊形幺8CO：（1）畫NE4/；（2）以點A為圓心，1個單位長為半徑畫

弧，分別交力￡\AF于點、B、。：（3）分別以點8和點。為圓心，1個單位長為半徑畫弧,

兩弧交于點C;（4）連接8C、DC、BD.若乙4=40。，則4DC的度數(shù)是（）

試卷第1頁，共8頁

E

A二DF

A.64°B.66°C.68°D.70°

（2025?陜西榆林?模擬預(yù)測）

5.如圖，菱形月5c。繞著頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形石尸GO,連接4G,若

4DEF=80。，則ZDAG的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

（24—25八年級下?河北唐山?期中）

6.如圖，直線/分別交兩坐標(biāo)軸于48兩點，P是線段/出上任意一點（不包括端點），過

點夕分別向兩坐標(biāo)軸作垂線，與兩坐標(biāo)軸用成矩形的周長為16,則/的函數(shù)表達式是（）

打

3

O\A\X

A.y=x+8B.y=-x+8C.y=x+16D.=-x+16

（2025?河南周口?三模）

7.如圖所示，線段48的端點8在直線上，過線段48上的一點。作MN的平行線，分

別交和/"N的平分線于點C,D,連接/1C,/。，要使四邊形力C8。為矩形，則可

添加下列條件中的（）

C.ZJC5=90°D.AC=AD

試卷第2頁，共8頁

（2025?四川南充?一模）

8.如圖，在口48C7）中，￡戶分別是邊力民C。的中點，N在對角線力。上,

AM=CN.要使四邊形EMFN是矩形，可添加下列條件（）

A.NAME=900B.MN=2AMC.MN=ABD.MN=AD

（2025?浙江麗水?二模）

9.將邊長為。的菱形44CQ分別沿著E尸和G〃折疊（E,/，G,“分別在邊。。，BC,

AD,48上），使點A和點C在折疊后均落在4C邊上的點M處.若NC=45。，DE=CE,

EFJ.BC于EF,則的周長為（）.

（2025?黑龍江哈爾濱?三模）

10.如圖1,在菱形48CD中，ZD=120°,動點。從點A出發(fā)，沿折線/OfZ）CfC4方

向勻速運動，運動到點〃停止。設(shè)點P的運動路程為x，的面積為九V與x的函數(shù)

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（24-25八年級下山東淄博期中）

11.如圖將邊長為10,一條對角線長16的菱形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中陰影部

試卷第3頁，共8頁

徑畫弧，交于點、E；②分別以點。，E為圓心，大于;。七長為半徑畫弧，兩弧交于點

F；③畫射線片尸，交DC于點G,若4B=8,AE=6,則CG=.

（24-25八年級下?廣東汕頭?期中）

16.如圖，在正方形力8c。外側(cè)，以力。為一邊向上作等邊三角形連接“，AC,

相交于點E則的度數(shù)是.

（2025八年級卜.?全國?專題練習(xí)）

17.如圖，在矩形4BCD中，點、E、F分別為BC、上一個動點，以EF為對稱軸折登△口?"，

使點C的對稱點尸落在力。上，若33,"=5,則CF的取值范圍為.

18.如圖，有一矩形紙片48CQ,"=243=4,點。為邊8C上一個動點，將紙片沿。。

折疊，點。的對應(yīng)點為點E.點。關(guān)于點。的對稱點為〃，連接力。'交8c于點O,連接4E

并延長交。。于點G.

試卷第5頁，共8頁

（1）若ZD4G=28°,則/G40'=0；

（2）點石到力。'的距離最小值為.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（24-25八年級下?河南安陽?期中）

19.如圖，AB=AC,AD=AE,且N1=/2.

⑴求證：NEBC=/DCB；

Q）若ED=BC,判定四邊形E8CO的形狀，并說明理由.

（2025?山西呂梁?二模）

20.如圖，四邊形力為菱形.

（1）過點。作直線6c的垂線。區(qū)后為垂足.（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明宇

母）

（2）若N8=60。，試探究C￡與48的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（24-25八年級下?江蘇徐州?期中）

21.如圖，在口/BCD中，點E,尸在對角線8。上，月產(chǎn).

試卷第6頁，共8頁

AD

(1)求證：四邊形NEB是平行四邊形；

(2)若增加一個條件，可使四邊形4E3是菱形，則該條件可以是.

(24-25八年級下?全國?期末)

22.如圖，四邊形力4c。是正方形，點￡在8c的延長線上，且CE=CD,F是DE上一點,

連接力",作尸G_L力尸交射線OC于點G.

①②

(1)如圖①，連接4G,當(dāng)。尸=E/時，判斷△/尸G的形狀，并說明理由：

(2)如圖②，當(dāng)。尸工石尸時，寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2025八年級下?全國?專題練習(xí))

23.如圖，正方形48C。中，點P在對角線8。上，點E在的延長線上，且PE=PC,

過點尸作尸產(chǎn)_L4E于凡直線。尸分別交48、C。于G、H.

(2)若4E=1,AB=3,求P￡的長；

(3)求證：DH=AG+BE.

(24-25八年級上?四川成都?期末)

24.【操作思考】

(1)如圖1,已知方格紙每個小方格都是長為I個單位的正方形，已知線段48的端點均在

試卷第7頁，共8頁

正方形網(wǎng)格格點上，其位置如圖所示.請在網(wǎng)格紙上畫出以48為斜邊的所有互不全等的直

角三角形，要求這些三角形的頂點均在正方形網(wǎng)格格點上.

【聯(lián)系應(yīng)用】

AC1

(2)如圖2,在中，ZC=90°,—=D，E是8C邊的三等分點，連接

BC3

AD,AE,求N1+N2+/3的度數(shù).

【拓展延伸】

(3)如圖3,已知正方形48CO的邊長為3,當(dāng)點〃是邊的三等分點時，把沿C”

翻折得△GC77,延長AG交力。于點"，求“。的長.

圖2

試卷第8頁，共8頁

1.A

【分析】本題考查矩形和菱形的性質(zhì)，根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)判斷即可，矩形和菱形具有平

行四邊形的所有性質(zhì)，矩形的四個內(nèi)角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊都相等，對角

線互相垂直.

【詳解】解：矩形和菱形的對角線都互相平分，鄰角互補，菱形的對角線互相垂直且對角線

平分一組對角，矩形的對侑線相等，即矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等，

故選：A.

2.C

【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的?半，含30。

角的直角三角形的性質(zhì)，掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半，可得50=4。，證明平行四邊形/QBE是

菱形，繼而求出NC=30。,即可解答.

【詳解】?.?N4?C=90。，是4。邊上的中線

???BD=AD,

???四邊形4Q8E是平行四邊形，

??.平行四邊形力處汨是菱形.

:.Z.EAB=ZDAB=-ZEAC=60°.

2

.--ZC=30°,

AC=2AB=6.

故選C.

3.A

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，由矩形的

性質(zhì)得出O4=OQ=OC,由已知條件得出OE=CE,NDE4=90°,由線段垂直平分線的性

質(zhì)得出OQ=CQ,最后由勾股定理即可求出8。的長.

【詳解】解：?.?四邊形"C力是矩形，

,-.OA=OC=-AC,OD=BDAC=BD,CD=AB=R,

2t

：.OA=OD=OC,

-DEIAC,OE=CE,

???NOE4=90°,OD=CD,

答案第1頁，共2()頁

-'-OC=OD=CD=y/6,

?-?BD=2OD=276，

.?.在Rl^BCZ)中，由勾股定理得：

BC=NBD-CD2=3/'

故選：A.

4.D

【分析】本題考查了作線段，菱形的性質(zhì)與判定，根據(jù)作圖可得四邊形。。是菱形，進而

根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得48=40=8。=。

.?.四邊形力8CO是菱形，則力4〃CO,NBDC=NBDA=;NADC

又/=400.

:"BDC=/BDA=-Z/1Z)C=-(180o-Z/4)=70o

22

故選：D.

5.B

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角，掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得N4DE=30。,DG〃EFMD=DG,繼而求出入4QG的度數(shù)，根據(jù)等

邊對等角，即可解答.

【詳解】解：???菱形"CO繞著頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形EFGO,ZDEF=80°

二ZADE=30°,DG//EF,AD=DG,

:"EDG=180°-/DEF=100°,

."ADG=/ADE+NEDG=130°,

."DAG=Z.DGA=-(l800-ZADG)=25°.

2

故選B.

6.B

【分析】本題考杳的是列一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)尸點坐標(biāo)為(x,?,由坐標(biāo)

的意義可知PC=K,PD=y,根據(jù)圍成的矩形的周長為16,可得到X、)，之間的關(guān)系式.

【詳解】解：如圖，過。點分別作軸，軸，垂足分別為。、C,

答案第2頁，共2()頁

設(shè)p點坐標(biāo)為（羽刃，

?.?夕點在第一象限，

PD=y,PC=x,

???矩形POOC的周長為16,

2（x+y）=16,

/..r+V=8,

即直線/的函數(shù)表達式是5=-x+8,

故選擇：B.

7.A

【分析】本題主要考查矩形的判定：根據(jù)矩形的判定條件進行解答即可;

【詳解】解：添加條件為：CD=<B,理由如下：

?:CD〃MN,

：.4OCB=ACBM.

???8C平分48M,

/OBC=/CBM,

NOCB=NOBC,

：.OC=OB,

同理可證：06=0。，

：.OB-OD=OC,

vCD=AB,

:.OB=OD=OC=OA,

???四邊形/CBQ是平行四邊形，

-：CD=AB,

???平行四邊形力C3。是矩形.

答案第3頁，共20頁

故選：A.

8.D

【分析】本題主要考杳平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

平行線、全等三角形的性質(zhì)，并能夠作簡單的輔助線輔助求解.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，通

過證明“EM也推導(dǎo)得=EM||FN,易證四邊形EWEN是平行四邊形；

連接石尸，證明四邊形/。莊是平行四邊形，推出七戶二,4。；再根據(jù)各選項結(jié)合矩形的判定

定理，即可完成解答.

【詳解】解：?.?四邊形/8C。是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

:.Z.BAC=NDCA,

?:點、E,歹分別是邊力8,CQ的中點，

：.AR=2AE.CD=2CF,

.'.AE=CF,

在"EM和ACFN中,

AE=CF

?NBAC=NDCA

AM=GV

.?."EW%bW（SAS）,

:.EM;NF,4AME=4CNF,

.??四邊形成"N是平行四邊形；

連接小，

???點￡,少分別是邊4?,8的中點，

.-.￡F|MD||BC,

?:AE=CFyCF=-CD=DFyAB=CD,

2

??AE=DF,

答案第4頁，共20頁

???四邊形莊是平行四邊形;

EF=AD；

A、若NAME=90。,則/NME=90。，

???NEW/>90。，不能使四邊形屈WFN是矩形；

B、若MN=2AM,則MV不一定與石尸相等，不能使匹邊形屈WFN是矩形；

C、若MN=AB,不一定相等，則MN不一定與相等，不能使四邊形EMFN是

矩形；

D、若MN=4D,則MN一定與斯相等，

???平行四邊形EA/FN是矩形，能使四邊形EMFN是矩形：

故選：D.

9.C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，訐明+=再根據(jù)折疊的性質(zhì)，和勾股定理解得

MC』a,后根據(jù)三角形的周長解答即可.

2

【詳解】解：根據(jù)題意，得EC=EM,<H=HM,

???HM+BH=BH+AH=AB,

?.?菱形4?CZ)的邊長為。，

:.BH+AH=a,

vZC=45°,DE=CE,EFIBC,

DE=CE=EM=-DC=-a,ZC=45°=ZEMF=ZMEF=ZCEF,

22

.-.ZMEC=90°,

,MC=>IME2+CE2=—a,

2

???BM=BC-MC=a-—a,

2

的周長為8〃+/〃+8M=。一坐〃+。=2一4a,

2k-；

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

10.B

答案第5頁，共2()頁

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，函數(shù)的圖象，利用特殊角的三角函數(shù)解直角三角形等

知識點，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)和通過函數(shù)圖象獲取信息.

過息D作DEJ.4B交AB于點、E,假設(shè)菱形的邊長為工，求出。七結(jié)合函數(shù)圖象得

2

出S.APfi=3百,解方程即可?

【詳解】解：如圖，過點。作工48交48于點E,假設(shè)菱形的邊長為x,

在菱形中，ZD=120°,

?「ABHCD,

zJ=180°-zD=60°,

DE=ADs\nzD=-x,

2

由圖2得，S=-ABDE=—x2=3^.

VB24

解得X=2G，（負(fù)值已舍去），

所以，44的長度為2百，

故選：B.

11.4

【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先求出

菱形的另一條對角線的長度，再求出菱形的面積，結(jié)合“趙爽弦圖''的特征，得圖中陰影部分

的面積為4公-代入數(shù)值計算，即可作答.

【詳解】解：如圖所示：

依題意，四邊形力8OC是菱形，BC=\6,AB=\0

答案第6頁，共20頁

AD1BC,BO=S,AD=2AO

則力。=J4"-BO?=6,

：.AD=2AO=\2

則5圻〃80c=；x4DxBC=-^-x12xl6=96,

???將邊長為10,一條對角線長16的菱形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”

AB2-4x—xJ(?x=100-2x6x8=4,

2

故答案為：4

12.18-872

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形得到4B=8C=3,ZABC=90°,過4作4G1BE于G,求

得N/G8=N/GE=90。，根據(jù)勾股定理得到AG=＜，AG=^AB2-BG2=—,過E作

33

EF工BC于F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到==逑，EF=BG=]根據(jù)勾股定理

33

即可得到結(jié)論.

【詳解】解：:四邊形力BC。是正方形，

：.4B=BC=3,N4BC=90。,

過/作,4G_L8￡于G,如圖，

:.AB2-BG2=AE2-EG2>

?;AB=BE=3,AE=2,

32-BG2=22-(3-BG)2,

答案第7頁，共20頁

過E作針，4。于凡

AB//EF,

：.Z.ABG=NBEF,

?.?Z.AGB=Z.EFB=90°,AB=BE,

...△力8G之△8E/（AAS）,

：.BF=AG=—，EF=BG=*

33

9-4V2

CF=BC-BF=-—,

3

:.CE2=EF2+CF2=

故答案為：18-8人.

13.7

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)得到

AB=AD,N84。=90。，進一步得到/產(chǎn)84=/E4O,證明△力心絲△。￡4,得到

AF=DE=4,AE=BF=3,即可求解，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：于點尸，DE工a于點、E,

???NBFA=NAED=9()0,

???四邊形力8C。是正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

AFAB+ZFBA=NFAB+NEAD=90°,

4FBA=READ,

???在△力四8和△力七。中，

/AFB=Z.DEA

<Z.FBA=NEAD,

AB=DA

:."FB知DE4（AAS）,

;.4F=DE=4,AE=BF=3,

:.EF=AF+AE=DE+BF=4+3=7,

故答案為：7.

答案第8頁，共20頁

14.8

【分析】本題主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.根據(jù)數(shù)

軸上兩點之間的距離得到。。=4,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求解.

【詳解】解：由題意可得。。=1-(-3)=4,

vZBCA=90°,點。為力B的中點,

/.AB=2CD=8,

故答案為：8.

15.2

【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)

是解決問題的關(guān)鍵關(guān)鍵.

依據(jù)矩形的性質(zhì)以及角平分線的定義，等腰三角形的判定，即可得到。G和OC的長，再根

據(jù)CG=CD-DG進行計算即口J.

【詳解】解：???四邊形力88是矩形，

/.CD=AB=8,AD=BC,AB//CDt

:"BAG=4DGA,

根據(jù)作圖可得力￡=4。=6,力/平分/BAD,

NBAG=ZDAG

：.^DAG=Z.DGA,

DG=DA=6?

:.CG=CD-DG=8-6=2,

故答案為:2.

16.60。㈱60度

【分析】此題主要考查了壬方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活利用三角形內(nèi)角和定理及三角

形的外角性質(zhì)進行角的計算是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得

c

=90。,NBAC=45。,AB=AD=AE,Z.DAE=60f進而得

Z5JE=150°,NABE=NE=15。,然后根據(jù)=/B4C+N48E即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形力8CQ是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZBAD=90Q,Z^JC=45°,

答案第9頁，共20頁

?.?△力OE是等邊三角形，

/.AD=AE=DEtZDAE=60°,

：.AE=AB,/BAE=/BAD+NDAE=150°,

ZJ^￡，=^(180°-Z^/lE)=|x(180o-15()o)=l5o,

:"BFC=/BAC+/ABE=45°+I5°=60°.

故答案為：60。.

17.|<x<3

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，勾股定理.分兩種情況討論，①當(dāng)點E在4點時，

此時b最小，利用勾股定理求得力尸=4,設(shè)CF=/,則P尸=E,DF=3-t,在RSP￡)尸

中，利用勾股定理列式計算求解即可；②當(dāng)點尸在。點時，此時6最大，B的長為3,

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)點￡在8點時，將△底“沿直線￡尸折疊，使得點。恰好落在力。邊上的

此時B最小，貝l」BP=8C=5,

在中，AP=^BP2-AB2=4?

^PD=AD-AP=\,

設(shè)b=f,則尸產(chǎn)=/,DF=3-/,

在廠中，

DF2+PD2=PF2，

??.(3-/)2+/=/，

解得目；

②當(dāng)點尸在。點時，將公CEE沿直線七戶折疊，使得點。恰好落在力。邊上的點P處，如

圖②，

答案第10頁，共20頁

圖②

此時3最大，C尸的長為3,

二6的取值范圍為

故答案為：|<x<3.

18.172&-2##-2+2加

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理.先證明△/得至iJBO=CO=g8C=4?,進而得至lj=/4。4=45°,

角的和差關(guān)系求出NG4。'的度數(shù)，連接0。，推出為等腰直角三角形，三線合一結(jié)

合勾股定理求出的長，折疊得到點七在以點。為圓心，以。。為半徑的弧上運動，進而

得到點E到AD'的距離最小值為D0-DE,即可.

【詳解】解：(1)在矩形48CO中，AB=DC,N4BC=NBCD=9(T,

?:點D,。'關(guān)于點C對稱，

D'C=DC=AB,/BCD'=ZBCD=NABC=90°,

NAOB=NQ'OC,

△4?。出△Q'CO,

/.BO=CO=-BC=AB,

2

ZBAO=ZBOA=45°,

ZGAD'=90°-28°-45°=17°；

故答案為：17；

(2)連接OO,如圖.

答案第11頁，共20頁

由（1）#D'C=DC=^D'D,AD=2DC,

AD=D'D,

??.△ADD，為等腰直角三角形，

又由△ABOg/XOCO知10=。'0,

DOVAD',

J42+42=4&，

DO=-ADf=2y/2,

2

由折疊知OE=OC=2,

.??點E在以點。為圓心，以。。為半徑的弧上運動，

點E到AD1的距離最小直為D0-DE=2V2-2.

故答案為：2夜-2.

19.(1)見解析

(2)矩形，見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，等邊對等角等等，熟知全

等三角形的性質(zhì)與判定定理，矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)可證明△4E8gZV/DC得至IJ/48笈=再由等邊對等角可得N/必。=N4CB,

據(jù)此可證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得到E8=OC,則可證明四邊形E4CQ是平行四邊形，得到

EB//DC,則NEBC+/DCB=180°.進而可證明ZEBC=4DCB=90°,則平行四邊形EBCD

是矩形.

【詳解】(1)證明：???力￡=/。，Zl=Z2,AB=AC,

.?.△4E8/10c(SAS),

；?/ABE=/ACD,

答案第12頁，共20頁

?:AB=AC,

："ABC=NACB,

ZABC+Z.ABE=NACB+NACD,即Z.EBC=NDCB：

（2）解：四邊形E8CO為矩形，理由如下：

?:4AEB絲4ADC,

EB=DC，

?:EB=DC,ED=BC,

???四邊形E4C。是平行四邊形，

:.EB//DC,

NEBC+NDCB=180°,

???Z.EBC=/DCB,

；"EBC=/DCB=900.

二平行四邊形￡8。。是矩形.

20.⑴見解析

Q）AB=2CE,見解析

【分析】（1）根據(jù)垂線的基本作圖解答即可.

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等量代換思想解答即可.

【詳解】⑴解:如解圖所示，

則直線。E即為所求.

（2）解：AB=2CE.

理由：四邊形川？。。為菱形,

AAB//CD,AB=CD,

又「NB=60。,

/.ZDC1h=60°,

答案第13頁，共20頁

?;DE工BC,垂足為￡,

ZD￡C=90°,

ZCZ)E=30°,

:.CD=2CE,

：.AB=2CE.

【點睛】本題考查了垂線的基本作圖，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等

量代換的應(yīng)用，熟練掌握基本作圖，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.⑴見解析

(2)AE=CE(答案不唯一)

【分析】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等

知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)訐明”“空△CDF(SAS),得AE=CF,N4EB=/CFD,則NJEE=NC/E,再訐明

AE//CF,然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的判定即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???四邊形是平行四邊形，

/.AB=CD,AB//CD,

：.ZABE=NCDF,

在A/“萬和△”>/中，

AB=CD

<NABE=NCDF,

BE=DF

:.^ABE^CDF(S^S),

AE=CF,NAEB=NCFD,

AAEF=ZCF￡,

/.AE//CF；

???四邊形/Eb是平行四邊形；

(2)添加條件：AE=CE,理由如下：

ftl(1)可知，四邊形/反節(jié)'是平行四邊形，

-AE=CE,

???平行四邊形是菱形，

答案第14頁，共20頁

故答案為：AE^CE(答案不唯一).

22.(1)等腰直角三角形，見解析

Q)DG=>HDF+AD，見解析

【分析】本題考杳了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)連接CF,根據(jù)題意得到NNObn/GW,可證明尸gAGb(ASA),即可得到結(jié)

論；

(2)DG=6DF+AD，過點尸作交。G于點〃，得至I]DH=6D產(chǎn),

可證明且△GCGASA),得到4O=G〃，即可得到OG=正。尸+40.

【詳解】(1)解:(1)△/尸G是等腰直角三角形.理由如下：

如圖，連接B.

???四邊形48co是正方形.

:"BCD=/ADC=900,

NDCE=NGCE=90°,

；CE=CD,DF=EF,

CFIDE,CF=DF'=-DEZECF=ZCDF=45°,

2t

ZADF=ZADC+NCDF=135。，NGCF=Z.GCE+Z.ECF=135°,

NADF=NGCF,

?/FG_LAF.CF±DE,

ZJFG=ZZ)FC=90°,

:"AFG-AAFC=ZDFC-ZAFC,即ZAFD=Z.GFC,

在和“。7中，

NADF=NGCF

DF=CF,

Z.AFD=ZGFC

答案第15頁，共2()頁

:4ADFAGCFlASA),

AF=GF,

???ZJFG=90°,

月G是等腰直角三角形；

(2)解：DG=&DF+AD，

如圖，過點、F作FHtDE,交QG于點〃，則NZ)/77=90。,

由(1)得NCQE=45。，

/.NDHF=450=NCDE,

DF=HF,NG”尸=135°,

在Rt△。/77中，DH=yjDF2+HF2=JDF2+DF'=?DF-

由(1)得乙W尸=135。,

/ADF=ZGHF,

同(1)得乙i廠0-4GFH,

在△*￡)/和△G〃/?中，

NADF=ZGHF

<DF=HF,

NAFD=NGFH

:."DF知GHF(人2，

：.AD=GH,

DG=DH+GH=正DF+AD?

23.⑴見解析

⑵石

(3)見解析

【分析】(1)證明△力尸石是等腰直角三角形可得結(jié)論；

(2)利用勾股定理求出力石，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解:

答案第16頁，共20頁

(3)在。C上截取連接4W,證明四邊形是平行四邊形即可解決問題.

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決

問題.

【詳解】(1)證明：連接力P.

???四邊形48CQ是正方形，

AB=BC,4ABP=/CBP=45。,

在A/IBP和ACB尸中，

AB=BC

-ZABP=/CBP,

BP=BP

.?.△48壯△C8P(SAS),

:.PA=PC,/3=/4,

?:PE=PC,

PA=PE,

vPE=PC,

:.Z4=Z5,

??.Z3=Z5,

又?：4ANP=4ENB,

Z3+ZANP=Z5+NENB=90°,

：.AP1PE,即△*〃￡1是等腰直角三角形,

又?；PF工AE,

，點尸為4E的中點;

(2)解：在Rta/EB中，4BE=90°,

?:BE=1,AB=3,

'-AE=Vl2+32=V