數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.

1.隨著〃〃的流行，各種一大模型層出不窮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)4/大模型，在對甲、乙兩個(gè)大模型

進(jìn)行深度體驗(yàn)后，6位評委分別對甲、乙進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)表格，則卜.列結(jié)論不

正確的是（）

\評委編

123456

模型名

甲7.09.38.39.28.989

乙8.19.18.58.68.78.6

A.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)

C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】A

【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：

甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,

甲得分的中位數(shù)為8.9,乙得分的中位數(shù)為8.6,甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確;

甲得分的眾數(shù)8.9,乙得分的眾數(shù)為8.6,甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)，故B正確;

7.0+8.3+8.9+8.9+9.2+9.3。/

甲得分的平均數(shù)--------------------------=0.0,

6

8.1+8.5+8.6：8.6+8.7+9.1=86,所以甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)，故A錯(cuò)

乙得分的平均數(shù)

6

誤;

(7.0-8.6『+(8.3-8.6『+(89-8.6)2+(8.9-8.6)，(9.2-8.6『+(93-8.6)2

甲的方差s；=

6

(8.1-8.6)2+(8.5-8.6)2+.-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.1-8.6)2

乙的方差為官

6

故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.

故選：A.

2.若兔數(shù)z滿足1+iz=i,則z的虛部為()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】B

【詳解】因?yàn)?+iz=i,所以z二上4=匚二二l+i,所以z的虛部為L

??f

1r

故選：B

3.已知集合4=卜|2'<1()},8={1,2,4,6},則4^8=()

A.{1}B.{1,2}C,{1,2,4}D.{1,2,4,6}

【答案】B

【詳解】由2*<10,得xvlogz】。，所以A=(Yo,log21。)，

所以AnB={i,2}.

故選:B.

4.下列各組中，不同解的是

X

A.------->1與-4x+12

-4x+12

B.卜-3]>|2X+6|(X￡R)與(工-3)2>(2R+61

C.12一2耳>3與了2-2%>3或一一2%<—3

1).(x+l)(x+2)"。與(A-2)(A-3)(A+1)(A+2)<0

【答案】D

y

【詳解】對于4???/-4工+12=*-2)2+8之8〉()，所以—1——^>1與X>V-4X+12兩個(gè)不等

JT-4x+I2

式的解集相同；

對干層因?yàn)橥?gt;回與等價(jià)，所以k—3|>|2x+6|(x￡R)與(/一3)2>(2%+6)2兩個(gè)不等式的解

集相同；

對干G根據(jù)絕對值不等式|乂>a(a>0)等價(jià)于或xva知:丁-2乂>3與/一2%>3或

/一2X＜一3的解集相同;

對于人根據(jù)知：,』一汐一；卜0等價(jià)于(A2)(X_3)(X+1)(X+2)W0

/(X)[/(x)^0(x+l)(x+2)'八八八，

且(x+1)(1+2)/0,所以〃中的兩個(gè)不等式不同解，

故選〃

5.在V48C中，A=30°M=VI,/?=2,則。=()

A.垃B.6-1C.V3+1D.G—1或右+1

【答案】I)

【詳解】由余弦定理，a2=b2+c2-2/?ccosA，

即c2—2JJc+2=0，解得c=G±1.

故選：D.

6.若廠是拋物線。：＞，2=2/次(〃＞0)的焦點(diǎn)，〃是拋物線。上任意一點(diǎn)，|「目的最小值為且4B是

拋物線。上兩點(diǎn)，|AF|+|M|=5,則線段A3的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()

53

A.3B.2C.-D.一

22

【答案】B

【詳解】根據(jù)拋物線性質(zhì)可知：|P目的最小值為所以由題意可得：1=^,p=1，

如圖，取A8中點(diǎn)發(fā)分別過點(diǎn)4B、/：'作4。_1/,3。_1/,石6_1/于點(diǎn)〃、aG,QG與y軸交于點(diǎn)〃，

根據(jù)拋物線的定義可得:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,AD\+\BC\=\AF\+\BF\=5t

A.=13B.{4}是遞增數(shù)列C.t/lo<1000D.4川=2q+1

【答案】Bl)

【詳解】由%=q+2〃，可得爵=g.云+g,則蔚1=姆川

又由4=1,可得2—1二—，，所以數(shù)列“表示首項(xiàng)為-公比為:的等比數(shù)列,

2212J2

所以*—1=一:?(!尸=一4)"，所以q=2"一I,

T222

由包=24-1=15,所以A不正確；

由%討一勺=2向一1-2"+1=2">0,即。川>為，所以｛4｝是遞增數(shù)列，所以B正確；

由4。=21°-1=1023>1000,所以C錯(cuò)誤；

由。皿=2向T,2?！?1=2-2"-2+1=2川一1,所以。N=24+1,所以D正確.

故選：BD.

10.已知函數(shù)〃x)=2si/2x-外+1,則下列說法正確的是()

\3)

A.若/(玉)=/(々),則/=辦+依，%￡2

B.小+看)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.若0<凡，則/(%)</(&)

7兀兀

D.VX,,X2,X3G,都有/(5)+/(8)>/(七)成立

【答案】CD

【詳解】對于A,若/（玉）=/（工2），則sin2A-1=sin2x2-^

7T7TTT7T

所以2$~—=2X2~—+2ICJI,或2玉--+2X2--=7i+2lai,kGZ,

,5TT

即占=占+方1，或玉+x,二>+而次￡Z,故A錯(cuò)誤；

6

對干B,又g(x)=/(x+^=2sin2x+l,

由干g(O)=2sinO+l=l,所以g(x)=.fx+外=2sin2x+l不可能是奇函數(shù),

則/X+F的圖象不可能關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；

\6）

對于C,當(dāng)工￡（0,得時(shí)，（-々，日,滿足是正弦函數(shù)的增區(qū)間（一的子集,

所以函數(shù)/（x）=2sin41在0,冷上單調(diào)遞增，故C正確;

3）k

,土「、，7兀兀--…c兀兀2兀

對于D,因?yàn)閤e—,所以

故變＜sin（2x-工所以/'（x）w[&+l,3],

2\3J

又2（夜+1）＞3,即2〃xL＞f（x）皿，

7兀兀

所以\/%,電，再W—?都有/（百）+/（工2）＞/（工3）成立，故D正確.

故選:CD.

11.已知VABC是邊長為2的等邊三角形，。,七,廠分別是邊八優(yōu)8CC4的中點(diǎn)，則不正確的是（）

A.1J3+AC=AEB.AB-AC=BC

—1--------I

C.EF=—ABD.DEDF=-

22

【答案】ABC

【詳解】對選項(xiàng)A：7Ji+AC=2AE^故A錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B：AB-AC=CB^故B錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)C：EF=^-BAt故C錯(cuò)誤；

2

對選項(xiàng)D：15ETDF|7)E|?|DF|COS60O1倉巾-=故C正確.

22

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知向量M=(l,2),6=(1,0),5=(3,4),若—+則實(shí)數(shù)幾=.

【答案】一,##-0.5

2

【詳解】由五=(1,2),5=(1,0),13,4),

則萬+：萬=(1+3幾2+4：),

又(4+何〃

則0+2+44=0,

解得義=-工

2

故答案為：

2

13.若函數(shù)/(x)=xlnx+2M*'(1),則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程為.

【答案】y=-x-\

【詳解】因?yàn)閒(x)=xlnx+2承⑴,

所以r(x)=lnx+l+2r(1),

令工=1,得r(i)=i+2，(i),解得r(i)=—1,

所以/(x)=xlnx-2x,

則f(l)=2

所以曲線)，=/")在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為)一(一2)=-1x(x7),

即y=-x-1.

故答案為：y=-x-\

14.如圖，四邊形A8CD是邊長為5的正方形，半圓面平而A8CO,點(diǎn)P為半圓弧A。上一動(dòng)點(diǎn)

(點(diǎn)。與點(diǎn)A,。不重合)，當(dāng)直線M與平面A8CO所成角最大時(shí)，平面QA5截四棱錐P-A8C。外接

球的截面面積為.

【詳解】做PESAD交AO于E,因?yàn)榘雸A面APD_L平面ABCO,所以PE_L平面A8Q）,

連接E3,以Q點(diǎn)為原點(diǎn)，DA、DC為x、y軸，過。點(diǎn)垂直于平面A8CD的直線為z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DE=a,則。?0,5）,設(shè)PE=h,

則A￡=5-a,在直角三角形AP力內(nèi)，由射影定理"J得。歹二人工石。，

即力2=。（5-。），所以力（0,0,0）,E（a,0,0）,P（a,0,/?）,B（5,5,0）,

帝-5,-5,〃)，BE=(?-5,-5,0),麗=(〃,(),〃),

所以。戶3戶=。（。-5）+/=（）,所以DP上PB,即NDPB=90,

所以cos（而,碼=雪雪=/（4-5）2+25、

、/忸用唱5（”5『+25+獷J（a-5『+25

J(〃-5『+25

\a10>10-6/?10

-++\0-a~，

J(o-5『+25+萬510-?-\5

因?yàn)??！辏?,5）,所以10—〃>0,

所以件諾d210-a

10-2-V2V2-2.

10-67

當(dāng)且僅當(dāng)腎=號即"1°一5后等號成立'且8S4BE取得最小值’

直線必與平面ABC。所成角最大,

c5

取的中點(diǎn)。，連接CO、AO,則AO=BO=AO=CO=OP=△—

2

所以四楂錐P—ABC。外接球的球心為點(diǎn)。,

因?yàn)镻D上PA,PB工PD,PBC\PA=P,PB、B4u平面E43,

所以PQJL平面QA3，

設(shè)球心到平面PAB的距離為d,所以d等于。到平面PAB的距離的g,

因?yàn)?2石2+。石2=4（5-〃）+/=5（）-25a,

〃）一5亞二耳，所以d=552；也,設(shè)截面半徑為「，

加右2仔血丫.225夜

則有廣二------d-=--------）

I2）4

所以截面的面積S=7ir2=至叵.

4

故答案為：生叁

4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

15.己知函數(shù)/（x）=cos（3x+p）（<y>0,?！??！礂┑膱D象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是將

/（x）圖象上所有的點(diǎn)先向右平移④個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的得

到函數(shù)g（x）的圖象,且g（x）為，禺函數(shù).

（1）求/（"的解析式;

227C7T

（2）若不等式［/（可［-的（x）+l之0對工￡恒成立，求，〃的取值范圍.

【答案】（1）/（x）=cos（4x+?）；

⑵（f2].

【小問1詳解】

由辭=2x2,得口=4,則〃x）=cos（4x+0）,

/兀、一（兀）

則g（x）=cos42x----+。=cos8x——+（p,

_120J」I5）

因?yàn)間（x）為偶函數(shù)，所以]—（keZ）,

解得0=]—e（ZwZ）,因?yàn)樗?=

則/（式）=cos41+'）.

小問2詳解】

271711?！肛Ｘ（"兀）「1.

15120J5L36jI5j|_2

--I

則不等式[〃力了一時(shí)(x)+l“對T，-金恒成立可轉(zhuǎn)化為〃區(qū)/")十萬，

_1512U_J\^)

對上￡-黃27r，-展7t恒成立,即'〃&/(“+萬]門,/(/)￡不?』

」,LJ\J」min」

因?yàn)椤癤)+前川”刈.肅=2,

當(dāng)且僅當(dāng)/")二卡J,即/(4)=1時(shí)，等號成立,

所以〃zK2,即機(jī)的取值范圍為(TO,2].

16.已知橢圓C：二13〉〃〉0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(2,0),過左焦點(diǎn)且垂直于“軸的直線或橢圓。得到

CTb2

的弦長為2,直線)，=%。-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、

(1)求橢圓。的方程；

(2)當(dāng)?shù)拿娣e為巫時(shí)，求實(shí)數(shù)4的值.

3

【答案】⑴C:—+^-=1；⑵k=±{.

42

【詳解】解：（1）由題可得。=2,—=2,A/?=V2.

a

22

橢圓c：工+上=1；

42

y二心-1）

出設(shè)加（不,）小（七,），2），則由，工2V2消外

-----F-1—=1

142

得（1+2攵2卜2一4人+2/-4=0,

???直線丁=以五-1）恒過橢圓內(nèi)一點(diǎn)（1,0），，八〉0恒成立.

爐2k2-4

由根與系數(shù)的關(guān)系，得m+元=*4卞/乂=三_>

'-1+2/'?21+2二

S.AA/.V=gX1X民一%|=gX|%一履21

二四而寸碓二國叵亞二?

2V—2712]+2公3

即7/—2/一5=0，解得左=±1.

17.如圖1,在直角梯形A8CO中，40〃3c4O=g3cA3_LAD,5O_LCr>,E為BC的中點(diǎn)，將

△A8O沿3。折起，使A51AC，如圖2,連接AE,AC.

（1）求證：平面ABD_L平面3C。：

（2）求二面角C-AO-E大小.

【答案】（1）證明見解析:

（2）30°.

【小問1詳解】

AB±AD,AB±AC,AO,AC交于點(diǎn)A,故AB_L平面ACD,

又COu平面ACO,故A8_LCD,BDtCD,AB,BD交于AB,

故CO_L平面A3。，COu平面3cO,故平面A3。_L平面88.

【小問2詳解】

CD_L平面ABD,CDJ.30,過。作平面8c。的垂線為z軸，以。為原點(diǎn)，。a。C分別為x軸，》軸

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)40=1,則3。=3,43=4,8。2+。。2=9,8。2=。2+1。。2=：/+4,

用牛1寸a=5/Ztc八r（（\Y./UA'UJ,

i?

A?

xy

方二（￥，0,坐），DC=（0,76,0）,DI

122J

心竺=O」Q+f4=。

設(shè)平面D4C的法向量=（N，y,zJ,則有"=0匕=0?

?。?（0,O，T，

^.DA=03j+322=0

設(shè)平面D4E的法向量％=（工2，%，22），則有----------*1-1-

〃2?DE=0v3V6_

9七七％二°

取〃2=（右,-1,一1）,

/---\馬?外3V3

'2/RKI622，

根據(jù)觀察知，二面角C—AO—E的平面角為銳角，故二面角C—AO—E的大小是300.

18.已知函數(shù)/（X）=耳辦？+（a-l）x-lnx.

（I）討論/（x）的單調(diào)性；

（II）當(dāng)。>0時(shí)，證明：/（x）+-+ln2-2>0.

a

【答案】（I）見解析；（H）見解析

八,/、,、1CIX~+(6i_1)X-1

【詳解】（I）顯然x>0,f\x)=ax+{a-\]—=———

XA

（1）當(dāng)400時(shí)，r（x）<0,/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減;

（2）當(dāng)”>0時(shí)，由=-----——L————八-----^=0得%=一

當(dāng)x￡（o,￡|時(shí)，r（x）<o,/（X）在jo,）上單調(diào)遞減；

當(dāng)Kw（：,+8時(shí)，/Z（X）>O,/（力在（%+8）上單調(diào)遞增.

（H）當(dāng)4〉0時(shí)，要證：/（x）-t--+ln2-2>0,

a

1<1\1

只需證：/（力.+1+1。2—220,由（|）易知而=一五+1+1.，

所以即證：—+lna+ln2-l>0,

2a

\

設(shè)力（。）=卜ln〃+ln2-l則〃'（。）=+—?令”(a)=0得丫「=0得4=[,

2a~a2a~2

當(dāng)"（0,；）時(shí),“（a）<°，M。）在（°，）上單調(diào)遞減;當(dāng)44萬,+8）時(shí),

//(?)>0,

/IA(\\1

〃⑷在3，+8上單調(diào)遞增./?(a)min=%T=l+ln—+ln2-l=0,即〃(〃)之0,即

—+ln6/+ln2-l>0,所以/(_￥)+,+ln2-2NO

2aa

19.某商場推出購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下:

①顧客在該商場內(nèi)的消費(fèi)額每滿100元，可獲得1張獎(jiǎng)券；

②每張獎(jiǎng)券可以進(jìn)行1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，即從裝有4個(gè)白球、2個(gè)紅球的盒子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球（每個(gè)球被摸

到的可能性相同）.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則：若摸出白球，則沒有中獎(jiǎng)，摸出的白球放回原盒子中，本張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)

束；若摸出紅球，則中獎(jiǎng)，獲得禮品1份，且摸出的紅球不放回原盒子中，同時(shí)得到一次額外的抽獎(jiǎng)機(jī)會

（該抽獎(jiǎng)機(jī)會無需使用新的獎(jiǎng)券），繼續(xù)從當(dāng)前盒子中隨機(jī)摸取1個(gè)球，其獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則不變；

③從第二張獎(jiǎng)券開始，使用每張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)時(shí)均在前一張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)活動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行；

④若顧客獲得2份禮品（即該顧客將2個(gè)紅球都摸出）或使用完所獲獎(jiǎng)券，則該顧客本次購物的抽獎(jiǎng)活動(dòng)

結(jié)束.

（1）顧客甲通過在商場內(nèi)消費(fèi)獲得了若干張獎(jiǎng)券并進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求事件“甲使用第2張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)〃的

概率；

（2）顧客乙通過在商場內(nèi)消費(fèi)獲得了若干張獎(jiǎng)券并進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求事件“乙獲得第2份禮品時(shí)，共使用了3

張獎(jiǎng)券”的概率：

（3）顧客丙消費(fèi)了1000元，設(shè)X表示顧客內(nèi)在這次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中所使用獎(jiǎng)券的數(shù)量，求X的分布列及其期

望E（X）.

62

【答案】（1）

225

364

(2)----

3375

io（、10

（3）分布列見解析，7-lOx