3.3探索與表達(dá)規(guī)律北師大版（2024）初中數(shù)學(xué)七年級上冊同步練習(xí)

分?jǐn)?shù)：120分考試時間：120分鐘；命題人:

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.將正整數(shù)依次按下表規(guī)律排成4列，根據(jù)表中的排列規(guī)律，數(shù)2028應(yīng)在（）

第1列第2歹U第3歹U第4列

第1行123

第2行654

第3行789

第4行121110

???

A.第675行第2歹ijB.第675行第3列C.第676行第2列D.第676行第3列

2.密碼學(xué)是研究編制和破譯密碼的技術(shù)科學(xué)，它與數(shù)學(xué)有著密切關(guān)系.英語字母表中字母的順序?yàn)閍,b,

c,d,e,f,g,h,i,j,k,I,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,將這26個英文字母依

次對應(yīng)自然數(shù)1,2,3,26.現(xiàn)有密文如表所示.

密文密文與明文之間的關(guān)系明文

當(dāng)密文中的數(shù)字X為奇數(shù)

時，明文對應(yīng)的序號為％+

71838193017501;9?

當(dāng)密文中的數(shù)字X為偶數(shù)

時，明文對應(yīng)的序號為今

將該密文破譯成用英文字母表示的明文，則明文對應(yīng)的學(xué)科是（）

A.語文B.歷史C.英語D.物理

3.如圖，下列圖形由多個完全相同的團(tuán)組成，第一個圖形有5個瓦第二個圖形有11個人第三個圖形有19

個露…，以此類推，第11個圖形中團(tuán)的個數(shù)為（）

①②③

A.131B.132C.155D.156

4.“幻方”最早記載于春秋時期的次戴禮》中，現(xiàn)將1,2,3,4,5,7,8,9這八個數(shù)字填入如圖①

所示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相

)

A.-8B.8C.-6D.6

5.如圖，周長為6個單位長度的圓上的六等分點(diǎn)分別為4B,C.D,

E,幾點(diǎn)4落在1的位置.如果將圓在數(shù)軸上沿負(fù)方向連續(xù)滾動，那么

落在數(shù)軸上-2024的點(diǎn)是點(diǎn)（）

A.8B.CC.DD.E

6.兩人坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗.已知火車上的座位排列如下所示，則下列座位

A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85

7.如圖，用火柴棍拼成一排由正方形組成的圖形，按照這種方法拼下去，拼第100個這樣的正方形需要多

少根火柴棍？（

①②③

A.300B.301C.302D.303

8.按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：ab+1,a2b+2,a3b+3,a4b+4,a^b+5,第n個多項(xiàng)式是（）

A.anbn+nB.anb+nC.an+1b+nD.abn+n

9.如圖，用棋子擺出一組圖形，如果按照這種規(guī)律擺下去，那么第100個圖形里棋子的個數(shù)為（）

第1個圖形第2個圖形第3個圖形

A.302B.303C.304D.305

10.如圖，小西用若干大小相同的棋子拼擺出一組有規(guī)律的圖案，其中第1個圖案中有3枚棋子；第2個圖案

中有8枚棋子；第3個圖案中有15枚棋子；……如果按此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第2024個圖案中棋子的數(shù)量為

第1個第2個第3個

A.2x2024-1B.20242-1C.20252-1D.20232-1

11.根據(jù)如下圖中箭頭的指向規(guī)律,從2013到2014再到2015,箭頭的方向是以下圖示中的（）

T56910

???

i__JI_>

03478

2023年11月

日—三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

2627282930

(1)若被框住的4個數(shù)中最小的數(shù)為7,求出被框住的這4個數(shù)的和.

(2)設(shè)被框住的最小的數(shù)為》,用含x的代數(shù)式表示出被框住的這4■個數(shù)的和.

(3)被框住的4個數(shù)的和能等于100嗎?如果能，求出這4個數(shù);如果不能，說明理由.

18.(本小題8分)

現(xiàn)有Q根長度相同的火柴棒,按圖①擺放時可擺成m個小正方形,按圖②擺放時可擺成2幾個小正方形.

???

???

???

①②③

(1)用含〃的代數(shù)式表示m：

(2)當(dāng)這a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時，求a的最小值.

19.(本小題8分)

先化簡，再求值：

(l)5a+3b+2(a-b)-(5a-3b),其中a,b滿足|a+1|+(6-今？=。；

(2)(5ab+4a+7b)+(6a-3ab)-(4ab-3b),其中a+b=7,ab=10;

(3)(6xy+7y)+[8x-(5xy-y+6x)],其中％+4y=-1,xy=5.

20.(本小題8分)

如圖，有一個形如四邊形的點(diǎn)陣，第1層每邊有兩個點(diǎn)，第2層每邊有三個點(diǎn)，第3層每邊有四個點(diǎn)，

依此類推.

(1)填寫下表:

層數(shù)123456

各層對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)4

所有層的總點(diǎn)數(shù)

(2)第九層對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為；

(3)n層四邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為；

(4)有沒有第n層對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為79?如果有，求出心如果沒有，請說明理由.

21.(本小題8分)

小明在研究數(shù)學(xué)問題時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：

請用不同的三位數(shù)再做一做，你會發(fā)現(xiàn)什么有趣的現(xiàn)象？用學(xué)過的知識解釋.

22.(本小題8分)

如圖，在一些大小相等的正方形內(nèi)分別緊密排列著一些相同的扇形.

①②③

(1)根據(jù)你的觀察與分析，你認(rèn)為正方形內(nèi)扇形的數(shù)目是否呈規(guī)律性的變化？如果是，則第九個圖形中共有

_____個扇形；

(2)若正方形的邊長是Q,分別計(jì)算圖①、②、③中陰影部分的面積；

(3)在(2)的條件下，分析(2)中計(jì)算的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？請你求出第九個圖形中陰影部分的面積來說明

你的發(fā)現(xiàn).

23.(本小題8分)

仔細(xì)觀察分析如圖圖形和式子，完成下面的問題.

將一些邊長為1的小正方形按如圖方式拼圖：

圖①中邊長為1小正方形的個數(shù)：1+3=22=4：

圖②中邊長為1小正方形的個數(shù)：1+3+5=32=9；

圖③中邊長為1小正方形的個數(shù)：1+3+5+7=42=16；

(1)類比上例，寫出第四個等式;

(2)類比上例，計(jì)算：1+3+5+7+…+99；

(3)根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)歸納的規(guī)律計(jì)算21+23+-+79的值;

(4)在圖②的大正方形網(wǎng)格中包含個正方形，在6x6的大正方形網(wǎng)格中包含______個正方形.

田四〃

①②③

24.(本小題8分)

觀察以下等式：

笫1個等式：22-12=1x3；第2個等式：42-22=2x6；

第3個等式：62-32=3X9；第4個等式：82-42=4X12；...

按照以上規(guī)律，解決卜.列問題：

(1)寫出第7個等式：______；

(2)寫出你猜想的第九個等式(用含n的式子表示)，并證明.

25.(本小題8分)

某數(shù)學(xué)興趣小組在一次探究性學(xué)習(xí)中，研究了“尋找無數(shù)組整數(shù)％,y,使得5x+6y=l”的問題，指導(dǎo)

教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表，部分信息如下：

X??-1511G_)???

y??1-4—9()???

(1)觀察表格，根據(jù)規(guī)律請?jiān)诒砀竦臋M線上填空；

(2)由上面的規(guī)律可知，若表中某一列的兩個整數(shù)依次是m和幾，這表中相鄰的下一列的兩個數(shù)分別是

和(分別用m和n表示)；

(3)有同學(xué)根據(jù)上面的探究得出結(jié)論“對于任何正整數(shù)k,都存在無數(shù)組整數(shù)m,n,使得57九+3九=土成

立”.請對該結(jié)論判斷正誤并簡述理由.

答案和解析

1.【答案】C

【4鋁斤】略

2.【答案】B

【解析】略

3.【答案】C

【解析】第一個圖形有5=［(1+1)2+1］個指第二個圖形有11=［(2+1產(chǎn)+2］個即第三個圖形有個=

［(3+1尸+3］個團(tuán)，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個圖形有［(n+l)2+用個回，所以第11個圖形中國的個數(shù)為

(11+1)2+11=155.故選C.

4.【答案】A

【解析】略

5.【答案】C

【解析】解：由圖可知，旋轉(zhuǎn)1周，

點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是0,

點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是一1,

點(diǎn)。對應(yīng)的數(shù)是-2,

點(diǎn)E對應(yīng)的數(shù)是-3,

點(diǎn)F對應(yīng)的點(diǎn)為-4,

點(diǎn)4對應(yīng)的點(diǎn)為-5,

繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，

點(diǎn)B時應(yīng)的點(diǎn)為-6,

點(diǎn)C對應(yīng)的點(diǎn)為-7,

先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這個距離除以6可知：

???1-(-2024)=2025,

又???2025+6=337余3,

二數(shù)軸上表示-2024的點(diǎn)與圓周上點(diǎn)。重合.

故選:C.

圓的周長為6個單位長度，所以只需先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這個距離除以6,看余數(shù)是幾，

再確定和誰重合即可解答.

本題考查數(shù)軸上的規(guī)律探究，找出圓運(yùn)動的周期與數(shù)軸上的數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】解：由題圖中座位得排序規(guī)律可知，每個車廂有15個座位，被5除余1的數(shù)和能被5整除得座位號

靠窗.

48,49沒有靠窗的，所以4不符合題意；

62,63之間有過道，不連在一起，所以8不符合題意；

75,76不在同一行，所以C不符合題意.

由于兩個旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，可知只有D項(xiàng)符合條件.

故選：0.

根據(jù)圖示的規(guī)律口「知每個車廂有15個庫位，被5除余1的數(shù)和能被5整除得座位號靠窗，再逐項(xiàng)分析.

本題主要考查了規(guī)律問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】解：由題知，

拼第1個這樣的正方形需要的火柴棒根數(shù)為：4=1x3+1；

拼第2個這樣的正方形需要的火柴棒根數(shù)為：7=2x3+1：

拼第3個這樣的正方形需要的火柴棒根數(shù)為：10=3x3+1；

???,

所以拼第〃個這樣的正方形需要的火柴棒根數(shù)為（3九+1）根.

當(dāng)他=100時，

3n=1=3x100+1=301（根）,

即拼第100個這樣的正方形需要的火柴棒根數(shù)為301根.

故選：B.

根據(jù)所給圖形，依次求出所需要的火柴棒根數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)所需火柴棒的根數(shù)依次增加3是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】本題考查了多項(xiàng)式規(guī)律探究，理解題意，認(rèn)真分析，找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)所給的多

項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，次數(shù)，即可找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求解.

【詳解】解：由題意可知：所給的多項(xiàng)式為二項(xiàng)式，第一項(xiàng)的系數(shù)都為1,Q的指數(shù)分別為連續(xù)正整數(shù)，b

的指數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為連續(xù)正整數(shù)，

故第九個多項(xiàng)式為?！柏?n,

故選：B.

9.【答案】4

【解析】解：由所給圖形可知，

第1個圖形里棋子的個數(shù)為：5=1x3+2；

第2個圖形里棋子的個數(shù)為：8=2x3+2；

第3個圖形里棋子的個數(shù)為：11=3x3+2；

所以第九個圖形里棋子的個數(shù)為(3〃+2)個.

當(dāng)林=100時，

3n+2=3xl00+2=302(個)，

即第100個圖形里棋子的個數(shù)為302個.

故選：A.

根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中棋子的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)棋子的個數(shù)依次增加3是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

【解析】解：第一圖案有3枚棋子；

第2個圖案中有8枚棋子；

第3個圖案中有15枚機(jī)子；

.?.第2024個圖案中有(20252-1)枚棋子.

故選：C.

根據(jù)題意，第一圖案有(1+1>-1=3枚棋子；笫2個圖案中有(2十一1二8枚棋子：第3個圖案中有

(3+1)2-1=15枚棋子，進(jìn)而求解即可.

本題考查了圖形中的規(guī)律問題，熟練掌握確定規(guī)律的方法是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】D

【解析】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)

鍵.觀察不難發(fā)現(xiàn)，每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2013除以4,根據(jù)商和余數(shù)的情況解答即可.

【詳解】解：由圖可知，每4個數(shù)為?個循環(huán)組依次循環(huán)，20134-4=503...1,

.??從2013到2014再到2015,箭頭的方向與從1到2再到3的方向一致,即

故選：D

12.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形分析出所存在的規(guī)律.

不難看出，后一個圖形比前一個圖形多了5根木棒，據(jù)此可表示出第九個圖形中木棒的根數(shù)，從而可求第

100個圖形需要的木棒根數(shù).

【解答】

解：因?yàn)榈?個圖形需要的木棒根數(shù)為：6,

第2個圖形需要的木棒根數(shù)為：11=6+5=6+5x1,

第3個圖形需要的木棒根數(shù)為：16=6+5+5=6+5x2,

所以第n個圖形需要的木棒根數(shù)為：6+5(71—1)=571+3

所以第100個圖形需要的木棒根數(shù)為：5x100+1=501(根),

故選：A.

13.【答案】4050

【解析】略

14.【答案】3

7

15

(2n-1)

【解析】略

15.［答案］271—1

35

【解析】略

16.【答案】loooi

【解析】略

17.【答案】【小題1】

【解】由題意知，被框住的4個數(shù)分別為7,14,21,22,7+14+21+22=64,.??這4個數(shù)的和為64.

【小題2】

?.?被框住的4個數(shù)中最小的數(shù)為》,

...框中的四個數(shù)分別為%,%+7,14,%+15,

.??被框住的4個數(shù)的和是x+%+7+%4-14+x+15=4%+36.

【小題3】

不能.理由如下:

根據(jù)題意，得4%+36=100,解得x=16.,.?%+15=31,而2023年11月沒有31天，???被框住的4個數(shù)的

和不能等于100.

【解析】1.略

2.略

3.略

18.【答案】【小題1】

圖①中火柴棒的總數(shù)是(3m+1)根，

圖②中火柴棒的總數(shù)是(5幾+2)根.

?.?匡①和圖②的火柴棒的總數(shù)相同，

二3血+1=5〃+2,

5n+l

m=——.

【小題2】

設(shè)圖③中有3P個小正方形，那么火柴棒的總數(shù)是(7p+3)根，由題意得a=3m+l=5n+2=7p+3.

???m,n,p均是正整數(shù)，

???a=105k+52(k為自然數(shù))，

m=17,n=10?p=7時，a的值最小，

則與nin=3x17+1=5x10+2=7x7+3=52.

【解析】1.略

2.略

19.【答案】【小題1】

【解】原式=2a+4b.

因?yàn)閨a+1|+(b—界=0,所以《=-1,d=

所以原式=2x(-1)+4x1=0.

【小題2】

【解】原式=5ab+4a+7b+6a-3ab-4ab+3b=-2ab+10a+10b.

當(dāng)G+b=7,ab=10時，原式=-2ab+10(a+b)=-2x10+10x7=50.

【小題3】

【解】原式=6xy+7y+8x-Sxy+y-6x=xy4-8y+2x=xy+2(x+4y).

當(dāng)x+4y=-l,無y=5時，原式=5+2x(—1)=3.

【解析】1.略

2.略

3.略

20.【答案】【小題1】

8

12

16

20

24

4

12

24

40

60

84

【小題2】

4n

【小題3】

2n(n+1)

【小題4】

沒有.

【解析】1.略

2.略

3.略

4.略

21.【答案】解：舉例不唯一，如：614-416=198,198+891=1089.發(fā)現(xiàn)：結(jié)果一定是1。89.設(shè)百位

數(shù)字為Q(2VQW9,且a為整數(shù))，十位數(shù)字為4則個位數(shù)字為a-2..?.該三位數(shù)為100a+103+2=

101a+10b-2,交換百位數(shù)字與個位數(shù)字后的三位數(shù)為100(a-2)+10b+a=101a+10b-200./.

101a+10Z?-2-(101a+10b-200)=198.

198+891=1089..?.結(jié)果一定是1089.

^斤】略

22.【答案】【小題1】

解：第1個圖形中有1個扇形，

第2個圖中有22=4個扇形，

第3個圖中有32=9個扇形

正方形內(nèi)扇形的數(shù)目是否呈規(guī)律性的變化，第n個圖形中共有小個扇形;

故答案為：n2.

【小題2】

解：S1=Q27R(2Q)=Q2一亮4Q2,

.3ri\232

S-a2—4x：7r(7Q=2-—7raz,

24\4/16

3/I\232

S=a2-9nx—7r7-a=2-3-77ra4

34\6/16

【小題3】

解：發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果不變

由(2)可得%=a2-n2X%(/)=a2~^na2-

【解析】1.

本題考查了圖形類規(guī)律探究，

根據(jù)前3個圖形，找到規(guī)律即可求解：

2.

根據(jù)正方形的面積減去,個圓的面枳計(jì)算每個圖形的陰影部分面根，即可求解；

4

3.

根據(jù)(2)的結(jié)論，找到規(guī)律，即可求解.

23.【答案】1+3+5+7+9=25=52；

2500；

1500；

14,91.

【解析】(1)觀察得：1+3+5+7+9=25=52,

故答案為：1+3+5+7+9=25=52；

(2)1+3+5+7+…+(2月-1)=(1+-T)2=n2,

/.1+34-54-7+……+99=(詈/=502=2500；

(3)原式=1+34--4-19+21+234-……+79-(1+3+…+19)

=匕2/一(與與

=402-102

=1500；

(4)在圖①即2x2的大正方形網(wǎng)格中包含5個正方形；

在圖②即3x3的大正方形網(wǎng)格中包含14個正方形：

在圖③即4x4的大正方形網(wǎng)格中包含16+9+4+1=30=11+22+33+42個正方形；

??.在nxn的大正方形網(wǎng)格中包含(1+22+…+*)個正方形，

二當(dāng)九=6時，在圖6x6的大正方形網(wǎng)格中包含M+22+33+?+52+62=91個正方形,

故答案為：14,91.

(1)仿照例子直接寫出等式即可；

(2)根據(jù)所給幾個等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而求解即可；

(3)把21+23+……+79變形為1+3+…+19+21+23+……+79-(1+3+…+19),然后利用(2)

中規(guī)律求解即可；

(4)根據(jù)圖①、②、③中正方形個數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律為：在幾x〃的大正方形網(wǎng)格中包含(M+22+.-+M)個正

方形，然后把九二6代入計(jì)算即可.

本題考查數(shù)字類、圖形類規(guī)律探究，找到變化規(guī)律并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

24.【答案】14?一7?=7x21：

(2n)2-九2=n.3九，證明如下：

左邊=4n2-n2=3n2,

右邊=3n2,

???左邊=右邊，

(2n)2—n2=n-3n成立

【解析】(1)根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)可知：第7個等式：142—72=7x21.

故答案為：142—72=7x21；

(2)猜想：(2n)2-n2=n-3n；

證明如下：左邊=4/一n2二3",

右邊=3n2,

二左邊=右邊，

(2n)2—n2=n-3〃成立.