專題6.3平面向量的應(yīng)用

1.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.

新課程考試要求2會(huì).用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.

3正.弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多

核心素養(yǎng)

例）等.

（1）以平面圖形為載體，借助于平面向量研究平面幾何平行、垂直等問題：也易同三

角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn).

（2）正弦定理或余弦定理獨(dú)立命題；

（3）正弦定理與余弦定理綜合命題；

考向預(yù)測

（4）與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；

（5）考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨(dú)立考查正弦定理或余弦

定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有

關(guān)；有時(shí)也會(huì)與平面向量、三角恒等變換、立體幾何等結(jié)合考查.

【知識(shí)清單】

知識(shí)點(diǎn)1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：

（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的意義.

（2）證明線段平行、二角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：

=加（或總”一X2V1=O）.

（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的

條件：aLbQab=0（或ME+yi力=0）.

（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式就

（5）向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量

用坐標(biāo)表示,通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.

知識(shí)點(diǎn)2.向量在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類：

（1）力向量

力向量是具有大小、方向和作用點(diǎn)的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，

在不計(jì)作用點(diǎn)的情況下，_可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個(gè)力的合力一.

（2）速度向量

速度向星是具有大小和方向的向星，囚而可用求向星和的平行四邊形法則，求兩個(gè)速度的合速度.

知識(shí)點(diǎn)3.正弦定理

正弦定理：肅?=磊=看=2七其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為:

olllziolllDbillCz

abc=sinA：sin8：sinC；

a=2Rs\n_A,b=2Rsin_B,c=2/?sin_C；

sinA=卻，sin8=4,sinC=:^等形式，以解決不同的三角形問題.

Z/\Zf\ZA

面積公式S=J〃sinC=g〃csinA=JacsinB

知識(shí)點(diǎn)4.余弦定理

八-0r2+ic2-a2ca2±1c2—bl2八a21b>2~c2

變形公式cosA=——----,cos!i=-----,osC=——

2be2ac2ab

【考點(diǎn)分類剖析】

考點(diǎn)一：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

A.等腰非直角二角形B.直角非等腰二幫形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【解析】

【詳解】

故選：C

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【解析】

【詳解】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

)?

，因止匕和為60,

故選：B.

【答案】3

【解析】

【詳解】

故答案為：3

【總結(jié)提升】

1.用平面向量解決幾何問題，往往涉及平行、垂直.

2.處理幾何問題有兩個(gè)角度，一是注意選定基底，用相同的向量表示研究對象；二是通過建立坐標(biāo)系，利

用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

3.要證明兩線段平行，如AB〃CD則只要證明存在實(shí)數(shù)拄0,使#=7夕）成立，且AB與CD無公共點(diǎn).

4.要證明八、B、C三點(diǎn)共線，只要證明存在一實(shí)數(shù)存0,使掂=流.

5.要求一個(gè)角，如NA8C,只要求向量或與向量比的夾角即可.

6.在解決求長度的問題時(shí)，可利用向量的數(shù)量積及模的知識(shí)，解題過程中用到的整體代入使問題得到簡捷、

明了的解決.

【變式探究】

A."B.旦C.顯D.瓜

432

Q

???M(4,g),

o

，麗=(4,Q).

假設(shè)在BM上存在點(diǎn)P使得PCIBM,

設(shè)/=i.曲,且0?<l,

即時(shí)=i麻/=2(4,1)=(4A>爭)，

???€>=￡%+即=(-6.0)+(4九|l)=(4A-6,I；).

〈PC人BM,??心麗=0,

Q8

得4(42—6)+鏟水=(),

JJ

解得4去27

???線段上不存在點(diǎn)尸使得PCIBM.

【規(guī)律總結(jié)】

本題若用平面幾何知識(shí)解非常復(fù)雜，利用共線向量則能巧妙解決，在今后解題中注意體會(huì)和應(yīng)用.

【變式探究】

△ABC是等腰直角三角形，ZB=90°,。是邊BC的中點(diǎn)，BELAD,垂足為E,延長8E交AC于尸，連接

DF,求證：NADB=NFDC.

【答案】

【解析】如圖，B為原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)4(0,2),C(2,0),則￡)(1,0),祀=(2,-

2).

箱

設(shè)#=爾;

則講=成+#=(0⑵+(2九-22)=(2x,2-2A).

又屬=(-1,2),屏工用，，前蘇=0,

/.-2Z+2(2-2A)=0,AA=|.

4

京-

?(y

又虎=(1O),???cos/AO8=.,加二坐,

|兩防-

/—肝?虎小

cosNFDC^~c，

I兩I禽

又NADB,NFOC￡(0,兀)，：./ADB=/FDC.

考點(diǎn)三：平面向量在物理中的應(yīng)用

【答案】C

【解析】

【詳解】

以O(shè)A、OB、0C為過同?個(gè)頂點(diǎn)的三條棱,

7

即不與月所成角的余弦之值為正.

故選：C.

【解析】

【詳解】

【總結(jié)提升】

1.求幾個(gè)力的合力，可以用幾何法，通過解三角形求解，也可用向量法求解.

2.如果一個(gè)物體在力G的作用下產(chǎn)生位移為s,那么力”所做的功W=/l|s|cos仇其中。是產(chǎn)與s的夾角.由

于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積.

【變式探究】

【答案】BD

【解析】

根據(jù)題意作出圖示，結(jié)合向后的平行四邊形法則計(jì)算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夾角.

【詳解】

設(shè)船的實(shí)際航行速度為匕，水流速度為嶺，船的航行速度為打，

根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：

設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為6,

故選：BD.

2.12021?云南昆明市?高三三模（理））兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則R與K大小

【答案】國

2

【解析】

物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0,然后可算出答案.

【詳解】

物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0

故答案為：如

2

考點(diǎn)四：正弦定理

【答案】當(dāng).

4

【解析】

（1）求〃與〃的夾角

【解析】

【詳解】

【總結(jié)提升】

已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.

已知兩邊和一邊對角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn),

應(yīng)引起注意.

已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時(shí)，注意解的情況.如已知，b,A,則

A為銳角力為鈍角或直角

圖形泰］展）亳^h=l

bsinA<a

關(guān)系式a<bsinAa=bsinAa>ba&b

<b

解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解

【變式探究】

1.(2019?北京高考模擬(理))在ZL4BC中，已知BC=6,AC=4,sinA=則NB=_____.

4

【答案】E

【解析】

VHC=6,AC=4,sin/1=由正弦定理冬二色，得：sinB-"普二孚=；,

4s】n4sinBBC62

VAC<BC,工得B為銳角，所以

6

故答案為：p

O

2.(2018?北京高考真題(理))在△?!比中，京7,從8,cosB=

([)求N4

(II)求力C邊上的高.

【答案】(1)/月4(2)力。邊上的高為尊

【解析】

(1)在砥中，Teos廬-(―,n),sin^Vl—cos2fi=—.由正弦定理得J-=-r—=-T—

727sinAsinBsinA

，sin/l￥?‘：Be(-,Ji),???/￡(0,-),AZJ=".

ZZ23

(2)在△/歷。中，Vsin^sin(月+8)=sin/1cos*sinaos/l二苧x(一》+[x竽=袈.

如圖所示，在△/!伙7中，??2[)右白，，/F8C-sinC=7x￥=號，，力。邊上的窗為等.

C1*T乙

考點(diǎn)五余弦定理

(2)s\nA+y/3sinC=,求C.

2

【答案】(1)(2)15°.

【解析】

(1)已知角4和8邊，結(jié)合4c關(guān)系，由余弦定理建立c的方程，求解得出a，。，利用面積公式，即可得

出結(jié)論：

【詳解】

【解析】

【詳解】

D

AB

【規(guī)律方法】

應(yīng)用余弦定理解答兩類問題：

【變式探究】

【答案】(1)證明見解析；(2)73.

【解析】

(1)根據(jù)平面向量共線的條件以及正弦定理可得結(jié)果;

【詳解】

([)求。，c的值；

(II)求sin(伊。的值.

【解析】

【總結(jié)提升】

考點(diǎn)六正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用

【解析】

(1)求角C的大小;

【解析】

【詳解】

由切線長定理可知從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等,

【總結(jié)提升】

已知條件運(yùn)用定理一般解法

一邊和兩角

由X+B+C=18（y,求出，，由正弦定理求出gc,在

如（久B、C）正弦定理

有解時(shí)只有一解

兩邊和夾角由余弦定理求出邊C,再由正弦定理求小邊所對的角，再由

如（小b、C）余弦定理X+B+C=18（r,求另一個(gè)角，在有解時(shí)只有一解

兩邊和其中一

由正弦定理求出由，求角再由正

邊的對角b,K+3+C=180'C,

正弦定理"

弦定理求邊?可有兩解、一解、或無解

如（久6、X）

三邊

由余弦定理求X、B,再由，+3+C=18（T求角C,在有

如（4、枚C）