中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專題復(fù)習(xí)：圓的綜合專項(xiàng)練習(xí)題

1、如圖，。。是AA3C的外接圓，其切線4E與直徑BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,

且AE=A5.

(1)求NAC8的度數(shù)；

(2)若DE=2,求。0的半徑.

2、如圖，45是半圓O的直徑，C,O是半圓。上不同于A,8的兩點(diǎn)，AD=BC,

AC與相交于點(diǎn)尸.3E是半圓。所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：△CEANAZMB；

(2)若BE=BF,求證：AC平分

3、如圖，AG是NHAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的。0交AG于點(diǎn)

D,過點(diǎn)D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)若AC=2CD,設(shè)。0的半徑為r,求BD的長(zhǎng)度.

4、如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)0在AB

上，。。經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若。。的半徑是2cm,E是標(biāo)的中點(diǎn)，求院影部分的面積(結(jié)果保留兀和

根號(hào))

5、如圖，CE是。0的直徑，BC切。。于點(diǎn)C,連接0B,作ED〃OB交。0于點(diǎn)

D,BD的延長(zhǎng)線與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A.

(1)求證：AB是。。的切線；

(2)若(90的半徑為L(zhǎng)tanZDE0=V2>tanNA*求AE的長(zhǎng).

6、如圖，點(diǎn)。是aABC的邊AB上一點(diǎn)，。。與邊AC相切于點(diǎn)E,與邊BC，AB

分別相交于點(diǎn)D,F,且DE二EF.

(1)求證：ZC=90°；

(2)當(dāng)BC=3,sinA二色時(shí)，求AF的長(zhǎng).

5

o

B

7、如圖，已知A、B是。。上兩點(diǎn)，AOAB外角的平分線交。。于另一點(diǎn)C,CD

J_AB交AB的延長(zhǎng)線于D.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)E為標(biāo)的中點(diǎn)，F(xiàn)為。。上一點(diǎn)，EF交AB于G,若tan/AFE=BE=BG,

4

EG=3V10，求。0的半徑.

8、如圖，已知AA是0。的直徑，。是OO上的一點(diǎn)，。是A4上的一點(diǎn)，DELAB

于。，DE交BC于F,且EF=EC.

(1)求證：EC是0。的切線；

(2)若BD=4,BC=S,圓的半徑08=5,求切線EC的長(zhǎng).

9、如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)E為線段0B上一點(diǎn)(不與0,B重合)，作EC

10B,交。0于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作AF

_LPC于點(diǎn)F,連接CB.

(1)求證：AC平分NFAB；

(2)求證：BC2=CE*CP：

AD,過點(diǎn)。作DE_LAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

(1)求證：。七是O。的切線.

(2)若直徑A8=6,求AO的長(zhǎng).

13、如圖，在△力BC中，。為4c上一點(diǎn)，以。為圓心，0C長(zhǎng)為半徑作圓，與BC相

切丁點(diǎn)C,過點(diǎn)A作/WJ.8。交30的延K線丁點(diǎn)。，且NA。。=ABAD.

(1)求證：AB為00的切線；

(2)若BC=6,tanZABC=-，求4。的長(zhǎng).

3

14、如圖，。。是△ABC的外接圓，點(diǎn)0在BC邊上，NBAC的平分線交。。于點(diǎn)

D,連接BD、CD,過點(diǎn)D作BC的平行線與AC的廷長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：PD是。。的切線；

(2)求證：AABD^ADCP；

(3)當(dāng)AB=5cm,AO12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng).

15、如圖，AB為。0的直徑，且AB=4,點(diǎn)C在半圓上，OC_LAB,垂足為點(diǎn)0,

P為半圓上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE10C于點(diǎn)E,設(shè)AOPE的內(nèi)心為M,連接0M、

PM.

(1)求NOMP的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

16、如圖，AB是半圓。的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AC的垂直平分線交半

圓于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接DA,DC.已知半圓0的半徑為3,BC=2.

(1)求AD的長(zhǎng).

(2)點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP,作NDPF二NDAC,PF交線段CD于點(diǎn)F.當(dāng)

△DPF為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).

17、如圖所示：。。與△A4C的邊相切于點(diǎn)C,與AC、A8分別交于點(diǎn)D、

E,DE//OB.。。是。。的直徑.連接0E,過C作CG//OE交。。于G,連接DG、

EC,DG與EC交于點(diǎn)、F.

（1）求證：直線A3與。。相切；

（2）求證：AEED=ACEF；

（3）若防=3,tan/ACE=glhh過A作AN〃CE交。。于M、N兩點(diǎn)（M在線

段AN上），求AN的長(zhǎng).

18、如圖1,。/與直線。相離，過圓心/作直線。的垂線，垂足為“，且交0/

于尸、。兩點(diǎn)（。在P、”之間）.我們把點(diǎn)P稱為。/關(guān)于直線。的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4）,半徑為1的。。

與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D.

①過點(diǎn)E畫垂直于），羯的直線〃i,則。。關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)（填

“4”、“夕、"C域“D”），。。關(guān)于直線〃，的“特征數(shù)''為；

②若直線〃的函數(shù)表達(dá)式為），=百工+4,求。。關(guān)于直線〃的“特征數(shù)”；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/經(jīng)過點(diǎn)M（l,4）,點(diǎn)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，

以尸為圓心，血為半徑作。F.若。尸與直線/相離，點(diǎn)N（-1,O）是。尸關(guān)于直

線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且。尸關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是4石，求直線/的函數(shù)表達(dá)式.

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專題復(fù)習(xí)：圓的綜合專項(xiàng)練習(xí)題

I、如圖，。。是AA5C的外接圓，其切線AE與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,

且AE=AB.

（1）求的度數(shù)；

（2）若DE=2,求OO的半徑.

解：（1）如圖，連接。4.

YAE是OO的切線，AZOAE=90°.

又?:OB=OA,

：.Z1=Z2.

VAB=AE,：.Z1=ZE,

???ZAOE=2Z1=2ZE.

又丁在RtAAOE中，ZA6>E+ZE=90°,

，3ZE=90°./.ZE=30°.

ZAOB=]20°.

??.ZACB=-ZAOB=60°.

2

(2)設(shè)OO的半徑為r,

在RtAOAE中，VZE=30°,AOE=2OA.

：.OD+DE=2OA.：.r+2=2r,

r=2.

???OO的半徑是2.

C

2、如圖，AB是半圓O的直徑，C,。是半圓。上不同于A,8的兩點(diǎn)，AD=BC,

AC與小。相交于點(diǎn)F.BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：△CMNAZMB；

(2)若BE=BF,求證：AC平分ZAM8.

【解答】(1)證明：?「AB是半圓O的直徑,

:.ZACB=ZADB=90°,

BC=AD

在RtACBA與RtADAB中，＜

BA=AB

：.RtACBA三RtADAB(HL)；

(2)解：，.BE=BF,由(1)知BC_LE/,

:.ZE=ZBFE,

?.?的是半圓O所在圓的切線，

:.ZABE=9(r,

.\ZE+ZBAE=90o,

由(1)知NO=90。，

.-.ZZMF+Z4/D=90o,

?.?ZAFD=4FE,

:.ZAFD=AE,

/.ZZMF=90°-ZAFD,NBAF=90。一NE,

:.ZDAF=ZBAF,

二.AC平分ZZ%8.

3、如圖，AG是NHAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的。。交AG于點(diǎn)

D,過點(diǎn)D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B.

(1)求證：直線BC是。)0的切線；

(2)若AC=2CD,設(shè)0c的半徑為r，求BD的長(zhǎng)度.

【解答】（1）證明：連接OD,

VAG是NHAF的平分線，

AZCAD=ZBAD,

VOA=OD,

AZOAD=ZODA,

AZCAD=ZODA,

???OD〃AC,

VZACD=90°,

AZODB=ZACD=90°,即ODJ_CB,

2D在。O上,

，直線BC是。。的切線；（4分）

（2）解：在RtaACD中，設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=加a,

連接DE,

VAE是。O的直徑，

AZADE=90°,

由NCAD=NBAD,ZACD=ZADE=90°,

AAACD^AADE,

?ADAC

**AE=AD，

?a-4r

5

由（1）知：OD〃AC,

?BD0D即BD_r

BCADBD+a2a

?.,a;生，解得BD=&r,（10分）

53

4、如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)0在AB

上，。。經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.

（1）求證：BC是00的切線；

（2）若。。的半徑是2cm,E是標(biāo)的中點(diǎn)，求除影部分的面積（結(jié)果保留兀和

【解答】解：（1）連接0D.

VOA=OD,

ZOAD=ZODA,

VZOAD=ZDAC,

AZODA=ZDAC,

，OD〃AC,

.?.ZODB=ZC=90°,

A0D1BC,

/.BC是O。的切線.

(2)連接OE,OE交AD于K.

VAE=DE，

AOE1AD,

VZOAK=ZEAK,AK=AK,ZAKO=ZAKE=90°,

AAAKO^AAKE,

/.AO=AE=OE,

AAOE是等邊三角形，

AZAOE=60°,

.__60?兀?22兀rz

ccc=

.?S陰=5M形OAE-SAAOE---------------------------4義2——--—7

5、如圖，CE是。。的直徑，BC切。。于點(diǎn)C,連接0B,作ED〃OB交。0于點(diǎn)

D,BD的延長(zhǎng)線與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A.

(1)求證：AB是00的切線；

(2)若。。的半徑為1,tanZDE0=V2，tan/A*求AE的長(zhǎng).

E

D

I0、八

CB

【解答】解：(1)連接OD,如圖.

VED/7OB,

AZ1=Z4,Z2=Z3,

VOD=OE,

AZ3=Z4,

/1=/2.

在ADOB與△COB中，

OD=OC

'Z1=Z2,

OB二OB

/.△DOB^ACOB,

AZODB=ZOCB,

TBC切。。于點(diǎn)C,

/.ZOCB=90°,

AZODB=90°,

，AB是。O的切線；

(2)VZDEO=Z2,

/.tan/DEO二tanz'2=—=V2，

OC

,.?。0的半徑為1,OC=1,

/.BC=V2，

tanZA=—=—,

AC4

，AC=4BC=4行,

AAE=AC-CE=4A/2-2.

6、如圖，點(diǎn)。是4八8(2的邊AB上一點(diǎn)，。。與邊AC相切于點(diǎn)E,與邊BC，AB

分別相交于點(diǎn)D,F,且DE=EF.

(1)求證：ZC=90°；

(2)當(dāng)BC=3,sinA二2時(shí)，求AF的長(zhǎng).

5

【解答】解：(1)連接OE,BE,

VDE=EF,

DE=E?

AZOBE=ZDBE

VOE=OB,

ZOEB=ZOBE

/.ZOEB=ZDBE,

???OE〃BC

與邊AC相切于點(diǎn)E,

A0E1AC

，BC_LAC

/.ZC=90°

(2)在△ABC,ZC=90°,BC=3,sinA=W

5

???AB=5,

設(shè)。0的半徑為r,則A0=5-r,

在RtAAOE中，sinA=—=-^—=—

OA5-r5

7、如圖，已知A、B是。。上兩點(diǎn)，aOAB外角的平分線交。。于另一點(diǎn)C：CD

_LAB交AB的延長(zhǎng)線于D.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)E為標(biāo)的中點(diǎn)，F(xiàn)為。。上一點(diǎn)，EF交AB于G,若tanNAFE=0，BE=BG,

4

EG=3V10,求。。的半徑.

【解答】（1）證明：連接0C,如圖,

??,BC平分/OBD,

AZOBD=ZCBD,

VOB=OC,

.e.ZOBC=ZOCB,

/.ZOCB=ZCBD,

.'.OC//AD,

而CD1AB,

Z.OCICD,

，CD是。0的切線；

(2)解：連接0E交AB于H,如圖,

,?，E為標(biāo)的中點(diǎn)，

A0E1AB,

VZABE=ZAFE,

tanZABE=tanZAFE=—,

4

???在RtABEH中,tanZHBE=—=—

BH4

設(shè)EH=3x,BH=4x,

ABE=5x,

?/BG=BE=5x,

/.GH=x,

在RtZkEHG中，x2+(3x)2=在5)2,解得x=3,

AEH=9,BH=12,

設(shè)。0的半徑為r,則0H=r?9,

在RQOHB中,(r-9)2+122=r2,解得r=空,

2

即。。的半徑為注.

E

8、如圖，已知是0。的直徑，C是0O上的一點(diǎn)，。是上的一點(diǎn)，DELAB

于。，DE交BC于F,且EF=EC.

(1)求證：EC是G)O的切線；

(2)若瓦)=4,BC=8,圓的半徑08=5,求切線EC的長(zhǎng).

?.?OC=OR,

:"OBC=ZOCB,

vDE±AB,

:"OBC+/DFB=90。,

?;EF=EC,

ZECF=/EFC=ZDFB,

;./OCBiNEB=90。，

：.OCLCE,

:.EC&0O的切線；

(2)?.?AB是0O的直經(jīng)，

ZACB=90°,

?.?Q8=5,

AB=1(),

：.AC=y]AB2-Z?C2=V1CO-64=6,

/.“，BDBC

,/cosZABC=—=—,

BFAB

84

??—=--，

10BF

:.BF=5,

:.CF=BC-BF=3,

?.?ZABC+ZA=90°,Z/WC+ZB中=90°,

:.NBFD=ZA,

NA=ZBFD=ZECF=AEFC,

-：OA=OC,

:.ZOCA=ZA=/BFD=AECF=ZEFC,

z.ACMC^AECF,

,ECCF

~OA~~AC'

gOA.CF5x35

EC=---------=------=—.

AC62

9、如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與0,B重合)，作EC

10B,交。0于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作AF

J_PC于點(diǎn)F,連接CB.

(1)求證：AC平分NFAB；

(2)求證：BC2=CE*CP；

(3)當(dāng)AB=4%且黑=-|?時(shí)，求劣弧面的長(zhǎng)度.

【解答】(1)證明：...AB是直徑，

AZACB=90°,

/.ZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

VZBCP=ZBCE,

AZACF=ZACE,

(2)證明：???OC=OB,

AZOCB=ZOBC,

,PF是。。的切線，CE1AB,

.ZOCP=ZCEB=90°,

.ZPCB+ZOCB=90°,ZBCE+ZOBC=90°,

AZBCE=ZBCP,

VCD是直徑，

AZCBD=ZCBP=90°,

/.△CBE^ACPB,

?CB.CE

??,1-19

CPCB

???BC2=CE*CP；

(3)解：作BMJ_PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,

VZMCB+ZP=90°,ZP+ZPBM=90°,

.e.ZMCB=ZPBM,

?..CD是直徑，BM±PC,

ZCMB=ZBMP=90°,

?.?BM-一CM,

PMBM

.\BM2=CM*PM=3a2,

BM=V3a?

.'.tanZBCM=—=^,

CM3

AZBCM=30°,

AZ0CB=Z0BC=ZB0C=60o,ZBOD=120°

...奇的長(zhǎng)=12。?兀?2F=延兒

1803

D

10、已知。O的直徑AB=2,弦AC與弦BD交于點(diǎn)E.且OD_LAC,垂足為點(diǎn)F.

(1)如圖1,如果AC=BD,求弦AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,如果E為弦BD的中點(diǎn),求NABD的余切值;

(3)聯(lián)結(jié)BC、CD、DA,如果BC是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是。01勺內(nèi)

接正(n+4)邊形的一為，求4ACD的面積.

【解答】解：(1)V0D1AC,

.**AD=CD?ZAFO=90°,

X'.,AC=BD,

AAC=BD?即俞徐在+菽，

AD=BC，

AAD=3=BC，

I.ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,

VAB=2,

.*.AO=BO=1,

AF=AOsinZAOF=1Xm=亞，

22

貝ijAC=2AF=V3；

(2)如圖1,連接BC,

圖1

TAB為直徑,0D1AC,

.e.ZAFO=ZC=90°,

???OD〃BC,

AZD=ZEBC,

VDE=BE>ZDEF=ZBEC,

AADEF^ABEC(ASA),

，BC=DF、EC=EF,

XVAO=OB,

AOF^AABC的中位線，

設(shè)OF=t,則BC=DF=2t,

VDF=DO-OF=1-t,

Al-t=2t,

解得：t1,

則DF=BC=￡、AC慶R2_BC2=J22-日產(chǎn),

.?.EF」FC」AC=返，

243

VOB=OD,

ZABD=ZD,

2_

貝ijcotNABD:cotND喈=喘"=亞；

T

(3)如圖2,

圖2

TBC是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是。。的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊,

???NBOC二期、NAOD二NCOD二塾,

nn+4

貝|J理2+2X里'80,

nn+4

解得：n=4,

AZBOC=90\ZAOD=ZCOD=45°,

，BC=AC二亞，

VZAFO=90°,

???OF=AOco3/AOF;返，

2

則DF=OD-OF=1-返，

2

SAACD=1AC?DF=—X^X(I)二迎T.

2222

11、如圖，45為0O的直徑，四邊形A3CQ內(nèi)接于00,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、

E,OO的切線A廠交B力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，切點(diǎn)為4,且NC40=ZAB。.

(1)求證：AD=CD；

（2）若AB=4,BF=5,求sinN80c的值.

【解答】解：（1）證明：???NC4O=ZAM,

又?.,乙血＞=440

:.ZACD=^CAD1

.\AD=CDx

（2）?.?4?'是0。的切線，

ZMB=90°,

?.?9是。。的直徑，

.\Z4C5=ZADB=ZADF=90°,

ZABD+^BAD=^BAD+^FAD=90°,

:.ZABD=ZFAD,

\'ZABD=ZCAD1

.?.ZMD=ZE4D,

?.?AD=AD,

:.^ADF^MDE(ASA)t

.\AF=AEfDF=DE,

VAB=4,BF=5,

AF=y]BF2-AB2=3,

/.AE=AF=3,

?/SzMvBibFr=—2AB?AF2=-BF*AD，

AB.AF4x312

AD=

~~BF~~~=~5

DE=qAE?-Ab=J)一母y=|,

BE=BF-2DE=-

5f

?：ZAED=ABEC,Z/WE=ZBCE=90°,

:MECsgED,

BEBC

12、如圖，43為OO的直徑，C、。為OO上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=CD=DB,連接

AD,過點(diǎn)D作。E_LAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

(1)求證：OE是。。的切線.

(2)若直徑A8=6,求AO的長(zhǎng).

E

【解答】（1）證明：連接。。，

\'AC=CD=DB,

???/8。。="180°=60°,

3

VCD=DB,

：.（

ZEAD=ZDAB=-2zB9D=30°,

9

：OA=ODf

：.ZADO=ZDAB=30°,

9：DEIAC,

???NE=9（T,

：.ZEAD+ZEDA=9O°,

：.ZEDA=60°,

；?NEDO=NEDA+NADO=90°,

.??OD1.DE,

????！晔荗O的切線；

（2）解：連接8Q,

???A6為OO的直徑，

AZADB=90°,

a：ZDAB=30°,AB=6,

：.BD=-AB=3

2t

.*.AD=V62-32=3A/3.

E

13、如圖，在△ABC中，。為4c上一點(diǎn)，以。為圓心，0C長(zhǎng)為半徑作圓，與BC相

切于點(diǎn)C,過點(diǎn)4作4018。交B。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,且NA。。=ZBAD.

(1)求證：48為。。的切線；

(2)若BC=6,tanZABC=-,求A0的長(zhǎng).

3

【解析】(1)作OE_LAB于點(diǎn)E

???O0切BC于點(diǎn)C

0OC1BCNACB=90。

???AD±BDAZD=90°

AZABD+ZBAD=90°

ZCBD+ZBOC=90°

???ZBOC=ZAODNAOD=/BAD

AZBOC=ZBAD

ZABD=ZCBD

ZOEA=zOCB

在^OBC和^OBE中乙ABD=zCBD

OB=OB

AAOBC^AOBE

OE=OC.??OE是。O的半徑

.VOE1AB...AB為。。的切線.

(2)?-tanZABC^=i,BC=6

???AC=8???AB=V62+82=10

VBE=BC=6AAE=4

??,ZAOE=ZABCAtanZAOE=^=-，EO=3

AO=5OC=3，BO=V62+32=3通

在MOD和ABOC中牖仁畸

.,.△AOD^ABOCA-=—

BOBC

即攜=祟.-.AD=2V5

14、如圖，。。是△ABC的外接圓，點(diǎn)。在BC邊上，NBAC的平分線交。0于點(diǎn)

D,連接BD、CD,過點(diǎn)D作BC的平行線與AC的廷長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：PD是。0的切線;

(2)求證：ZXABDsADCP；

(3)當(dāng)AB=5cm,AC=12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng).

【解答】解:(1)如圖，連接0D,

???BC是。。的直徑，

AZBAC=90°,

〈AD平分NBAC,

AZBAC=2ZBAD,

VZB0D=2ZBAD,

.,.ZBOD=ZBAC=90°,

VDP/7BC,

.,.Z0DP=ZB0D=90°,

APD10D,

???OD是00半徑,

???PD是。0的切線；

(2)VPD/7BC,

???/ACB=NP,

ZACB=ZADB,

AZADB=ZP,

V/ABD+ZAa)=180°,/ACD+/DCP=1800,

AZDCP=ZABD,

AAABD^ADCP,

(3)???BC是。。的直徑,

.-.ZBDC=ZBAC=90°,

在RtAABC中，^=,7AB*2+AC2=^CNI,

TAD平分NBAC,

/.ZBAD=ZCAD,

.?.ZBOD=ZCOD,

ABD=CD,

在RtABCD中，BD^+C^BC2,

；?BC=CD二返BC二型但，

22

VAABD^ADCP,

?ABBD

**CD^CP，

1372

,5_2

??]m?CP'

2

ACP=16.9cm.

15、如圖，AB為。O的直徑，且AB=4,點(diǎn)C在半圓上，OC_LAB,垂足為點(diǎn)0,

P為半圓上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PEJ_OC于點(diǎn)E,設(shè)AOPE的內(nèi)心為M,連接0M、

PM.

(1)求/OMP的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

【解答】解：

(1)VAOPE的內(nèi)心為M,

.*.ZM0P=ZM0C,ZMPO=ZMPE,

???ZPMO=1800-ZMPO-ZMOP=180°-1(ZEOP+ZOPE),

2

VPE±OC,即NPEO=90°,

.\ZPMO=180°-(ZEOP+ZOPE)=180°-工(180°-90°)=135°,

22

(2)如圖，VOP=OC,0M=0M,

而NMOP:NMOC,

.,.△OPM^AOCM,

/.ZCMO=ZPMO=135°,

所以點(diǎn)M在以O(shè)C為弦，并且所對(duì)的圓周角為135。的兩段劣弧上(疏和血)；

點(diǎn)M在扇形BOC內(nèi)時(shí)，

過C、M、。三點(diǎn)作。0、連06,09,

在優(yōu)弧CO取點(diǎn)D,連DA,DO,

VZCMO=135°,

.,.ZCDO=180°-135°=45°,

.*.ZCOzO=90°,而0A=4cm,

22

???弧OMC的長(zhǎng)F71"2?=加.(cm),

同理：點(diǎn)M在扇形AOC內(nèi)時(shí)，同①的方法得，弧ONC的長(zhǎng)為比“cm,

所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為2X班冗=2、/^icm.

16、如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AC的垂直平分線交半

圓于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接DA,DC.已知半圓。的半徑為3,BC=2.

(1)求AD的長(zhǎng).

(2)點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP,作NDPF=NDAC,PF交線段CD于點(diǎn)F.當(dāng)

△DPF為等腰三角形時(shí),求AP的長(zhǎng).

APOEBC

【解答】解：(1)如圖1,連接OD,,?，OA=OD=3,BC=2,

AAC=8,

VDE是AC的垂直平分線，

.?.AE」AC=4,

2

AOE=AE-OA=1,

在RtAODE中，DE=A/0D2HDE2=272；

在RtZXADE中，AD=^AE2+DE2=2V6；

(2)當(dāng)DP=DF時(shí)，如圖2,

點(diǎn)P與A重合，F(xiàn)與C重合，則AP=O；

當(dāng)DP二PF時(shí)、如圖4,.*.ZCDP=ZPFD,

??,DE是AC的垂直平分線，ZDPF=ZDAC,

/.ZDPF=ZC,

VZPDF=ZCDP,

.'.△PDF^ACDP,

AZDFP=ZDPC,

ZCDP=ZCPD,

ACP=CD,

.\AP=AC-CP=AC-CD=AC-AD=8-2%；

當(dāng)PF二DF時(shí)，如圖？,

AZFDP=ZFPD,

VZDPF=ZDAC=ZC,

AADAC^APDC,

?PCCD

??-----zz-----，

CDAC

?8-AP2A/6

12&二8'

AAP=5,

即：當(dāng)aDPE是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為0或5或8?2%.

17、如圖所示：。。與△A3C的邊8C相切于點(diǎn)C,與AC、AB分別交于點(diǎn)D、

E,DE//OB.QC是。。的直徑.連接。。過C作CG//OE交。。于G,連接DG、

EC,與EC交于點(diǎn)F.

Q

(1)求證：直線43與。。相切；

(2)求證：AEED=ACEFx

(3)若EFn3tanNACEn：時(shí)，過A作4V〃。上交。。于M、N兩點(diǎn)(M在線

段AN上)，求AN的長(zhǎng).

【詳解】(1)：DE〃OB,/.ZBOC=ZEDC,

VCG//OE,AZDEO=ZBOE,

XVZDEO=ZEDC,AZDEO=ZBOE,

由題意得：EO=CO,BO=BO,

.,.△BOE^ABOC(SAS),

ZBEO=ZBCO=90°,

???AB是。。的切線.

如圖所示DG與OE交點(diǎn)作為H點(diǎn),

VEO//GC,

.e.ZEHD=ZDGC=90o,

又由⑴所知NAEO=90。，

AAE//DF,

.,.△AEC^ADFC,

.AEDF

**AC-DC5

由圓周角定理可知NEDG=ZECG,ZE0D=2ZECD,

DO//GC,

???ZEOD=ZGCD=ZGCE+ZECD,

ZECD=ZGCE=ZEDF,

XVZFED=ZDEC,

.,.△FED^ADEC,

.DFEF

^~DC~~ED"

EF

,BPAEED=ACEF.

ACED

???EF=3,tanNACE=1,與NACE相等角的tan值都相同.

J

???ED=6,則EC=12,

根據(jù)勾股定理可得8=y/ED2+EC2=J36+144=675-

AEO=DO=CO=3A/5.

百/C\—r4HAEEF1

由⑵可得就=方=于

在RtAAEO中，可得AO2=AE2+EO2，即(AC-OC)2=AE2+EO2,

22

???（2AE-36y=A爐+（36），

解得AE=4百，則AL8石,A0=5亞.

連接ON,延長(zhǎng)BO交MN于點(diǎn)I,根據(jù)垂徑定理可知OI±MN,

VAN//CE,.*.ZCAN=ZACE.

在RtAAIO中，可得AO?=AI2+IO2，即（5石『=（2O/『十。廣,

解得01=5,則解=10,

在RtA0IN中，ON2=IN2+IO?,即（3百『="+52,

解得IN=2出.

.'.AN=AH-IN=10+25/5.

18、如圖I,與直線〃相離，過圓心/作直線〃的垂線，垂足為H,且交O/

于尸、Q兩點(diǎn)（Q在P、”之間）.我們把點(diǎn)P稱為。/關(guān)于直線。的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系工3,中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（。,4）,半徑為1的OO

與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D.

①過點(diǎn)E畫垂直于y粕的直線m,則。0關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)（填

“#，、”夕，、"e域"0”），。。關(guān)于直線機(jī)的“特征數(shù)”為；

②若直線〃的函數(shù)表達(dá)式為y=3+4,求