專題01集合與常用邏輯用語

集合概念及其基本理論，是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一，集合的語言、思想、觀點(diǎn)滲透

于中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個(gè)分支.有關(guān)簡易邏輯的常識(shí)與原理始終貫穿于數(shù)學(xué)的分析、推理與計(jì)

算之中，學(xué)習(xí)關(guān)于邏輯的有關(guān)知識(shí)，可以使我們對(duì)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念理解更透徹，表達(dá)更準(zhǔn)

確.不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是工具性很強(qiáng)的一部分內(nèi)容，解不等式、不等式的

性質(zhì)等都有很重要的應(yīng)用.

關(guān)注本專題內(nèi)容在其他各專題中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)這一專題內(nèi)容時(shí)要注意的.

§1-1集合

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.

2.集合常用的兩種表示方法：列舉法和描述法，另外還有大寫字母表示法，圖示法(韋

恩圖)，一些數(shù)集也可以壓區(qū)間的形式表示.

3.兩類不同的關(guān)系：

(1)從屬關(guān)系——元素與集合間的關(guān)系；

(2)包含關(guān)系——兩個(gè)集合間的關(guān)系(相等是包含關(guān)系的特殊情況).

4.集合的三種運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集.

【復(fù)習(xí)要求】

1.對(duì)于給定的集合能認(rèn)識(shí)它表示什么集合.在中學(xué)常見的集合有兩類：數(shù)集和點(diǎn)集.

2.能正確區(qū)分和表示元素與集合，集合與集合兩類不同的關(guān)系.

3.掌握集合的交、棄、補(bǔ)運(yùn)算.能使用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.

4.把集合作為工具正確地表示函數(shù)的定義域、值域、方程與不等式的解集等.

【例題分析】

例1給出下列六個(gè)關(guān)系：

(1)O￡N*(2)02{-1,1}(3)0￡{0}

(4)0^{0}(5)(()}￡{0,1}(6){0}c[0)

其中正確的關(guān)系是.

【答案】⑵(4)(6)

【評(píng)析】I.熟悉集合的常用符號(hào)：不含任何元素的集合叫做空集，記作0；N表示自

然數(shù)集；N-或N"表示正整數(shù)集：Z表示整數(shù)集；Q表示有理數(shù)集：R表示實(shí)數(shù)集.

2.明確元素與集合的關(guān)系及符號(hào)表示：如果。是集合力的元素，記作：如果。

不是集合A的元素，記作：“任兒

3.明確集合與集合的關(guān)系及符號(hào)表示:如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3的元素，

那么集合A叫做集合8的子集.記作：或

如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么，集合A叫做集

合8的真子集.或6裝A.

4.于集的性質(zhì)：

①任何集合都是它本身的子集：AqA；

②空集是任何集合的子集：0口4

提示：空集是任何非空集合的真子集.

③傳遞性：如果Ay5,6工C,則AyC；如果A*6,則AgC.

例2已知全集(/={小于10的正整數(shù)},其子集A,3滿足條件(C〃)n(CM)={l,9},

Anz?={2},6n(CuA)={4,6,8}.求集合A,B.

【答案】A=[2,3,5,7},B={2,4,6,8).

【解析】根據(jù)已知條件,得到如圖1-1所示的韋恩圖,

圖1一|

于是，韋恩圖中的陰影部分應(yīng)填數(shù)字3,5,7.

故從={2,3,5,7},8=[2,4,6,8).

【評(píng)析】1、明確集合之間的運(yùn)算

對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B,由既屬于A又屬于8的所有元素構(gòu)成的集合叫做A、8的

交集.記作:4nB.

對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、8,把它們所有的元素并在一起構(gòu)成的集合叫做4、B的并集.記

作：AUB.

如果集合人是全集U的一個(gè)子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合叫做A在U

中的補(bǔ)集.記作QM.

2、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算事實(shí)上是較為復(fù)雜的“且、'、“或"、"非''的邏輯關(guān)系運(yùn)算，而

韋恩圖可以將這種復(fù)雜的邏輯關(guān)系直觀化，是解決集合運(yùn)算問題的一個(gè)很好的工具，要習(xí)慣

使用它解決問題，要有意識(shí)的利用它解決問題.

例3設(shè)集合M={x[-1夕＜2},N={xIxVa}.若MClN=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】（-8,-1].

【評(píng)析】本題可以通過數(shù)軸進(jìn)行分析，要特別注意當(dāng)4變化時(shí)是否能夠取到區(qū)間端點(diǎn)的

值.象韋恩圖一樣，數(shù)軸同樣是解決集合運(yùn)算問題的一個(gè)非常好的工具.

—6----?

-10a2x

【答案】2

9.設(shè)集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},求(An8)UC.

10.設(shè)全集0={小于10的自然數(shù)},集合A,3滿足AD8={2},(C〃)n8={4,6,81,(C

M)n(CLrB)={l,9},求集合A和從

11.已知集合人={%|—2球4},5={xIx>a},

①Ans，。，求實(shí)數(shù)”的取值范圍：

②ACI8#A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

③ACIB#。，旦Afi房4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

§1-2常用邏輯用語

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.命題是可以判斷真假的語句.

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”“且、非”.不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題和邏

輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做更合命題.

可以利用真值表判斷復(fù)合命題的真假.

3.命題的四種形式

原命題：若〃則必逆命題：若q則〃.否命題：若則「必逆否命題：若「q,

則「p.注意區(qū)別“命題的否定”與"否命題''這兩個(gè)不同的概念.原命題與逆否命題、逆命題

與古命題是等價(jià)關(guān)系.

4.充要條件

如果pnq,則p叫做q的充分條件,q叫做p的必要條件.

如果p=>q且q=>p,即qOp則p叫做q的充要條件，同時(shí)，q也叫做p的充要條件.

5.全稱量詞與存在量詞

【復(fù)習(xí)要求】

1.理解命題的概念.了解“若〃，則/形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分

析四種命題的相互關(guān)系.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

2.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.

3.理解全稱量詞與存在量詞的意義.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

【例題分析】

例1分別寫出由下列命題構(gòu)成的“pV/”力八形式的復(fù)合命題，并判斷它們的

真假.

(1)/?：0€N,q：l^N；

(2)p：平行四邊形的對(duì)角線相等，q：平行四邊形的對(duì)角線相互平分.

【解析】(l)〃Vq：OEN,或1更N；

pMq：OWN,且1￡N；()￡N.

因?yàn)椤ㄕ?，g假，所以pVg為真，為假，「〃為假.

(2)pV%平行四邊形的對(duì)角線相等或相互平分.

p/\q：平行四邊形的對(duì)角線相等且相互平分.

-./＞：存在平行四邊形對(duì)角線不相等.

因?yàn)椤?，夕真，所以為真，為假，「〃為?

【評(píng)析】判斷復(fù)合命題的真假可以借助真值表.

例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.

⑴若/+〃=(),則"=0；

(2)若ACIB=4,則

【解析】(1)逆命題：若ab=O,則，+〃=o；是假命題.

否命題：若?+護(hù)邦,則小0；是假命題.

逆否命題:若0,則序+從和；是真命題.

(2)逆命題：若從則AfW=A；是真命題.

否命題：若4門8右4,則A不是8的真子集；是真命題.

逆否命題：若A不是B的真子集，則AA8r4.是假命題.

【評(píng)析】原命題與逆否命題互為逆否命題，同真同假；逆命題與逆否命題也是互為逆否

命題.

例3指出下列語句中，〃是“的什么條件，“是〃的什么條件.

(1)/7：(x—2)(x—3)=0；q：x=2；

(2)p：a>2；q：啟0.

【解析】由定義知，若p=>q且q中p，則〃是g的充分不必要條件；

若p*q".,/=〃，則p是q的必要不充分條件；

若〃=^且9=〃，〃與夕互為充要條件.

于是可得(1)中p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件.

(2)中p是q的充分不必要條件；q是〃的必要不充分條件.

【評(píng)析】判斷充分條件和必要條件，首先要搞清楚哪個(gè)是條件哪個(gè)是結(jié)論，剩下的問題

就是判斷p與q之間誰能推出誰了.

例4設(shè)集合M={xIx>2},N={xIx<3},那么TWM或是“工￡仞1V的()

(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件

(O充要條件(D)非充分條件也非必要條件

【答案】B

【解析】條件p：或即為x￡R：條件4：x￡MCW,即為I2VxV3}.

又I2Vx<3},且{x￡RI2VxV3}qR,所以〃是q的必要非充分條件，選

B.

【評(píng)析】當(dāng)條件〃和令以集合的形式表現(xiàn)時(shí)，可用下面的方法判斷充分性與必要性：設(shè)

滿足條件〃的元素構(gòu)成集合A，滿足條件q的元素構(gòu)成集合從若AQ/3且4拿4,則〃是q

的充分非必要條件；若A忘8且則〃是^的必要非充分條件；若A=8,則〃與g互

為充要條件.

例5命題“對(duì)任意的x￡R,x3—f+七0”的否定是，：)

(A)不存在x￡R,丁一儲(chǔ)+1￡0,(B)存在.vGR,小一小+1三0

(C)存在x￡R,丁一f+l>0(D)對(duì)任意的x￡R,%3-x2+l>0

【答案】C

【分析】這是一個(gè)全稱命題，它的否定是一個(gè)特稱命題.其否定為“存在x￡R,/-A2

+l>0.”

答：選c.

【評(píng)析】注意全(特)稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或?qū)⒋嬖诹吭~改為全稱量

詞)，并把結(jié)論否定.

練習(xí)1-2

一、選擇題

1.下列四個(gè)命題中的真命題為()

(A)3xEZ,1<4A<3(B)3x€Z,3A-1=0

(C)VxeR,^-1=0(D)Tx￡R,f+2r+2>()

2.如果“p或夕”與“非"哪是真命題,那么()

(A)g一定是真命題(B)q不一定是真命題

(C)〃不一定是假命題(D)p與q的真假相同

3.已知。為正數(shù)，則為>ZT是”為負(fù)數(shù)”的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

4.“A是B的子集”可以用下列數(shù)學(xué)語言表達(dá):“若對(duì)任意的則稱AqB”.那

么F不是B的子集”可用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為(

(A)若但則稱A不是3的子集

(B)若三工￡從但犬它8,則稱A不是B的子集

(C)若但則稱A不是8的子集

(D)若但則稱A不是6的子集

二、填空題

5.是真命題''是"pVg是假命題的"條件.

6.命題“若xV—1,則ITI>1”的逆否命題為.

7.已知集合4,8是全集U的子集，則“AqB”是“C曲的條件.

8.設(shè)A、8為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：

①4笠30對(duì)任意有x任3②A笠6<=>An8=0

③④A笠80存在x￡A,使得

其中真命題的序號(hào)是.(把符合要求的命題序號(hào)都填上)

三、解答題

9.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題并判斷其真假：

(1)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；

(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除又能被5整除；

(3)3x￡{xIxGZ},log>>0：

10.已知實(shí)數(shù)小b￡R.試寫出命題：“/+從=o,則他=0”的逆命題，否命題，逆否命題,

并判斷四個(gè)命題的真假，說明判斷的理由.

習(xí)題1

一、選擇題

1.命題“若X是正數(shù)，則；1=IXI”的否命題是()

(A)若工是正數(shù)，則/UI(B)若x不是正數(shù)，則x=|x|

(。若x是負(fù)數(shù)，則"1"(D)若x不是正數(shù)，則在1x1

2.若集合"、N、。是全集U的子集，則圖中陰影部分表示的集合是()

(A)(MDN)UP(B)(Mn/v)np

(C)MMU(C"P)(D)(Mn/v)n(Cd)

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

4.己知集合。={1,4,9,16,25,若定義運(yùn)算滿足：“若a￡P(guān),b￡P(guān),則a&b

SP”,則運(yùn)算“&”可以是()

(A)加法(B)減法(。乘法(D)除法

5.已知a,力，c滿足cV8＜。，且acVO,那么下列選項(xiàng)中不二房成立的是()

(A)ab>ac(B)c(/?-?)<0(C)cb2<ab2(D)ac(w-c)<0

二、填空題

6.若全集U={0,I,2,3}且CuA={2},則集合A=.

7.命題但xCAUB”的否定是.

8.已知A={-2,-1,0,1},8={yIy=IxI,%巳4},則B=.

9.已知集合A={xIf—3x+2VO},B={xIx<a},若A里B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

10.設(shè)“，力是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：

①a+b>l；②a+b=2；③。+力>2；

@a2+Z?2>2；⑤

其中能推出Z,b中至少有一個(gè)大于「的條件是.(寫出所有正確條件的序號(hào))

三、解答題

12.若OVoVb且a+b=l.

(1)求〃的取值范圍：

(2)試判斷b與，+房的大小.

13.設(shè)存〃，解關(guān)于X的不等式：4々+〃(1—X巨卬+伙I—X)產(chǎn).

⑴若2WA,則A中至少有多少個(gè)元素;

(2)證明：A中不可能只有一個(gè)元素.

專題01集合與常用邏輯用語參考答案

練習(xí)1-1

一、選擇題

1.B2.B3.A4.C

提示:

4.集合A表示非負(fù)偶數(shù)集，集合8表示能被4整除的自然數(shù)集，所以｛正奇數(shù)｝用（金8,從

而U=4U(Cu8).

二、填空題

5.{xIx<4|6.4個(gè)7.{xI-l<x<2}8.m；2個(gè)。為小或內(nèi)).

三、解答題

9.(4n8)UC={l,2,3,4)

10.分析：畫如圖所示的韋恩圖：得4={0,2,3,5,7},B={2,4,6,8}.

11.答：①?！?；②。之一2；?-2<a<4

提示：畫數(shù)軸分析，注意a可否取到“臨界值”.

練習(xí)1-2

一、選擇題

I.D2.A3.B4.B

二、填空題

5.必要不充分條件6.若Ixlq,則應(yīng)一I7.充要條件8.④

提示：

8.因?yàn)槭霞磳?duì)任意有x￡B.根據(jù)邏輯