專題3.6空間向量與立體幾何（能力提升卷）

考試時間：120分鐘；滿分：150分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，

細分題組，精選一年好題，兩年真題，繪基礎(chǔ)，提能力！

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

I.（2021秋?開封期末）如圖，在四棱錐P-ABC7）中，底面A8CD是平行四邊形，已知命=ZPB=b,

TT1TT

PC=c,PE=^PD,則BE=()

IT3TITITL3T

C.-a+-b+~cD.-a--b+-c

222222

【分析】利用空間向量加法法則直接求解.

【解答】解：在四棱錐P-ABCO中，底面A4CO是平行四邊形,

T—TTT—T1一

???p/l=Q,PB=b,PC=c,PE=$PD,

TT1T

：,BE=BP+

T1TT

=一力(PA+AD)

=-bT+^1PTA+^1BTC

=-b+^a+^(PC-PB)

=-Tb+^[a.+^[PTC-^]PTB

1T3?IT

=5a-b+^c.

乙乙乙

故選：A.

p

2.(2021秋?賀州期末)己知兩個向量％=(2,-1,3),b=(4,m,n),且之IIb,則m+n的值為()

A.1B.2C.4D.8

【分析】ZII］，則存在實數(shù)2使得Z=即可得出.

【解答】解：??Gli，???存在實數(shù)&使得Z=

2=4ki

-1=krrif解得A=a，m=-2,〃=6.

3=kn

則m+n=4.

故選：C.

3.(2021秋?河南期末)已知向量。=(2,1,4),b=(1,0,2),且a+b與小一b互相垂直，則k

的值是()

1315

A.IB.-C.-D.——

5531

［分析】利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出.

【解答】解：a+b=(3,1,6),ka-b=(2k-\,k,42-2),

??G+2與比-5互相垂直，A3(2^-1)+〃+6(44?2)=0,

解得k=.

故選：。.

4.(2022春?桂林期末)已知正力體A3CO-A山則OiA與平面所成的角為()

A.45°B.60°C.90°D.135°

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知NOND即為直線。M與平面4BCO所成的角，從而求出結(jié)果.

【解答】解：依題意，如圖所示，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，DD11平面48C。，

AZD\AD即為直線D\A與平面ABCD所成的角，

又???AO=OOi,ZDiDA=90°,

為等腰直角三角形，

???/。14。=45°,

故選：A.

5.(2022春?長壽區(qū)期末)已知Z=(l,2,1)是直線/的方向向量，v=(2,y,2)為平面a的法向量，

若/_La,則)，的值為()

11

A.-2B.-4C.-D.4

24

【分析】由LLa,得。||六列方程求出y即可.

【解答】解：u=(1,2,1)是直線/的方向向量，v=(2>y,2)為平面a的法向量，

tt2y2

\71a,：.^iIIv,???1=]=；,???)=4?

故選：D.

6.(2021秋?浙江期末)已知益b,乙是空間的一個基底，日+1,a-b,4是空間的另一個基底，

向量j在基底｛工b,中下的坐標為(4,2,3),則向量方在基底0+ra-b,力下的坐標是()

A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)

【分析】設(shè)向量p在基底，｛Q+b,a-b,c｝下的坐標為(x,y,z),貝ijp=4a+2b+3c=.v(a+b)+v<a—b)+zc,

由此能求出向量方在基底(Z+b，a-b,2｝下的坐標.

【解答】解：設(shè)向量在基底，日+1，a-b,力下的坐標為a,y,z),

則p=4a+2b+3c=x(a+b)+y(a—b)+zc，

整理得：4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,

x+y=4

:.x-y=2.解得x=3,y=\,z=3,

z=3

，向量方在基底｛2+b,a-h,5｝下的坐標是(3,1,3).

故選：B.

7.(2022春?武漢期末)如圖為一正方體的平面展開圖，在這人正方體中，有下列四個命題;

p

A.在棱A。上存在點M,使AD_L平面尸MB

B.異面直線AZ）與PB所成的角為90°

C.二面角P-8C-A的大小為45°

D.4力_1_平面％。

【分析】對于A,取AQ的中點利用三角形知識得垂直關(guān)系，再利用線面垂直的判定定理證明AO_L

平面PM6；對于3,利用AO1平面可得僅對于C,先作出并證明所求二面角為NP8W,

再利用直角三角形知識求解；對于。，利用反證諛房，假設(shè)8O_L平面附C,再證明面以＞得

到BO_LA。，與BD與AD夾角為60°矛盾進行說明.

【解答】解：對于A,如圖，取A。的中點M,連接PM,BM,

???側(cè)面PAD為正三角形，.?.PM_LAO,

???底面A3c。是菱形，ND48=60°,.二△A3。是等邊三角形，

YM為A。的中點，J.ADVBM,

又PMCBM=M,故A正確；

對于8,由A知，4Q_L平面PBM,又PBu平面尸BM,?"。1?8,

???異面直線AD與P8所成的角為90°,故B正確；

對于C,??YQJ_平面PBM,BC//AD,

???3C_L平面尸3M,：.BC工PB，BCA.BM,

???平面P8CA平面48co=8C.???/P8M是二面角P-8C-A的平面角,

設(shè)AB=\,則BM=卑，PM=卓，

乙乙

在中，tan4P8M=需=1，，NP8M=45°，

工二面角的大小為45°,故C正確;

對于。，???平面附。_L平面4BCQ,PMA.AD,

，PM_L平面A8CO,又8Ou平面，.\PM1BD,

假設(shè)8D_L平面以C,則有8ZXLAP,又PM、4尸在平面外Z）內(nèi)，且相交于點P,

.??以）_1_平面外。，又A〃u平面心"，BDLAD,

則由題可知8。與A。的夾角為60°,矛盾，故假設(shè)不成立，故。錯誤.

故選：D.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

（多選）9.（2020秋?福田區(qū)校級期末）已知向量Z=（1,1,0）,則與2共線的單位向量"=（）

A.（一乎，-乎，0）B.（0,1,0）

C.（孝，孝，0）D.（1,I,I）

【分析】直接利用向量求出向量的模，進一步求出單位向量.

【解答】解：由于向量Z=（i,I,0）,

所以向=V12+I2+02=V2

根據(jù)單位向量的關(guān)系式3=±巨，

同

可得2=（-孝，一孝，0）或2=（孝，挈，O）.

故選：AC.

（多選）10.（2020秋?天寧區(qū)校級期中）下列條件中，使點P與A,B,C三點一定共面的是（）

-*1->?11■41

A.PC=^PA+^PBB.OP=M+"B+*OC

C.OP=0A+OB+OCD.OP+OA+OB+0C=0

【分析】利用空間向量基本定理，進行驗證，對于A,可得工，PB,立為共面向量，從而可得M、A、

B、C四點共面.

【解答】解：對于A：VOC-OP=4COA-OP）+4（OB-OP）,

：,0C-OP=\oA-if）P

JJJJ

2T1-?T1-?2TTT

：,-0P+-0P-OP=-OA^--OB-OC=0,

3333

故辰=寺&+|6k故A,B,C共線，故P,A,B,C共面；

或由無=晟而得：PA,PB,而為共面向量，故P,A,B,。共面；

對于&-+-+-=1,故凡A,B,C共面；

333

對于3D,顯然不滿足，故3。錯誤；

故選:AB.

（多選）11.（2022春?百色期末）如圖，在棱長為1的正方體48CO-AIBICIQI中，E,尸分別為8小,

。。的中點，則（）

A.直線401與8。的夾角為60°

B.二面角E-4。-B的正切值是1

C.經(jīng)過三點A,E,尸截正方體的截面是等腰梯形

V3

D.點Ci到平面ABiDi的矩離為不

【分析】對于A,根據(jù)題意可得直線ADi與BD的夾角即為結(jié)合題意可計算其大小即可；

對于8,連接AE,根據(jù)題意可得NE4B即為二面角E-4Q-8的平面角，在中，直接計算其

正切值即可；

對于C,在C。上取CH=*CG，根據(jù)基本事實即可得出經(jīng)過三點A,E,尸的平面與正方體的截面；

對于。，設(shè)點。到平面ABIQI的距離為力，由等體積法即可求出.

【解答】解：對于A,如圖1所示，在正方體48。。-4囪。|。|中，

因為四邊形A8。。］為平行四邊形，

所以ADi〃8Ci,

所以直線AD\與BD的夾角即為NCiBZ）.

乂因為BCi=BD=/）Ci,

所以△4G。為等邊三角形,

故NCiBO=60°,故A正確;

對于8,如圖2所示，連接在正方體A4C。-A山中,

因為D4_L平面A43i4,AHz平面A33IAI,

所以DALAE,

又因為BAA.AD,

所以NE43即為二面角￡-4。-3的平面角,

在中，tanZEAB=^1=1,

1

所以一面角￡><￡)?8的正切誼是二,故8正確:

對于C,如圖3所示，在CCi上取一點從使得CH=,CG，

由作法可得：AE\\FH,

所以A,E,H,尸四點共面，

而AFWEH,

所以經(jīng)過三點4,E,尸截正方體的截面是梯形平面AE"「不是等腰梯形，故C錯誤.

對于D,如圖4所示，設(shè)點Ci到平面A8Q的距離為fi,由題意得：VA-B1C1Dl=|SAB1C1D1

?AAX=xx

1=[,=寺SAA83I.?=乎.九二普九.乂因為匕_麻必=k-g￡>J所以理九=

66

取h=￡,故7)正確.

G

故選：ABD.

（多選）12.（2022春?福州期末）在楂長為〃的正方體A4C。-4加。。1中，P為4加上任意一點，￡、

戶為C。上任意兩點，且石尸的長為定值，則下面的四個值中為定值的是（）

A.點到平面PE尸的距離

B.三棱錐產(chǎn)的體積

C.直線D1P與平面EFDi所成的角

D.二面角P-EF-Z）i的大小

【分析】推導出平面尸石尸就是平面AiOCSi,

對于人，由點D\到平面的距離為定值，得到點到平面PEF的距離是定值；

對于從由點到平面PEF的距離，E尸是定值，△「￡：?的面枳是定值，得到三棱錐。I-PEF的體枳

是定值；

對于C,直線。iP不確定，平面E/Di就是平面OCG。，當。與Ai重合時，直線。iP與平面EFDi所

7T一71

成的角為不，當。與/力重合時，直線。1P與平面EFOi所成的角為一；

24

對于。，二面角P-EF-。的就是二面角Ai-OC-Oi,其大小為定值￡

【解答】解：???在棱長為〃的王方體ABC。-AIBICIOI中，P為4用上任意一點，

E、產(chǎn)為8上任意兩點，旦斯的長為定值，

??.平面PE/就是平面AiQCBi,

對于A,???點。I到平面A1OCB1的距離為定值，.??點Qi到平面夕￡尸的距離是定值，故A正確：

B

對于B,???點A到平面PE尸的距離，是定值，48i〃CD,???P到所的距離是定值，

???△PE/的面積是定值，，三棱錐。1-PE尸的體積是定值，故B正確；

對于C,???P為41辦上任意一點，E、尸為C。上任意兩點，

???直線QiP不確定，平面EF乃I就是平面。CCIOI,

當P與4重合時，直線D1P與平面EFD\所成的角為今

77

當P與Bi重合時，直線O1P與平面EFD\所成的角為一，

4

???直線。IP與平面EHh所成的角不是定值，故。錯誤：

對于Q,二面角P?"?E>i的就是二面角其大小為定值?，故。正確.

4

故選：ABD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（2021?松江區(qū)二模）如圖所示，在平行六面體ABCD-MhC\D\中，A\C\nH\D\=F,若

.4F=xAB+yAD+zAA1,則x+y+z=2.

【分析】在平行六面體中把向量就用幾，AD,4%表示，然后利用向量相等，得到工,），，z的值.

7

【解答】解：因為方=AB+BBl+B^F=AB+BBX+

=n+B%]+*血-4后）

TT1T1T

=AB+BB+^AD-^AB

1乙乙

1-1T-

=^AB+^AD+AAlt

又AF=xAB+yAD+zAAr,

所以x=y=5，z=l,

則x\y\z=2.

故答案為：2.

14.(2015秋?晉江市校級期末)已知Z=(l-31-at),b=(3,t,t),則向一次的最小值_V5_.

【分析】先利用向量減法及向量模的公式求得日-&，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值.

［解答］解：區(qū)—&=J(1-"3)2+(1―一)2+?一￡)2

=V3(t+l)2+5,

.,?當--1時，|A陰有最小值

故答案為：V5.

15.(2022春?龍巖期末)在菱形A4CO中，/胡。=60。，將△A3。沿4。折疊，使平面平面8c

則與平面ABC所成角的正弦值為".

【分析】取8。的中點。，連接AO,CO,由題意可知40_L平面8CD,所以AO_LOC,AOLOD,以。

為原點，OC,OD,。4為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)菱形A8CQ的邊長為2,求出相應

點的坐標，進而得到相應向量H勺坐標，結(jié)合線面夾角公式即可求解.

【解答】解：取8。的中點O,連接A。，CO,

人。=60°,???AAB。，XCBD為等邊三角形,

為的中點，：.AO±BD,COA.BD,

又???平面平面3CQ,且平面46。n平面4c0=3。，AOu平面A4。，

平面BCD,

又：。。，OQu平面8C。，

：.AO±OC,AO1OD,

以。為原點，OC,OD,OA為X,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

設(shè)菱形A4CO的邊長為2,則A(0,0,V3),B(0,-1,0),C(V3,0,0),。(0,1,0),

：,AB-(0,-1,-V3),AC-(V3,0,-V3),AD-(0,I,-V3),

設(shè)平面44c的法向量/=(x,y,z),

則pJ.A8=o,^［-y-V3z=0,

-AC=0l信-Wz=0

令x=l,My=—V3?z=l,即九=(1,—V3,1),

設(shè)AD與平面ABC所成的角為

則sin8=|cos<n,AD>\=1=^4^,

\n\\AD\

，人。與平面ABC所成角的正弦值為誓,

故答案為：拶.

16.（2022春?三明期中）如圖，四棱錐尸-ABCZ）中，底面4BCD為平行四邊形，且B4=8D=&，PA=

PD=瓜,AD=2,若二面角尸-4。-B為60°,則AP與平面PBC所成

【分析】取AO中點M,連接用從MP,可證8P,BC,8M兩兩垂直，以3為原點，BC,BM,BP為

坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法可求AP與平面P8C所成角的正弦值.

【解答】解：取A。中點M,連接MB,MP,

?:BA=BD=&,PA=PD=V5,AD=2,

：.AM=\,BMLAD,PMA.AD,

???NPM8為二面角P-4。-8的平面角，???NPM8=60°,

在中，可得BM=V2-1=1,

在RtZ\APM中，可得PM=V^=I=2,

在△P8M中，由余弦定理可得PB=7PM2+BM2-2PM?BMcos乙PMB=V3,

故PM2=BM2+PB2,：.PBLBM,

又PMLAD,PMA8M=M,

???AO_L平面P8M,故AO_LPB,從而尸BJ_8C,

以B為原點，BC,BM,BP為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B(0,0,0),M(0,1,0),A(?1,1,0),P(0,0,百)，

由題意知余二(0,1,0)為平面。4C的一個法向量，又分=(-1,1,一百)，

設(shè)AP與平面P8C所成角為8,

:.sin8=|cos<PA,BM>|=、/二—=g.

71+1+3x15

故AP與平面PBC所成角的正弦值為

故答案為：鳥

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(2021秋?平邑縣校級月考)如圖所示，已知斜三棱柱4BC-A1BCI,點M,N分別在ACi和BC上,

且滿足京BN=kBC,判斷向量嬴是否與向量荒，分1共面.

【分析】利用向量的線性運算即可判斷向最是否與向最荒，共面.

【解答】解：yAN=AB+BN=AB+k(AC-AB)=(1…)AB+kAC.

AM=kACx=kCAA1+AC),

：.MN=AN-AM=(1-jl)AB-kAAt,

???向量MN與向量48,44］共面.

18.（2021?青岡縣校級開學）如圖所示，在平行六面體ABCD-4用CiOi中，設(shè)入京=a,AB=b,AD=c,

W,N,P分別是人小，BC,。。1的中點，試用工1,展表示以下向量：

（1）建

（2）/；N；

（3）MP+NCr.

【分析】（I）（2）根據(jù)向量加法的三角形法則表示即可；

（3）根據(jù)空間向量的線性表示，用后］,6和幾分別表示出詁和N4,求和即可.

—TTT-T1T――1T

【解答】解：（1）因為P是。|。|的中點，所以力P=AAi++D/=a+AO+觸￡=a+c+=

.1-?

1+乃+c：

TTTTT-*1T-?"*1-?fT

（2）因為N是BC的中點，所以&N=AYA-IAB\BN=-aVbA^BC=-aAb\AD=-a\b+

I-

2C'

1T1

-Q+-

(3)因為M是/Ui的中點，所以MP=MA+AP=^AXA+AP=一軸+(Q+Q+c)22

-TT1-IT-?1—

又NC1=NC+CCr=^BC+AAr=^AD+AAr=a+",

3t

TT1TT1~?、-a

所以MP+NC=(-a4--b+c)+(a+5C)2+Kb+不C.

r222

19.(2021秋?明山區(qū)校級期末)已知空間三點人(0,2,3),B(-2,I,6),C(1,-1,5).

(1)求以荒，成為邊的平行四邊形的面積：

(2)若向=次，且Z分別與兄，兄垂直，求向量靛勺坐標.

【分析】(1)由題意可得：n=(-2,-1,3),前=(1,-3,2),cos<AB,AC>=Lsin<AB,AC

>=卓，由此能求出以藍，晶為邊的平行四邊形的面積.

(x2+y2+z2=3

(2)設(shè)之=(x,y,z),由題意得(-2x-y+3z=0,由此能求出向量之的坐標.

【解答】解：(1)由題意可得：幾=(-2,-1,3),成=(1,-3,2),

晶元=-2+3+6=2_=1

cos<AB,AC>=???(4分)

\AB\\AC\gx/H14

"*TC

/.sin<AB,AC>=

???以荒，前為邊的平行四邊形的面積:

S=2x^AB\\AC\sin<AB,北>=14x孚=7亞.?(6分)

(2)設(shè)Q=(工，y,z),

fx2+y2+?2=a

由題意得｛-2%-y+3z=0,

(x-3y4-2z=0

x=1(x=-1

解得y=1,或y=-1,

z=1\z=-1

：.a=(1,1,1),或Z=(-1,-1,-1).…(12分)

20.(2021秋?美蘭區(qū)校級月考)如圖所示，在平行六面體,8。)■校81月。1中,E,2分別在581和OQ1

12

上，且3￡二物41,DF=^DD\.

(1)證明：4、E、。、方四點共面.

(2)若E/7=.xAB+yAD+zAA^,>Rx+y+z.

【分析】（1）由A6〃CiOi,AB=C\D\,BE//D\F,BE=D\F,且平面A4E〃平面Ci。尸，ZABE=Z

C\D\F,知△ABE也△。。|尸，進而AE=C】R同理A尸=。匕故AEC聲為平行四邊形，由此能夠證明

A、E、。、尸四點共面.

（2）結(jié)合圖形和向量的加法利減法運算進行求解..

19

【解答】證明：:平行六面體ABC。-AiBiCQ中，DF=^DD\,

：.AB//C\D\.AB=C\D\.BE//D\F,BE=DiF,且平面人BE〃平面CjQiF,

NABE=NC1D1F,

???△ABEg△CiOi凡…（3分）

***AE=C\F>

同理A/=CiE,

故AE。產(chǎn)為平行四邊形，

?"、E、。、尸四點共面.…（6分）

（2）解：如圖所示：EF=EBX+B^F=EBr+8同+D；F是血+B11+8上一鼻3=冢五-

T-?[T->T[TTTT

AB+AD-司71Al=-AB+AD+五力力i=xAB-\-yAD+zAA

Joif

即x=-1,y=1,z=

?..x+y+z=1

21.（2022春?滁州期末）如圖，在多面體44coEF中，AO_L平面ABC,AD//BE//CF,且人。=I,BE=

5,CF=3,△ABC是邊長為2的正三角形，G是AB的中點.

（1）求證：CG〃平面DEF；

（2）求二面角E?OF?A的余弦值.

【分析】（I）以B為坐標原點，84所在直線為x軸，在平面A8C中，過8作AB的垂線為），軸，BE

所在直線為z軸，建立.空間直角坐標系，利用向量法能證明CG〃平面力EA

（2）求出平面尸的法向量和平面/1D/的法向量，利用向量法能求出二面角E-。p-人的余弦值.

【解答】解：（1）證明：以8為坐標原點，所在直線為x軸，

在平面A3c中，過8作A3的垂線為），軸，BE所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則C(1,V3,0),G(1,0,0),D(2,0,1),E(0,0,5),F(1,痘,3),

CG=(0,-V3,0),DE=(-2,0,4),DF=(-\,V5,2),

設(shè)平面。石產(chǎn)的法向量I二G,)，，z),

則JTT,取x=2,得71=(2,0,1),

(n-DF=-x+V3y+2z=0

VCG-n=0,且CGC平面OEF,.??。6〃平面?！?7；

(2)平面。所的法向量］=(2,0,1),

A(2,0,0),ZM=(0,0,-1),Z)F=(-1,V3,2),

設(shè)平面AOF的法向量6=（a,b,c）,

則==°