1.3空間向量及其運算的坐標表示

【劃重點】

1.了解空間直.角坐標系，能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標.

2.掌握空間兩點間距離公式.

3.會用向量的坐標解決一些簡單的幾何問題.

【知識梳理】

知識點一空間直角坐標系

(1)空間直角坐標系：在空間選定一點0和一個單位正交基底｛?，j，士｝,以。為原點，分別以i,j,k的方

向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：k軸、1y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建

立了一個空間直角坐標系z.

(2)相關(guān)概念：0叫做原點，I,j,k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為

Qry平面、。產(chǎn)平面、OH平面，它們把空間分成八個部分.

知識點二空間一點的坐標

在空間直角坐標系Oxyz中，i,j,A為坐標向量，對空間任意一點人，對應(yīng)一個向量為，且點八的位置由

向量為唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組。，z),使力=xi+)/+zA.在單位正交

基底｛i，J，A｝下與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x,

?n),其中k叫做點人的橫坐標，y叫做點人的縱坐標，z叫做點人的豎坐標.

知識點三空間向量的坐標

在空間直角坐標系。孫z中，給定向量小作a=a由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,

z),使。=xi+.\/+zA.有序?qū)崝?shù)組。，y,z)叫做。在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作。=(%,y,

z).

知識點四空間向量的坐標運算

設(shè)。=31，42，s)，b=(bi，岳，方)，有

向量運算向量表示坐標表示

加法a+ba-\-b=（a\~\~b\?/+岳，的+土）

減法a-ba-b=[a\~b],。2—岳，九）

數(shù)乘

kaAa=（/.a\f〃2，腦3），2￡R

數(shù)量積ahab=ab\+生歷+的心

知識點五空間向量的平行、垂直及模、夾角

設(shè)a=Si，俏，。3)，b=(bi，b”①)，則有

當AWO時，a//b<^a=/.b<^a\=)J)\,。2=勸2，。3=勸3(2￡陽；

aA-b^>ah=O^a\b\+s岳+。3力3=()：

同=y[a^a=[山+上+*；

,ab。必i+s5+。3匕3

CQSS,"=麗=-^====^=====

知識點六空間兩點間的距離公式

設(shè)P[(X],J|,21),。2(%2，”，Z2)是空間中任意兩點,

222

則P\Pl=IP1P2I=^/CV2—XI)+O^->'1)+(Z2—Z1).

【例題詳解】

一,求空間點的坐標

【分析】以A為坐標原點可建立空間直角坐標系，根據(jù)長度關(guān)系可得各點坐標.

B

跟蹤訓練I(I)如圖，四邊形A/兀。和均為邊長為2的正方形，它們所在的平面互相垂直，M,3

產(chǎn)分別為PQ，AB,3c的中點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系并求點A,E,M,F的坐標.

【分析】證明AB，AD,AQ兩兩垂直，建立空間直角坐標系，并求點A,E,/的坐標.

所以AB,AD,AQ兩兩垂直.

以A為原點，AB,AD,AQ所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，

【答案】答案見解析

【分析】取A用的中點E,連接。E,由題意可證。Q,OE,0G兩兩垂直，則以。為坐標原點，OE，OC；，

0D方向為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系0"z,即可寫出各點坐標.

【詳解】解：取AG的中點E,連接0E,

三、空間向量的坐標

跟蹤訓練3如圖，在直三棱柱4BC-4/B/。的底面△ABC中，C4=C8=1,0BCA=90°,棱A4/=2,M,N

_________UUU

分別為A/&,A/A的中點，試建立恰當?shù)淖鴺讼登笙蛄葵?，離,4,8的坐標.

_____.LU.IU

【答案】麗=(1，-1,1),網(wǎng)=(1,-1,2),A,B=(-1,1,-2).

【分析】以點C為原點，分別以CA,CB,CG的方向為x軸，），軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz,

利用空間向量坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】由題意知CGEAC,CC/EBC,A03BC,以點C為原點，分別以C4,CB,的方向為x軸，），軸,

z軸的正方向建立空間直角坐標系Cgz如圖所示.

0),A/(l,0,2),N(l,0,1),

__fuuu

團8V=(1，—1，1)，8A=(1，—1，2),48=(—1,1,-2).

四、空間向量的坐標運算

A.-7B.—6C.-5D.-4

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示計算可得.

故選：B

【答案】D

故選：D.

【分析】直接利用中點坐標公式可得線段48的中點坐標，利用空間向量模的坐標表示可得|A8|的值.

【點睛】本題主要考查中點坐標公式的應(yīng)用以及空間向最模的坐標表示，意在考查靈活應(yīng)用所學知識解答

問題的能力，屬于簡單題.

(i)求向量b?c;

【分析】⑴利用空間向量平行與垂直的坐標表示即可求解；

(ii)利用空間向量的線性運算與夾角余弦的坐標表示即可求解.

【答案】D

故選：D

【答案】%

0

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出X,再利用夾角公式求夾角.

故答案為：二.

(iii)利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于左的方程，解之即可求得攵的值.

五、向量的坐標表示的應(yīng)用

命題角度I空間平行垂直問題

【答案】證明見解析

【詳解】以。為原點，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為1,

則。(0,0,0),4(1,0,0),R(0,0,1),E(1,1,g),F(0,0),

則。尸=(0,y,-1),DA=(1,0,0),AE=(0,1,y),

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法分別證明⑴和(2).

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)直棱柱的幾何性質(zhì)建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

故以A為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

命題角度2夾角、距離問題

(2)求E”的長.

(3)求EF與CG所成角的余弦值；

(2)求出麗的坐標，由模長公式求模長即可求解；

(3)求出前和C&的坐標，利用空間向量夾角公式即可求解.

設(shè)所與GG所成角。，則

跟蹤訓練6如圖，已知直三棱柱A3C-A在底面中，CA=CB=1,138cA=90。,棱AAi=2,

MN分別是A/&,A/A的中點.

____uuu

(2)求cos〈明，CB])的值;

(3)求證：AiB^CiM.

【分析】（1）如圖，以點C作為坐標原點O.CA,CB.CC所在直線分別為x軸，），軸，z軸,建立空間直

角坐標系，利用向量的模長公式計算即可；

,UUU

（2）利用坐標運算計算cos〈網(wǎng)，CB,的值；

【詳解】（1）如圖，以點C作為竺標原點。，CA,CB,CC/所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立空間直

角坐標系.由題意得8（0,1,0）,N（l,0,1）,

(2)由題意得4/(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),5/(0,1,2),

uuu

-1，2),CBX=(0,1,2),

【課堂鞏固】

【答案】c

【分析】點關(guān)于平面的對稱點的坐標橫縱坐標不變，豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù).

故選：C.

A.0B.1C.2D.1

【答案】A

【分析】利用空間向量垂直的坐標運算即可求出結(jié)果.

故選:A.

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向最法計算可得.

故選：B

【答案】B

所以，異面直線所與正所成角的余弦值為史.

9

故選：B.

【分析】利用中點坐標公式求解.

【答案】3

【分析】求出點A坐標即得解.

故答案為：3

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)空間直角坐標系的概念以及坐標表示求解.

所以分別以AS,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

因為抄1回平面ABC。，PB與底面所成的角為45、

⑵求"的坐標.

（2）直接利用空間向量的坐標表示即可得到灰坐標.

【答案】證明見解析

【答案】證明見解析

【分析】如圖以A為原點，分別以而，而為x軸，y軸的正方向，過點4作Aza。。，則上團平面人八九

以Az為z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明即可.

如圖，以4為原點，分別以而，而為x軸，y軸的正方向，過點A作AzaPO,則Az團平面My,以上為

z軸建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,4,2a),

因為點M為棱PC的中點，所以M(l,3,后).

【分析】利用空間向量法求向量的模長得到結(jié)果.

【詳解】如圖，建匕空間直角坐標系。一M2,D為坐標原點,

【課時作業(yè)】

【答案】C

【分析】直接根據(jù)空間點關(guān)于/軸對稱的結(jié)論即可得到答案.

【詳解】根據(jù)空間點關(guān)于文軸對稱，則工軸上坐標不變，y，z軸上坐標取相反數(shù),

故選：c.

A.1B.2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算公式建立方程求解即可.

故選：D.

A.5B.-5C.7D.-1

【答案】B

【分析】直接利用向量的關(guān)系式求出五，B的坐標，再根據(jù)向量數(shù)量積運算公式求解即可.

故選：B

【答案】B

【分析】取8。中點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求線線角即可.

如圖，取8。中點為坐標原點，建立空間直角坐標系,

TYC.<D.奈

【答案】B

【分析】利用圓的對稱性作出異面直線AE與8。所成的角或其補角，通過解三角形求得結(jié)果，也可建立空

間直角坐標系，利用向量的夾角公式求得結(jié)果.

E

故選：B

【答案】ABD

【分析】根據(jù)空間向量線性坐標運算、數(shù)量積的坐標運算以及垂直的坐標表示即可求解.

故選：ABD

【答案】G

【分析】根據(jù)空間中兩點間距離公式即可求解?.

故答案為：陋.

【點睛