廣東省湛江市第二H^一中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)

考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.命題：“*e(O,+8)，、-2>0”的否定是()

A.Vx€(0,4-00)?X-2W0B.3xe(C,-Ko),x-2^0

C.Vxe(0,4-co)?x-2<0D.VXG(-oo,0)>x-2C0

2.已知復(fù)數(shù)Z=(l+i)(2-i)，則Z的虛部為()

A.1B.iC.2D.2i

3.已知集合力={_4,0』,2,8},8=卜|尸=*,則4。8=()

A?{0,1,2}B-{1,2,8}

C{2,8}D.{01}

4.鐵棍的長(zhǎng)度隨環(huán)境溫度的改變而變化，某試驗(yàn)室從9時(shí)到16時(shí)每隔一個(gè)小時(shí)測(cè)得同一

根鐵棍的長(zhǎng)度依次為3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62,3.64（單位：cm）,則下

列說(shuō)法不正確的是（）

A.鐵棍的長(zhǎng)度的極差為004cmB-鐵棍的長(zhǎng)度的眾數(shù)為3.62cm

C.鐵棍的長(zhǎng)度的中位數(shù)為qmD.鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為劣6之加

5.設(shè)Q,尸是兩個(gè)平面，加，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若alQ,m\\a,川夕，則/〃_L/B.若〃iua，lup,m//b則a//p

C.若a“p，mua，/u夕，則機(jī)/〃D.若〃?1a，/||6,則mJ■/

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

6.已知V48C，點(diǎn)。為邊8C上一點(diǎn)，且滿足麗=2萬(wàn)，則向量亞=（）

1—?—

A.+B.-AB^-AC

3333

2—I—2―.2__

C.-AB+-ACD.-AB-^-AC

3333

7.已知"+丁=4,且'>0,則LL的最小值是（）

xy

B.aC,2D.2《

8.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為石，則圓錐的體積為

()

A-26兀B.3舄C.66兀D.9扃

二、多選題

9.已知）=（I,2）Z=（2,4）則（）

A?J+=（3,6）B-albC-b=2aD-。石=10

10.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+^），則下列結(jié)論中正確的有（）

A.函數(shù)/（"）在區(qū)間上單調(diào)遞增

26

B.直線是函數(shù)/（“）的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)卜1,0）中心對(duì)稱

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

D.若函數(shù)》=/"+'）的圖像關(guān)于'軸對(duì)稱，則正數(shù)°的最小值為三

6

H.如圖，正方體/出—的梭長(zhǎng)為1,P是線段8G上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確

A.三棱錐4/1PO的體枳為定值

B.40〃平面力C"

C.4P+4P的最小值為2啦

D.當(dāng)4,c,%尸四點(diǎn)共面時(shí)，四面體與04G的外接球的體積為立兀

2

三、填空題

12.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足Zz-1=I4I-+1L則7：=_.

1

13.設(shè)是隨機(jī)事件，且P（4）=1,P（4）=（,P（4U?；，則尸Sc耳）=_

14.設(shè)正方形力4。。的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P在以44為直徑的益匕如圖，則定.歷的取

值范圍是一.

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

⑴證明：E/〃平面218；

(2)證明：8。工平面4C；

(3)證明：平面尸BQJ_平面產(chǎn)4c.

18.DccpScck是由中國(guó)杭州的DccpSeck公司開(kāi)發(fā)的人工智能模型，在金融、醫(yī)療健康、

智能制造、教育等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景.為提高DccpScck的應(yīng)用能力，某公司組

織人〃兩部門的員工參加DeepSeek培訓(xùn).

(1)已知該公司力、4部門分別有3名領(lǐng)導(dǎo)，此次DccpScck培訓(xùn)需要從這6名部門領(lǐng)導(dǎo)中隨

機(jī)選取2人負(fù)責(zé)，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求全部來(lái)自/部門領(lǐng)導(dǎo)的概率；

(2)此次DeepSeek培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分

791

別為每輪培訓(xùn)結(jié)果相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的員工才能合格，求

每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率.

19.如圖，在四棱錐產(chǎn)一8s中，21_L平面力底面力8?！?為梯形，8C〃4r平

而P月81'卜面尸且=PA=AD=4-

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

(1)若平面尸8C與平面P/1D相交于直線/，求證:BC/H'

(2)求/與/C所成的角；

(3)求二面角c_p￡)_力的余弦值.

試卷第61頁(yè)，共33頁(yè)

《廣東省湛江市第二一卜一中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)3家試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案AAD0I)BABACDBCD

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定直接判斷得解.

【詳解】命題：“mtw(0,+oo)，x_2>0”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，

所以所求的否定是：VXG(O,+X)?x-2<0.

故選：A

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)Z，即得其虛部.

【詳解】Z=(l+i)(2-i)=2-i+2i+l=3+i?

則Z的虛部為1.

故選：A

3.D

【分析】求出集合夕后結(jié)合交集的定義可求夕

DZlI1

【洋解】5=|x3=x}={0,-1,1),故力04={0,1}，

故選：D.

4.D

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，利用極差、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)的概念求解，分別判

斷各選項(xiàng)正誤.

【詳解】鐵棍的長(zhǎng)度從小到大排列依次為

3.61,3.62,3.62,362,3.63,3.63,3.64,3.65(單位:cm),

對(duì)于A：極差為353.61=0.04,故人正確；

對(duì)于B：眾數(shù)為3.62,故B正確：

答案第II頁(yè)，共22頁(yè)

對(duì)于C：中位數(shù)為362+3.63=3.625,故C正確;

2

對(duì)于D：因?yàn)?X80%=64所以鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為從小到大排列的第7個(gè)數(shù),

是3.64,所以D不正確.

故選：D.

5.D

【分析】逐項(xiàng)舉反例判斷選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤，證明選項(xiàng)D正確.

【詳解】對(duì)于A,如圖Q_L人加但直線也/平行，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,如圖〃?ua,/u/V〃加，但是平面不平行，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：若a11B，mua,iu。,則加/〃或mJ異面,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由a//,〃?_LQ,可得〃又/||P，所以/_L〃”D正確;

故選：D.

6.B

【分析】利用向量的加法和減法運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】AD=AC+CD=AC+-

3

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

OOIo

另解：=j5+5D=Z?+-5C=Z5+y(Jc-Z8)=-Zs+-jc.

故選：B

7.A

【分析】利用代換I法，結(jié)合基本不等式即可求最小值.

【詳解】由"+丁=4,可得_L+_L=_LpL+_L］(x+y)=」2+2+土］，

又因?yàn)楸薄?所以\上」(2+上+土卜［2+2口］=1，

Xy4(xy)4(Vy)

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào)，

故選：A.

8.B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為〃，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑7.的方程，求出解

后可求圓錐的體枳.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為〃，則圓錐的母線長(zhǎng)為/75，

而它們的側(cè)面積相等'所以2立電「=「xE即2行=衍，

故〃=3,故圓錐的體積為』axC獷.

3

故選：B.

9.ACD

【分析】應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)橹?(1,2),5=(2,4)，

所以彳+5=(3,6)，A選項(xiàng)正確；

，?6=2x2+4x10=，所以不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)正確：

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

5=（2,4）=21,C選項(xiàng)正確；

故選：ACD.

10.BCD

【分析】對(duì)于A,由x』一少」求出2x+=的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可,

L26」6

對(duì)于BC,代入驗(yàn)證即可，對(duì)于D,由題意可得y=/q+e）為偶函數(shù)，則

24,+—2—+kke,從而可求出結(jié)果.

62

【詳解】對(duì)于A,Ftxe-片一，得比e--3涔

L26jL362

因?yàn)?'=sinx在L泡」上不單調(diào)，所以/a）在—

上不單調(diào)，所以A錯(cuò)誤;

6226

對(duì)于B,因?yàn)?（-需品卜7+%）=而,5卜-1，所以直線片-]是函數(shù)/（、）的一條

對(duì)稱軸，所以B正確;

對(duì)于C,因?yàn)?卜爸吧.[-7+不卜.⑺?，所以函數(shù)八"）的圖象關(guān)于點(diǎn)

號(hào),0）中心對(duì)稱，所以C正確;

.八、7t7l

對(duì)于D,因?yàn)?"）=sin2x+—?所以y=f(x+0)=sin2(x+6)+qsinI2x+2^+-I?

6)

因?yàn)閥=/（x+0）的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以y=/（x+0）為偶函數(shù)，

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

所以2。,+四女一+〃ke，得"RjkwZ,

6262

所以正數(shù)'的最小值為5,所以D正確.

6

故選：BCD

11.ABD

【分析】選項(xiàng)，求出⑺為定值，且到平面力?！ǖ木嚯x為從而由等體積得到

AsA,-1/1|DP41,

錐體體積為定值；B選項(xiàng)，證明出面面平行，得到線面平行：

C選項(xiàng)，將兩平面展開(kāi)到同一平面，連接力4,交8G于點(diǎn)P，此時(shí)4P+4P最小，最小值

即為力用的長(zhǎng)，由勾股定理得到最小值；

D選項(xiàng)，點(diǎn)戶在點(diǎn)8處，4,C,口，。四點(diǎn)共面，四面體與尸4G的外接球即正方體的外

接球，求出正方體的外接球半徑，得到外接球體積.

【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?G/〃O1,8G不在平面4OR4內(nèi)，4)1U平面力。僅4，

所以平面力OQ4，又PwBC/

所以點(diǎn)。到平面ADD.4的距離為1，

又為定值，

故〃.■=%”>=定值，A正確;

對(duì)于B,因?yàn)?DJ/8G，力"U平面ARC，8G(Z平面力。。，所以8G〃平面

同理可知4G〃平面AD.C，

又BCqAG=q，8C”4Gu平面4G8，

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

所以平面4G8〃平面力eq，

由于4/u平面4G8，故4尸〃平面力c。，B正確?

對(duì)于C,展開(kāi)兩線段所在的平面，得矩形48GA及等腰直角三角形8由5,

連接4片，交8G于點(diǎn)夕，此時(shí)/P+8/最小，最小值即為力優(yōu)的長(zhǎng)，

過(guò)點(diǎn)用作qN，48，交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

其中AB=1,A[=BC]=e,BN=BN=W，

故⑷v=i+*,又勾股定埋得力用=而西灰7=&1+與=71772,C正確;

對(duì)于D,點(diǎn)夕在點(diǎn)8處，％,C,n，尸四點(diǎn)共面,

四面體8/4G的外接球即正方體的外接球，

故外接球的半徑為Jr十F十F_6,所以該球的體積為，兀/=在，D正確.

2232

故選：ABD

【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問(wèn)題，常常進(jìn)廳補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球

或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對(duì)棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來(lái)進(jìn)行

求解.

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

12.

2-i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算求解.

【詳解】由z—i=l+i可得z=l+2「

所以三=上二=（1+”=H旦1+2=21

ii「-I

故答案為：,j

Z—1

13.1/0.125

8

【分析】求出〃（耳=；,從而根據(jù)事件的運(yùn)算關(guān)系求出概率.

【詳解】因?yàn)镻（4）=（,所以P⑻=1-P（8）=；,

3I

故p（4n與）=尸（力）+尸（國(guó)一尸（力u耳）=-+——

842-8

故答案為：:

O

14.[0,16]

【分析】取CO的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，根據(jù)極化恒等式

22

___(PC+PD)-(PC-PD)=1國(guó)2-4求解即可.

【詳解】取co的中點(diǎn)E，連結(jié)尸亡

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

在△血內(nèi)使用極化恒等式得方瓜（g時(shí)一同一可

4

222

=團(tuán)a-|Z5|2=|PE|-||CD|=|PE|-4

易知阿同2,2向，故立麗40,16].

故答案為：[0,16]

15.⑴8=]

⑵0=友

3

【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解；

（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到g]。=述，再使月正弦定理求解即可.

10

【詳解】（1）/一方變形為：一/=QC，

所以cosB=/+c、8=L因?yàn)棰?，所?=四：

2ac23

（2）因?yàn)閏oSC=奈,且C"）,所以sinC=V^嬴亳=雪

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

b_c5_c_7A/6

由正弦定理得：sin8-sinC,即sg四一7&，解得：C=~'

3IF

16.⑴0.015；

(2)300

(3)37.5

【分析】(1)由概率之和為1即可求解；

(2)由年齡在［35,65］內(nèi)的頻率即可計(jì)算求解；

(3)由頻率分布直方圖的平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)由題可得10x(0.01+0.03+0.04+m+0.005)=ln〃［=0.015?

(2)這500名中國(guó)AI大模型用戶的年齡在［35,65］內(nèi)的人數(shù)為

500xl0x(0.04+0.015+0.005)=300人：

(3)估計(jì)這500名中國(guó)AI大模型用戶年齡的平均數(shù)為

10x(0.01x20+0.03x30+0.04x40+0.015x50+0.005x60)=37.5.

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)連接BO,用三角形中位線證明E///P8,再根據(jù)線面平行判定定理即瓦證

明；

(2)證明/CH80即可根據(jù)線面垂直判定定理證明；

(3)結(jié)合(2)中結(jié)論和面面垂直判定定理即可證明.

【詳解】(1)如圖，連BD，

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

???四邊形488是菱形，

'力。和8?；ハ嗥椒?，

???產(chǎn)是4c中點(diǎn)，

'Z7也是8。中點(diǎn)，

又,：PE=DE'

***EF//PBf

■:PBu平面PAByEF仁平面PAB，

?,*EF//平面PAB'

(2)JL平面48CZT即匚平面/^。。，1**PAtBD'

???四邊形48co是菱形一.?ZC_￡8”

又尸c/C=4，/IP"Cu、F面產(chǎn)4C，

***40/平面4C；

(3)由(2)知80工平面;MC，

***BDu平面PBD'故平面PBD1平面PAC,

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

18.⑴L;

5

【分析】(1)利用組合i--數(shù)問(wèn)題求出基本事件數(shù)，再利用古典概率列式求解.

(2)記。=”每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格”，4="每位員工第i輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀”(

，=1,2,3)，由此可得關(guān)系C=結(jié)合概率公式即可求解?

【詳解】(1)記A部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為q9嗎，8部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為々也也，

從6名部門領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選訂又2人負(fù)責(zé)，不同結(jié)果有：

a}a2,a{ay,,ap2,,a2bx,a2b2,a2b3,a3bt,a3b2,a3b39bfi2,bf)3,bjb3，共15種,

選取2人全部來(lái)自力部門領(lǐng)導(dǎo)的事件，不同結(jié)果有：q%,q%,%小，共3種，

所以全部來(lái)自力部門領(lǐng)導(dǎo)的概率為白=(.

(2)記。="每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格”，4="每位員工第，輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀”(

/=1,2,3)，

則p(4)=0(4)=2,P(4)=Lc=44/I3U444U444U444,

依題意,=p(44%)+4)+尸(4無(wú)4)+2(44%)

p?P(AXA2

=?(4)P(4)尸(4)+P(7)P(4)尸(4)+尸(4)尸(4)尸(4)+尸(4)尸(4)P(Z)

2211212112212

=-X—X--1--X—X---1--X—X---1--X—X—=—,

3323323323323

答案第111頁(yè)，共22頁(yè)

所以每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率為|.

19.（1）證明見(jiàn)解析

吒

⑶立

3

【分析】（1）證明出sc//平面40,再利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）證明出8cl可得出V/14C的形狀，由異面直線所成角的定義可知/與力c所成

的角為/力C3或其補(bǔ)角，即可得解；

（3）取力。的中點(diǎn)°，連接co,過(guò)0作0E1PQ于E，連接CE，根據(jù)線面垂直的判定

和性質(zhì)定理及二面角的定義有NOEC是二面角C_PO_.4的平面角，進(jìn)而求其余弦值