第02講函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性、最值

目錄

01模擬真題練............2

題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷.....................................................................2

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷...................................................................3

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性.......................................................................4

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值...............................................................6

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍.............................................................8

題型六；利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小........................................................9

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明..............................................................11

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)................................................................13

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值.......................................................14

題型十：奇函數(shù)的中值模型......................................................................16

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式...................................................18

題型十二：函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用....................................................................20

題型十三；函數(shù)周期性的應(yīng)用....................................................................22

題型十四：對(duì)稱(chēng)性與周期性的綜合應(yīng)用...........................................................24

題型十五：類(lèi)周期與倍增函數(shù)....................................................................28

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性..........................................30

02重難創(chuàng)新練............32

03真題實(shí)戰(zhàn)練............41

題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷

1.下列函數(shù)在（口⑼上單調(diào)遞減的是（）

A.y=——B.y=x2C.>-=x3D.尸x

x

【答案】B

【解析】對(duì)于A,函數(shù)丁=-：在區(qū)間（-8,0）上是增函數(shù)，故A不正確；

對(duì)FB,函數(shù)y=/在區(qū)間（口⑼上是減函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C,函數(shù)y=V在,0）上是增函數(shù)，故C不正確；

對(duì)于D,函數(shù)x在（e,0）上是增函數(shù)，故D不正確.

故選：B.

2.（2024.高三.黑龍江齊齊哈爾.期末）設(shè)函數(shù)〃*二小|—2x,則/（x）（）

A.是偶函數(shù)，且在（L+8）上單調(diào)遞增B,是奇函數(shù)，且在（T/）上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在（y,-l）上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在（-力,-1）上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（1）=不國(guó)一21?的定義域?yàn)镽,且/（一力=一小|+2.t=一3乂-2刈=一/"）,

所以/（“是奇函數(shù)，又/3=中|-2'=|“『了之0,作出函數(shù)?。﹫D象如下圖：

一X—2x

由圖知，函數(shù)/（X）在和（1,+8）上單調(diào)遞增，在（T1）上單調(diào)遞減.

故選:B

3.（2024?高三?上海靜安?期中）已知函數(shù)/（%）=m-藍(lán)（“>0）,且/（0）=0.

⑴求〃的值，并指出函數(shù)/(X)的奇偶性；

(2)在(1)的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/(X)在(-8,y)上是增函數(shù).

【解析】(1)因?yàn)?(0)=，-a=。，又。>0,所以〃=1,

a

所以/(x)=2'-3，xe(YO,x),

此時(shí)/(-%)q-2工=-〃幻，所以/⑺為奇函數(shù)；

(2)任取為<電，貝1」/(菁)一/(%)=2$一1-20+上

212-

2"-2M11

=(2%—2*)+=(2*-2^)(1+白)=2“(1+-^-)(1-2*門(mén)，),

因?yàn)槲鳌碬,所以24F>1,所以1-2&F<0,2*(+J")>0

2一2

所以/(內(nèi))-/(x2)<0即/(.v,)<f(x2),

所以函數(shù)人回在(-8.+OO)上是增函數(shù).

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

4.函數(shù)/(另=1。82(—1+41+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-a)52)B.(2,+勾C.(2,5)D.(-1,2)

【答案】D

【解析】由題意〃力=1叫(*+4*+5)=1嗚卜—2)，9],令卜(；2)2+9>0

解得T<x<2,即函數(shù)〃])=1%(3+以+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,2).

故選:D.

z?、J』-2廠3

5.函數(shù)/(x)=(gj的單調(diào)增區(qū)間為()

A.B.(一利

C.[1,-Ko)D.[3,+co)

【答案】A

/[\vx2-2.r-5

【解析】因?yàn)?，則/一2.320,解得XK-I或心3,

所以/(力的定義域?yàn)?f—l]U[3,y).

不妨設(shè)大〈石，則內(nèi)72<0，則/(%)—/(毛)>0，即/(%)>/(9)，

a-2<0

13

則函數(shù)/(x)在R上為減函數(shù)，則..解得，

2(〃-2)<O

因此，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是58,9

故選：D.

x2-2ax+-,x<l(

8.已知函數(shù)/(小2一2滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有空”<。成立，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍是()

A.(1,2)B.[1,2)C.(h|jD.1,|

【答案】D

【解析】依題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)司工毛，都有以止3<。成立,

%一七

不妨設(shè)X<42，則〃％)-/(王)〉。，/(演)>/(9)，

所以/(“在R上單調(diào)遞減,

所以付〃>0,解得行捺3

故選：D

x3-ar2+a,K?O

9.已知函數(shù)/*)=*2孫v>()，若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

2，A

-a~\「［1r3-1

A.彳,2B.0,—C.0?-D.［0,2］

.2L，」.2_

【答案】B

【解析】依題意，函數(shù))，=235—g是增函數(shù)，則2-a>0,即"2；

由)，=/一"2+”，求導(dǎo)得y=3V-2ar,函數(shù)y=V-十〃在(一雙。］上單調(diào)遞增，

3

于是獷-26a20在xw(-oo,0］上恒成立，因此心5K在xe(-oo,0］上恒成立，即心0；

又函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則aKg,從而所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［0,；］.

故選：B

10.(2024?高三?內(nèi)蒙古赤峰?開(kāi)學(xué)考試)已知〃>0,且"1,函數(shù)/(司=1/八,、。在R上單調(diào),

則c的取值范圍是()

A.(IM)B,C.D.《/J

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)“X)在R上單調(diào)，

由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，

故y=/(H在R上單調(diào)遞減，

0<4<1

所以L八111，

3a-2>log”1-1

解得：

故選:D.

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

11.(2024?上海松江?二模)已知0vav2,函數(shù))』八"一2，"：4。+1,x<2若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)

數(shù)G的取值范圍是.

【答案】｛。|0<嗎或。=1)

【解析】由題意，令g(x)=(a-2)x+4o+l,xe(-a),2］,h(x)=2ax~l,XG(2,-KC),

當(dāng)時(shí)，g(x)在(F,2］上單調(diào)遞減，力(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞減，則在(2,+8)上的值域?yàn)?0,2a),

因?yàn)?(x)存在最小值，故需雇2)=3-2)'2+44+140,解得

結(jié)合0<4<1,此時(shí)()<4(g;

當(dāng)ka<2時(shí)，g(x)在(F,2］上單調(diào)遞減，h(x)在(2,-KO)上單調(diào)遞增,則〃(處在(2,-KO)上的值域?yàn)?2〃,+8),

因?yàn)榱刷舜嬖谧钚≈?，故需g(2)W2%即(a—2)x2+4a+142a,解得〃吟，

這與1<。<2矛盾：

當(dāng)”=1時(shí),g*)=r+5在(70.2］卜單調(diào)遞減，口在(-co,2］卜的值域?yàn)椋?,+8),h(x)=2,此時(shí)存在最小

值2；

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為或。=1}.

故答案為：{alOvawg或。=1}.

—1Y/〃

12.(2024?高三?北京東城?期末)設(shè)函數(shù)/(")=12-’

X+4,X24

①若。=一2,貝I"(x)的最小值為.

②若/(“有最小值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】一2a^-\

?x-1r<-2

【解析】①當(dāng)4=一2時(shí)，/(x)=)2、r，

x-2,x>-2

則當(dāng)xv-2時(shí)，“力=2'-1《一1,一￡|,

當(dāng)工之一2時(shí)、/(X)=X2-2>-2,

故”司的最小值為-2：

②由〃x)=2：-1"<。，貝|］當(dāng)工<。時(shí)，/(x)=2'-le(-l,2fl-l),

x~+a,x>a

由/(“有最小值，故當(dāng)工之〃時(shí)，/(燈的最小值小于等于-1，

則當(dāng)且X*時(shí)，有“X)1nto=4?-1,符合要求：

當(dāng)”>-1時(shí)，y=x2+a>a>-\,故不符合要求，故舍去.

綜上所述，a<-\.

故答案為：—2;a<1—\.

13.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/1)=2*小+3,則/⑺的最大值是

【答案】16

【解析】由/(X)=2.+2M3,而”T2+2X+3=—(X—1)2+4W4,

因?yàn)閥=T單調(diào)遞增，所以>，=2Y21則/⑺的最大值是16.

故答案為：16

14.函數(shù)),=W①的最大值為_(kāi)__.

丁+5

【答案】j2/0.4

22

_y/x+4_7X+4]

【解析】因?yàn)椤畑2+5x2+4+1

令/=&+4,則，之2,

令g(x)=x+Lxe[2,+a>),因?yàn)楹瘮?shù)8")=工+’在[2,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)w1,+<x

A-XZ

即G十六嗚…｝則04+招=”

，六+4

即函數(shù)）,=0三a的最大值為1?，當(dāng)且僅當(dāng)工=0時(shí)取等號(hào).

X2+55

故答案為：!2

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

15.（2024?廣東揭陽(yáng)?二模）己知函數(shù)〃力=-/+以+i在僅6）上不單調(diào)，則。的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（YC,2]U[6,R）

C.（4,12）D.（YO,4]U[12,M）

【答案】C

【解析】函數(shù)/（力=一/+如+1的圖象對(duì)稱(chēng)軸為％=依題意，24<6,得4vavl2,

所以。的取值范圍為（4,12）.

故選：C

16.（2024.山東?二模）已知函數(shù)-〃a+1在區(qū)間卜1,討）上單調(diào)遞增，則/⑴的取值范圍是（）.

A.[7,-KO）B.（7,-KO）

C.（-co,7]D.（-co,7）

【答案】A

【解析】由函數(shù)/"）=2/-如+1的對(duì)稱(chēng)軸是x=￡,

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間卜1,內(nèi)）上是增函數(shù)，所以解得〃?《-4,

又因?yàn)?。）=3-機(jī)，因此3-〃止7,所以/（I）的取值范圍是[7.拉）.

故選：A.

17.(2024?陜西榆林?一模)已知函數(shù)/(1)=*-e'在[0,+8)上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是()

A.[0,+a?)B.(l,+oo)C.(e,+co)D.[2e,+a>)

【答案】B

【解析】當(dāng)“W0時(shí)，函數(shù)在口”)上單調(diào)遞減，不符合題意，所以〃>0,

由題可知(x)=-e*10恒成立,即aeM1[令g(力=mF?0,+8),

貝l]/(x)=(x+l)e、>0.所以g(.r)在[0,+。)上單調(diào)遞搟?由aetLX>eT?

可得&4“2猶’，即g(以)2g(x),所以orNx之0,所以〃之1,

當(dāng)〃=1時(shí)，/(X)=O,不符合題意，故。的取值范圍是(1,+?)).

故選：B

18.設(shè)函數(shù)/(幻蟲(chóng)與?、试趨^(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-<o,-2]B.(-2,0]C.(0,2]D.[2,間

【答案】A

【解析】函數(shù)〃=Mx+〃)在(-叫-9上單調(diào)遞減，在[-*+8)上單調(diào)遞增，

函數(shù))，=(；)"在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)/(幻的遞增區(qū)間是(一，-曰，遞減區(qū)間是-*+8)，

依題意,(0/)u(f,-T，解得。匕一2,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(8,2].

故選：A

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小

19.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(2-幻，且當(dāng)xe[l,+oo)時(shí)，f(x)=e，+e，若

3

a=f2,/?=/(iog43),c=/fsin^,則()

I)I51

A.c>a>bB.c>b>aC.a>h>cD.b>a>c

【答案】A

【解析】因?yàn)?(X)=/(2T),所以/(x)的圖象關(guān)于戶(hù)1成軸對(duì)稱(chēng)，

注意到當(dāng)五￡乩+8)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得/*)=e，+eT=eX+=在x[l,+8)上為增函數(shù),

e

故f(x)=e*+4在xe(YC,1］上為增函數(shù)，

e

所以距離％=1越遠(yuǎn)值越大，

77r-

因?yàn)?l<sin1<0,l<23<2,0<log43<l,

距離x=l最遠(yuǎn)的為sin4,故C最大，

而b=/(Iog43)=/(2-log43)=/(log4yl,

1

fil<log4y<log48=|=3^<^/4=2,

(2\

3

所以a=/2>^=/(log43),

\/

綜上所述，c>a>b.

故選：A.

20.(2024.北京西城?一模)^a=t--,b=t+-=t(2+t),其中一1々<0,則()

ttlC

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【解析】由一l</<0,故］￡(一8,-1),故〃=，一！>0,

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得b=/+：<-(1+1)=-2,

c=r(2+r)<0,jlc=z(2+r)=/:+2r=(r+l)2-l>-l,

綜上所述，有〃vcva.

故選：C.

21.已知偶函數(shù)”X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,且a=】ogs2,iIn3,c=2心貝IJ/(〃)，,/(c)的大小

關(guān)系為()

A./(c)>f(a)>f(b)B.f(b)>/(c)>f(a)

C./(?)>f(b)>f(c)D./(c)>/(/?)>f(a)

【答案】B

【解析】因?yàn)椤?lt;log§2vlog：6二；,所以O(shè)vavj；

-Z?=ln3>L

因?yàn)?7<2心<2°，所以g<c<l；故

偶函數(shù)在［0,+8)上單調(diào)遞增,故/(-份>/(c)>/(〃)，即f(數(shù)>f(C)>f3)

故選：B.

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

22.設(shè)函數(shù)/(外送(工)的定義域?yàn)镽,且46是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)g(x)|是奇函數(shù)

C.|〃x)|g(x)是偶函數(shù)D./(|x|)g(x)是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】令￡(%)=/(x)g(x)，??.K(T)=/(r)g(T)=-/(，)g(x)=-6(x)，

???F"x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

令E(尤)=|/Wg⑸，?二E(人)=|/(r)g(r)|=|-/WgW|=|ZWg⑸=4(%)，

???&(力為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤;

令馬(x)=|/(-v)|g(x)，??巴(r)=|f(T)|g(r)=|/(x)|S3=R(x),

???&(力為偶函數(shù),故C正確;

令E(x)=/(W)g(x)，???E(r)=/(T)g(r)=/(N)g(x)=E(x),

???巴(”為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選:C

23.(2024?重慶?三模)設(shè)函數(shù)/口)=當(dāng)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

4I4

A./(x-2)+lB./(工-2)+2

C.〃x+2)+2D.-2)+1

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?=(^=一(；+?+4--1+號(hào)定義域?yàn)椤傲x?2},

則"-47)+“x)=-l+」q-l+二^=-2(.一2),所以函數(shù)“X)的對(duì)稱(chēng)中心為(-2,-1),

所以將函數(shù)向右平移2個(gè)單億向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-2)+1,

該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),故函數(shù)y=/(x-2)+1為奇函數(shù).

故選:A.

24.(2024?高三?江西?期中)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且“X)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則

()

A.y=/(x)?g(x)是偶函數(shù)

B.y=|/(x)|?g(x)是偶函數(shù)

C.y=/(|X"(x)是奇函數(shù)

D.y=(x)g(x)|是奇函數(shù)

【答案】B

【解析】對(duì)A,y=/(-x)-g(-x)=-/(x)g(x),故y=/(x>g(x)是奇函數(shù),故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,y=|f(r)|,g(r)=kf(%+g(x)=|/(x)|?g(x),故y=|/(X)|?g(x)是偶函數(shù),故B正確;

對(duì)C,y=/(|T)g(一%)=((國(guó))g(%),故y=/(W)?g(x)是假函數(shù),故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,y=|/(-^)?g(-x)|=|-/(^I?g(x)|=|/(x)?g(x)|,故y=|f(x)?g(x)|是偶函數(shù),故D錯(cuò)混.

故選：B

25.(多選題)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x)=xyB.〃x)=dC./(.r)=x+-D./(x)=!

XX

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A中，函數(shù)〃力二丁的定義域?yàn)镽,且〃T)=-f=一/⑴，

所以/(“為R的奇函數(shù)，符合題意；

對(duì)于B中，函數(shù)=f的定義域?yàn)镽,且/(—)=一丁二一/3，

所以〃力為R的奇函數(shù)，符合題意;

對(duì)于C中，函數(shù)/(x)=.r+：的定義域?yàn)?YO,0)U(0,”)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

且f(r)=-(x+3=-/(x),所以/")為定義域上的奇函數(shù)，符合題意；

X

對(duì)干D中，函數(shù)〃x)=-V的定義域?yàn)?F,O)U(0，”)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

X

且f(r)=&L±二/(”)，所以/(x)為定義域上的偶函數(shù)，不符合題意?

故選：ABC.

26.判斷卜.列函數(shù)的奇偶性：

(l)/(x)=lg^；

人I1

⑵/'(4)=愴(4^+”.

【解析】(1)由題意知，(工+1加一1)>0,%>1或XV—1,

所以定義域?yàn)?-「1)U(1,E),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

/./\.—X—I.X+]

/(7=愴不=愴二1'

所以/(-x)+/(x)=lg券+電言=愴(￡(|(色卜@=0,

所以〃-戈)=-〃的，所以〃x)為奇函數(shù).

(2)由題意知/(X)的定義域?yàn)閤wR./(f)=lg(Jx"7),

所以/(T)+/(x)=lg(&+l-x)+lg(&+l+x)

=lg(7x2+i+xj(Vx2+l-xj=lgl=O,

所以/(f.)--/(*,所以八八)為奇函數(shù).

題型A：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

----X工-1

27.設(shè)函數(shù)/*)=卜+1',若g(?=/(x+a)+b為奇函數(shù)，則〃+。=

I,x=-\

【答案】-2

【解析】/。)=」7=坐1=1-一二，又/(一1)=1,易知/⑺的對(duì)稱(chēng)中心是(-U),

把它的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平行一個(gè)單位得圖象的函數(shù)為奇函數(shù).

g^)=,由題意/(x_l)_]=/(x+〃)+〃，/.?=-1,/?=-1,a+b=-2.

故答案為：一2.

28.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)網(wǎng)力=卜#-1-/)為奇函數(shù)，貝.

【答案】|

【解析】設(shè)/心)=3加-彳-/，若函數(shù)g⑴是奇函數(shù)，

則力(X)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?y,o)u(o,y),

/z(-x)=-/z(x),即3or2+--X2=-3ar2+—+x2,

則6ov2=2x2，則4=；.

故答案為：!

X2+axX>0

29.(2024?四川內(nèi)江?三模)若函數(shù)/(X)=，2:一八是奇函數(shù)，則4+〃=_____

bx2-2x,x<0

【答案】-3

【解析】函數(shù)=是奇函數(shù)，/(0)=().

bx--2x,x<0

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2-ax)=-x2+ax,

而當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=bx2-2x,則方=-1,。=一2,

當(dāng)x>0時(shí)，一xv0,/(A)=-f(-?:)=-(bx2+2x)=-bx2-2x,

而當(dāng)x>0時(shí)，/(.v)=x2+ax,則力=-1,。=一2,

所以〃二-1,。=-2,a+/?=-3.

故答案為：一3

“\t7cosx-v3sinx+c,x>0....

30.設(shè)奇函數(shù)=(L八，則〃+。的值為_(kāi)________.

cosx+bstnx-c,x<0

【答案】0

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以/(0)=0,

即acosO->/5sin0+c=a+c=0>

所以a十c=0.

故答案為：0.

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

31.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))已知/(X),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),

f(x)+g(x)=xi+ax2+a,貝ijf(3)=.

【答案】27

【解析】因?yàn)椤啊埃琯(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

而f(x)+g(x)=d+加+4'①

所以/(一*)+4(-幻=一/+"2+”,BP/(A：)-g(x)=/-ax-2-a,②

由①+②得/(x)=3,所以『(3)=27.

故答案為：27.

AY

32.己知偶函數(shù)/(x)和奇函數(shù)g(x)均定義在R上，且滿足/(刈+8(X)=3/一一=石+5,則

〃T)+g(3)=一.

22

【答案】y

【解析】因?yàn)?(x)+g(x)=3/一黑+5……①

所以/(—x)+g(r)=3x+7大+5

AY

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),所以〃x)-g(x)=3/+-芯+5……②

?A?

①②聯(lián)立解得：/("=3/+5,?")=—峭靠，

所以f(_l)+g(3)=3(—l)2+5一程仔

22

故答案為：—.

33.已知〃“，g(x)是分別定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且〃x)-g(x)=V+f+l,則

〃l)+g(2)=-------------?

【答案】-4

［解析］(-力=_/(x)_g("=_f+f+l

和已知條件相加得-2g(x)=2(/+1)

故g(x)=-(x'+l)J(x)=/

故"l)+g⑵=1-5=Y

故答案為：—4

34.(2024?高三.黑龍江哈爾濱.期末)已知/⑴為奇函數(shù)，g3為偶函數(shù)，且滿足/(x)+g(x)=ex+i,

則g(x)=()

lJxxxx

Ae*-e-*de+e-廠e-e-2x「e-e-+2x

A.-----B.-----C.---------D?---------

2222

【答案】B

【解析】由題意知，/(X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，

貝IJf(T)=-/(X),以-4)=g(X),

「「(x)+g(x)=e"+XHnJ/U)+^(x)=e+X

,f(-x)+g(-x)=ex-x-f(x)+^(x)=ex-x

解得8(幻=與詈?

故選：B

題型十：奇函數(shù)的中值模型

35.(2024?陜西榆林?三模)已知函數(shù)＞=/("為奇函數(shù)，且最大值為1,則函數(shù))=2〃x)+l的最大值和

最小值的和為.

【答案】2

【解析】奇函數(shù)如果存在最值，則最大值和最小值之和為()，

所以函數(shù)/(X)最大值和最小值之和為0,

則函數(shù)產(chǎn)2/(x)+1的最大值和最不值之和為2.

故答案為：2.

36.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=A—^+〃ln(x+7Pn)+c,其中且awl,bwR,cwZ,

則f(l)和/(T)的值一定不會(huì)是()

A.2+6和-3-6B.-3和4

C.3和-1D.21正和匕立

44

【答案】C

【解析】令g(x)=A_7，/2(x)=/?ln(x+&+0,易得g(r)+g(x)=l,：(-力=-g),所以/(x)

+f(-x)=\+2c,因?yàn)閏wZ,所以〃x)+/(r)為奇數(shù)，驗(yàn)證可知A、B、D三組數(shù)值和均為奇數(shù)，C組

數(shù)值和為偶數(shù)，故C組數(shù)值一定不是/⑴和/(-1)的值.

故選：C.

37.已知函數(shù)八x)=ln(V?W—xj+l，正實(shí)數(shù)滿足/(2a)+fS—4)=2,則?+三看了的最小值

為.

【答案】2

【解析】令g(x)=/(X)-1=In(，/+1-工),由Jx2+1，得g(x)定義域?yàn)镽，

g(-x)+g(x)=ln(Vx2+1+x)+ln(Vx2+1-x)=ln1=0*即函數(shù)g(x)是奇函數(shù),

而g(x)=_ln(J?7i+r),當(dāng)xNO時(shí)，函數(shù)〃=Jf+l+x是增函數(shù),又y=hi”是增函數(shù)，

于是函數(shù)g(x)在位*。)上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)式X)在(YO,0］上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)g(?在R上單調(diào)遞減,由此2)+/@-4)=2,得/(勿)—1+/S—4)—1=0,

即g(2〃)=一g@-4)=g(4-b),則2q=4一〃，即2.+。=4,Xd>0,Z?>0,

所以竺+一~^=竺+3。八=竺+￡之2隹卷=2,當(dāng)且僅當(dāng)“=：時(shí)取得，

a2ab+b~ab(2a+b)a4bNa4b99

所以"的最小值為2?

故答案為：2

38.已知函數(shù)/a)=】n(CDf)+l,則g(x)=/(x)—i是(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函數(shù)；若

/(。)=4,則〃一〃)=.

【答案】奇-2

【解析】因?yàn)?(x)=ln(Jl+f7)+］定義域?yàn)镽.則g(>=1=m(Jl+f一',

則Mf)=ln(7i^F—(f))=ln(Vi77+x)=ln^^p_ln(7i77r)=—g(x),所以g⑴為奇

函數(shù).

因?yàn)?(。)=4,所以g(4)=/(4)-1=3,所以g(-a)=-g(a)=-3,所以/(-a)=g(-〃)+1=-2

故答案為：奇，—2

39.(2024.安徽安慶?三模)若Vx,)，€/?,都有/(尤+)，)+4=〃6+〃)，)成立，則函數(shù)儀力=立”等犯

在卜2019,2019］上的最大值與最小值的和為.

【答案】8

【解析】依題意,Vx,ywR,都有析x+y)+4=f(x)+/(y)成立,

令》=。，則f(x)+4=/(x)+/(O),所以f(O)=4；

令了=一工，.?J(0)+4=/(x)+〃r),即/(X)+/(一力=8

令MM=〃x)-4,則用力的定義域?yàn)镽,

旦人(一工)二/(一%)一4二［8—/(切—4=4一/("二一〃(可，

故人但為R上的奇函數(shù)，

小)=立如)：2：+/(力=仆)+三=人(力蕓+4,

x~+1r+1x~+\

令/)=〃(%)+蕓，則r(x)的定義域?yàn)??,

且r(r)=//(-%)+三產(chǎn)7=-/j(x)--r77=-NR，故r(x)為R上的奇函數(shù)，

(-X)+14+1

故;?(X)為［-2019,2019］上的奇函數(shù)，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，。)在［-2019,2019］上的最大值與最

小值的和為?)2+Omm=°

故g(x)為［-2019,2019］上的最大值與最小值的和為0(%)心+4］+［r(x*n+4］=8,

故答案為：8

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式

40.已知函數(shù)/(幻二-^一工一？，若f(m2)+/(〃?—2)+2>0恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是()

C+1

A.(-2,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(2,4)

【答案】A

【解析】由題可知，==,

+1Ie*+1)e，+1

.i_v\-e~xI-ev

=f(x)+\=-e--x,!?Mg(-x)=-+x=---+x=-g(x),

er+1e+ie+1

所以晨幻是奇函數(shù).乂由/(>)+/(〃-2)+2>0,可得/(〃/)+1+/?！?2)+1>0,

即g(〃卜)+攻〃-2)>0,得g(/)>冢2-/〃).

rhg⑴=lz￡l_x=一(e+l)+2f]+二——X，因?yàn)槎?-^7，丁=一%-1均為口上的減函數(shù)，

所以g(%)在R上單調(diào)遞減,所以nr<2-m?即nr+m-2<0?

解得-2v〃?vl,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-2,1).

故選:A

33

41.(2024?遼寧大連?一模)設(shè)函數(shù)/(A)=sin心-+e--e*-x+3則滿足fM+/(3-2x)<4的x的取值范

圍是()

A.(3,+oo)B.(-oo,3)C.(!,+<?)D.(-oo,l)

【答案】C

【解析】因?yàn)閒M=sinnx+e3x-3-e""-x+3,

所以/(x+l)=sin(nx+7r)+e5v+V3-eVVv-5-x-1+3

=—sin7LV+e'—e久一x+2?

設(shè)g(x)=/(x+l)-2=-sinnx+e"-e"-戈，顯然定義域?yàn)镽,^(x-l)=/(.r)-2,

-3v3v3-3

又g(T)=-sin(-7LV)+e-e+x=-(-sin7ix4-e'-e'-x)=-g(x),

所以g(x)為R上的奇函數(shù)，

乂g'(x)=一兀cosTLV+3e3'+3e3A-1>-KCOSX+2\/次，?3e*-1=5-ncosx>0?

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又f(x)+f(3-2x)<4,則［/(x)-2］+［/(3-2x)-2］<0,

所以g(x-l)+g(2—2x)<0,即g(工一l)<-g(2-2x)=g(2工一2),

所以x-lv2x-2,葩r得X>1,

貝I」?jié)M足/(X)+/(3—2x)<4的工的取值范圍是(l,+oo).

故選：C.

42.(2024?云南貴州?二模)若函數(shù)/(1)的定義域?yàn)镽且圖象關(guān)于￥軸對(duì)稱(chēng)，在［。，+?)上是增函數(shù)，且

/(-3)=0,則不等式/&)<0的解是()

A.(re1,-3)B.(3,+8)

C.(—3,3)D.3)u(3,+8)

【答案】C

【解析】因?yàn)椤癤)在［0，+8)上是增函數(shù)且/(-3)=0,所以/(工)<0在［0,+8)范圍內(nèi)的解為［0,3).

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在定義域R上圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)，所以/(“<0在(-8,0)內(nèi)的解為(-3,0),所以不等式

/(力<0在R內(nèi)的解為(-3,3).

故選:C

43.(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)〃力=1咯(4'+16)7-2,若/(〃—1)］“2。+1)成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍為()

B.(YO,-2]u[a+°°)

D.(-oo,—2]u[g，+8)

C.-25

【答案】c

v+2

[解析】ie5(A-)=/(x+2)=log2(4+16)-A-4,xc/?,

X+2

￥+2in4,4-16八

令/3=~=4O2+16=°,解得x=0.

(4A+2+16)ln2

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

16(1+4,)

1+2

因?yàn)間(-1)=kg(4+16)+.r-4=log2+x-4

4V

=10g2(4-2+16)-工-4=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù).

目i以/(2^+1)<=>-3+2)2/(加_l+2)=g(Q_3)Ng(2._l),

又g(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，

所以卜-3閆2〃-1|,即3〃？+2a-8W0，解得-2K4Kg.

故選：C

題型十二：函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用

44.(2024?陜西寶雞?二模)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)的解析式.

【答案】)，=—1(答案不唯-)

x-1

【解析?】)=’的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則y=一二的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng).同樣如函數(shù))，=(、-廳也滿足題意.

故答案為：y=一二(答案不唯一).

x-1

45.(2024.四川瀘州?一模)函數(shù)/")=士的對(duì)稱(chēng)中心為.

【答案】(1』)

【解析】因?yàn)?(%)=—\=土~==1+—>，

x-\x-\x-\

則f(x)=六的圖象可以由函數(shù)向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，

因?yàn)?，=:為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)干原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，所以/(1)關(guān)于(1/)對(duì)稱(chēng).

故答案為：(覃)

46.已知函數(shù)"刈==，函數(shù)g。)滿足g(l-x)十g(l十X)=0,若八外與g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，則所有

x-1

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于.

【答案】6

【解析】已知函數(shù)/(')=二，繪制其圖像如下圖：

X-I

根據(jù)圖像易知函數(shù)/(X)關(guān)于心對(duì)稱(chēng)：

又函數(shù)g(x)滿足g(lr)=-g(l+x),易知g(x)也關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱(chēng).

由于/(“與屋外均關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，可得兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，

設(shè)其交點(diǎn)分別為(4，匕)，(*2，/)，…，(工6，)’6)，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性易知王+%=為+/=弓+七=2,即得：玉+%+/+七+/+%=6.

故答案為：6

47.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=k)g?x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)的是()

A.^=log2(2+x)B.y=log2(2-x)

C.y=log2(4+x)D.y=log2(4-x)

【答案】D

【解析】設(shè)所求函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P(x,))，則點(diǎn)尸關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為。(4-x,y),

由題意知點(diǎn)。在y=Iog2x的圖象上，可得y=log2(4—x)，

即函數(shù)尸1。8工關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)的函數(shù)解析式為y=log?(47).

故選:D.

48.(2024?高三?陜西漢中?期中)已知函數(shù)/(9(xwR)滿足/(21+1)為奇函數(shù)，若函數(shù)尸sinm?與)，=/(“

的圖象的交點(diǎn)為(內(nèi)，)1),但，必)，…，(4，%)，則\X(X,+y)等于()

A.0B."C.2mD.4m

【答案】B

【解析】因?yàn)槲?1+1)為奇函數(shù),所以今+1)=力2++1),

所以關(guān)于。,0)對(duì)稱(chēng),

因?yàn)樨?二履,keZ=>x=A,keZ,

所以)，=sinu的對(duì)稱(chēng)中心為(k,0),ksZ、

所以)，=sin7tx也關(guān)尸(1,0)對(duì)稱(chēng),

所以)，=sin心與y=/(x)兩個(gè)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，

所以對(duì)于每組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(4凹)和(％',)，；)均滿足X；+A;=2，/+y.=0，

所以Z：(%+￡)=Z3+Zh=2丐+。=禮

故選:B.

題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用

/3A/34

49.已知函數(shù)〃工)的定義域是R,/-+x=/；—x,/(可+”6-又)=0,當(dāng)04_^；時(shí)，〃6=4犬一2/,

則“2024)=.

【答案】2

【解析】由/(g+q=/(g_x)得："')=/=/(3-x),

又/(X)+/(6T)=0,/./(3-X|4-/(6-X)=0,

???/(*)=-/[6-(3-大)]=-/(工+3),.?./(x+6)=-/(x+3)=/(x),

.-./(2024)=/(6X337+2)=/(2)=/(1)=4-2=2.

故答案為：2.

50.(2024?寧夏銀川一模)若定義在R上的函數(shù)/⑴滿足)=/(x+l)是奇函數(shù)，/(4+X)=/(T