考點11函數的奇偶性與周期性【命題解讀】關于函數性質的考查：以考查能力為主，往往以常見函數（二次函數、指數函數、對數函數）為基本考察對象，以絕對值或分段函數的呈現方式，與不等式相結合，考查函數的基本性質，如奇偶性、單調性與最值、函數與方程（零點）、不等式的解法等，考查數學式子變形的能力、運算求解能力、等價轉化思想和數形結合思想.其中函數與方程考查頻率較高.涉及函數性質的考查；【基礎知識回顧】1、奇、偶函數的定義對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，則稱f(x)為奇函數；對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，則稱f(x)為偶函數．2、奇、偶函數的性質(1)具有奇偶性的函數，其定義域關于原點對稱(也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱)．(2)奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱．(3)若奇函數的定義域包含0，則f(0)＝__0__．(4)若函數f(x)是偶函數，則有f(|x|)＝f(x)．(5)奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反．3、周期性(1)周期函數對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．4、函數奇偶性常用結論(1)如果函數f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0；如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．5、函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．6、函數圖象的對稱性(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數y＝f(x)關于點(b，0)中心對稱．1、下列函數為奇函數的是A．B．C．D．2、若函數為奇函數，則=(A)(B)(C)(D)13、設是定義在上的奇函數，當時，，則=A．－3B．－1 C．1 D．34、設函數，的定義域都為R，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是A．是偶函數B．||是奇函數C．||是奇函數D．||是奇函數5、（2019·福建莆田一中模擬）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是減函數，則有()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))6、(多選)已知偶函數f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，下列說法正確的是()A．函數f(x)是以2為周期的周期函數B．函數f(x)是以4為周期的周期函數C．函數f(x＋2)為偶函數D．函數f(x－3)為偶函數7、(2018江蘇)函數滿足，且在區(qū)間上，則的值為．考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(2)f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(5)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))變式1、判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(9－x2)＋eq\r(x2－9)；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋3))－3).（4）f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))變式2、判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x2).方法總結：1.判斷函數的奇偶性，首先看函數的定義域是否關于原點對稱．若函數定義域關于原點不對稱，則此函數一定是非奇非偶函數；若定義域關于原點對稱，再化簡解析式，根據f(－x)與f(x)的關系結合定義作出判斷．2.在函數的定義域關于原點對稱的條件下，要說明一個函數是奇(偶)函數，必須證明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))對定義域中的任意x都成立；而要說明一個函數是非奇非偶函數，則只須舉出一個反例就可以了．3.分段函數指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數，分段函數奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性．考向二函數的周期性及應用例2、．（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）已知定義在上的函數滿足，且圖像關于對稱，當時，，則________.變式1、已知函數f（x）滿足f（0）＝2，且對任意x∈R都滿足f（x+3）＝﹣f（x），則f（2019）的值為（）A．2019 B．2 C．0 D．﹣2變式2、定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝___．變式3、設是定義在上的周期為2的函數，當時，，則．變式4、設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2．(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x∈[2，4]時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．方法總結：(1)判斷函數的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期為T．(2)根據函數的周期性，可以由函數的局部性質得到函數的整體性質，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．(3)在解決具體問題時，要注意結論“若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期”的應用．

(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隱含周期的條件：，，，，，等．考向三函數奇偶性與單調性、周期性的應用例3、（2020屆山東師范大學附中高三月考）已知函數是定義在上的奇函數，當時，有恒成立，若，則x的取值范圍是________．變式1、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函數，在上單調遞減，，則的解集是（）A． B．C． D．變式2、（2017江蘇）已知函數，其中是自然數對數的底數，若，則實數的取值范圍是．變式3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知為定義在上的奇函數，當時，有，且當時，，下列命題正確的是（）A． B．函數在定義域上是周期為的函數C．直線與函數的圖象有個交點 D．函數的值域為變式4、（多選題）（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則（）A．函數是周期函數 B．函數的圖象關于點對稱C．函數為上的偶函數 D．函數為上的單調函數方法總結：1.已知函數的奇偶性，反求參數的取值，有兩種思路：一種思路是根據定義，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)對定義域內的任意x恒成立，建立起關于參數的方程，解方程求出參數之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數所滿足條件，再驗證其充分性得出結果．2.函數的奇偶性與單調性之間有著緊密的聯(lián)系，奇函數在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同，偶函數在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反，掌握這一關系，對于求解有關奇偶性與單調性的綜合問題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視．1、（2020全國Ⅱ文10）設函數，則 （）A．是奇函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是偶函數，且在單調遞減2、（2020山東8）若定義在上的奇函數在單調遞減，且，則滿足的的取值范圍是 （）A．B．C．D．3、(2018全國卷Ⅱ)已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則A． B．0 C．2 D．503、(2016山東)已知函數f(x)的定義域為R．當x<0時，；當時，；當時，，則f(6)=A．?2 B．?1 C．0 D．24、（多選題）（2020屆山東省棗莊市高三上學期