2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：與決策案例分析試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______第一題簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、區(qū)別與聯(lián)系。在商業(yè)決策中，這兩種統(tǒng)計(jì)推斷方法分別可以應(yīng)用于哪些場(chǎng)景？第二題某公司人力資源部希望了解員工的工作滿意度與其工作年限之間是否存在關(guān)聯(lián)。他們隨機(jī)抽取了100名員工，調(diào)查了其工作年限（X，單位：年）和工作滿意度評(píng)分（Y，1-10分）。初步計(jì)算得到：樣本均值$\bar{X}=5$，$\bar{Y}=6.5$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S_X=2$，$S_Y=1.2$，樣本協(xié)方差$S_{XY}=1.8$。請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)$r_{XY}$的公式，并簡(jiǎn)述該系數(shù)的取值范圍及其在判斷變量線性關(guān)系強(qiáng)度和方向上的意義。第三題假設(shè)某工廠生產(chǎn)的一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取50個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，得到樣本均值$\bar{X}=10.05$毫米。如果已知該廠生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)表明標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma=0.3$毫米。(1)求這批零件平均長(zhǎng)度$\mu$的95%置信區(qū)間。(2)如果要求置信水平仍為95%，將置信區(qū)間的寬度縮小一半，樣本量需要增大到多少？第四題一家電商公司想要分析用戶的瀏覽時(shí)間（X，單位：分鐘）和購(gòu)買金額（Y，單位：元）之間的關(guān)系。隨機(jī)抽取了60個(gè)用戶的交易數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)購(gòu)買金額$Y$與瀏覽時(shí)間$X$之間存在一定的線性關(guān)系。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，公司建立了線性回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1X$，其中$b_1=1.5$。請(qǐng)解釋回歸系數(shù)$b_1=1.5$的具體含義。若某用戶瀏覽時(shí)間為20分鐘，根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)其購(gòu)買金額約為多少？第五題一家食品公司想要比較三種不同包裝方式（A,B,C）對(duì)產(chǎn)品銷售量的影響。他們?cè)谌齻€(gè)不同的超市分別采用一種包裝方式銷售該產(chǎn)品一個(gè)月，記錄下每月的銷售量數(shù)據(jù)（單位：件）。請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明在這種情況下，應(yīng)該使用哪種統(tǒng)計(jì)方法來(lái)檢驗(yàn)三種包裝方式的銷售量是否存在顯著差異？并解釋進(jìn)行該檢驗(yàn)需要滿足的基本假設(shè)條件有哪些。第六題某銀行信用卡中心關(guān)心持卡人每月的刷卡消費(fèi)金額（X，單位：元）是否受到月份（Y，1-12）的影響。他們收集了1000名持卡人一年內(nèi)的月均刷卡消費(fèi)數(shù)據(jù)。假設(shè)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性波動(dòng)，且月份Y是一個(gè)分類變量（或視為定序變量）。請(qǐng)比較使用簡(jiǎn)單線性回歸分析（忽略月份因素）和使用單因素方差分析（ANOVA）或合適的廣義線性模型來(lái)分析月份對(duì)消費(fèi)金額影響的優(yōu)劣。說(shuō)明你的理由。第七題一家制藥公司研發(fā)了一種新藥，希望檢驗(yàn)其是否比現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)藥物更能降低患者的血壓。他們隨機(jī)選取了200名高血壓患者，將其均分為兩組：100人服用新藥（實(shí)驗(yàn)組），100人服用標(biāo)準(zhǔn)藥物（對(duì)照組）。經(jīng)過(guò)一個(gè)月的治療后，分別測(cè)量?jī)山M患者的血壓下降值（單位：毫米汞柱），數(shù)據(jù)如下（示意性數(shù)據(jù)，非真實(shí)）：*實(shí)驗(yàn)組樣本均值$\bar{X}_1=15$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S_1=3$。*對(duì)照組樣本均值$\bar{X}_2=12$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S_2=4$。假設(shè)兩組血壓下降值均近似服從正態(tài)分布，且方差相等。(1)寫(xiě)出檢驗(yàn)新藥效果是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)藥物的假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$。(2)寫(xiě)出計(jì)算該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如t統(tǒng)計(jì)量）的公式。(3)簡(jiǎn)述在什么情況下需要使用“方差相等”的假設(shè)？如果不滿足該假設(shè)，應(yīng)該如何處理？第八題一家連鎖超市關(guān)心周末銷售額（Y，單位：萬(wàn)元）與其廣告投入（X1，單位：萬(wàn)元）以及當(dāng)日天氣溫度（X2，單位：攝氏度）之間的關(guān)系。他們?cè)谶^(guò)去50個(gè)周末收集了相關(guān)數(shù)據(jù)，并使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行了多元線性回歸分析，部分輸出結(jié)果如下（示意性結(jié)果）：*回歸方程：$\hat{Y}=5+2X_1+0.1X_2$*廣告投入系數(shù)$b_1=2$的p值為0.005。*溫度系數(shù)$b_2=0.1$的p值為0.15。*調(diào)整后的判定系數(shù)$R^2_{adj}=0.60$。請(qǐng)解釋輸出結(jié)果中各項(xiàng)指標(biāo)（方程、系數(shù)、p值、$R^2_{adj}$）的意義。根據(jù)p值，你能對(duì)廣告投入和天氣溫度對(duì)周末銷售額的影響做出什么結(jié)論？（假設(shè)顯著性水平$\alpha=0.05$）第九題一家制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，關(guān)心生產(chǎn)線的溫度（X，單位：℃）是否會(huì)影響零件的尺寸精度（Y，單位：微米）。他們記錄了20天內(nèi)的生產(chǎn)線溫度和對(duì)應(yīng)生產(chǎn)出的零件尺寸偏差數(shù)據(jù)。散點(diǎn)圖顯示兩者之間存在可能的非線性關(guān)系。請(qǐng)?zhí)岢鲋辽賰煞N可以用來(lái)檢驗(yàn)溫度X與尺寸精度Y之間是否存在相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)方法，并簡(jiǎn)述每種方法的基本原理和適用場(chǎng)景。試卷答案第一題參數(shù)估計(jì)是通過(guò)樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本方差）來(lái)推斷總體參數(shù)（如總體均值、總體方差）的值或范圍。其核心思想是用樣本信息推斷總體特征。常用方法有點(diǎn)估計(jì)（如用樣本均值估計(jì)總體均值）和區(qū)間估計(jì)（如構(gòu)造置信區(qū)間）。假設(shè)檢驗(yàn)是利用樣本信息判斷關(guān)于總體參數(shù)的某個(gè)假設(shè)是否為真的統(tǒng)計(jì)推斷方法。其核心思想是依據(jù)小概率反證法，通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布，判斷原假設(shè)在多大程度上可能是真實(shí)的。兩者聯(lián)系在于都基于樣本信息推斷總體特征，都涉及概率判斷和假設(shè)；區(qū)別在于參數(shù)估計(jì)旨在提供參數(shù)的估計(jì)值或范圍，而假設(shè)檢驗(yàn)旨在判斷參數(shù)是否等于某個(gè)特定值或落入某個(gè)范圍。在商業(yè)決策中，參數(shù)估計(jì)可用于估計(jì)市場(chǎng)潛力、預(yù)測(cè)銷售量、評(píng)估投資回報(bào)率等；假設(shè)檢驗(yàn)可用于比較不同廣告策略的效果、檢驗(yàn)新產(chǎn)品質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)、評(píng)估員工培訓(xùn)效果是否顯著等。第二題Pearson相關(guān)系數(shù)$r_{XY}$的計(jì)算公式為$r_{XY}=\frac{S_{XY}}{S_XS_Y}$，其中$S_{XY}$是樣本協(xié)方差，$S_X$和$S_Y$分別是變量X和Y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。該系數(shù)的取值范圍是[-1,1]。當(dāng)$r_{XY}=1$時(shí)，表示X和Y之間存在完美的正線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)$r_{XY}=-1$時(shí)，表示X和Y之間存在完美的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)$r_{XY}=0$時(shí)，表示X和Y之間不存在線性相關(guān)關(guān)系。$0<r_{XY}<1$表示正相關(guān)，$-1<r_{XY}<0$表示負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，表示線性關(guān)系越強(qiáng)；越接近0，表示線性關(guān)系越弱。它主要用于量化兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。第三題(1)由于總體標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma$已知，應(yīng)使用Z分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。95%置信區(qū)間為$\bar{X}\pmZ_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。查Z表得$Z_{0.025}=1.96$。代入數(shù)據(jù)：$10.05\pm1.96\left(\frac{0.3}{\sqrt{50}}\right)=10.05\pm1.96\times0.0424=10.05\pm0.0834$。置信區(qū)間為(10.05-0.0834,10.05+0.0834)=(9.9666,10.1334)毫米。(2)置信區(qū)間寬度為$2\timesZ_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2\times1.96\left(\frac{0.3}{\sqrt{n}}\right)$。要求寬度縮小一半，即$1\times1.96\left(\frac{0.3}{\sqrt{n'}}\right)=1\times1.96\left(\frac{0.3}{\sqrt{n}}\right)/2$?；?jiǎn)得$\sqrt{n'}=2\sqrt{n}$。將$n=50$代入，$\sqrt{n'}=2\sqrt{50}=10$，則$n'=10^2=100$。樣本量需要增大到100。第四題回歸系數(shù)$b_1=1.5$的含義是：在其他變量保持不變的情況下，用戶的瀏覽時(shí)間每增加1分鐘，預(yù)測(cè)的購(gòu)買金額將平均增加1.5元。根據(jù)回歸方程$\hat{Y}=5+1.5X$，當(dāng)瀏覽時(shí)間$X=20$分鐘時(shí)，預(yù)測(cè)的購(gòu)買金額為$\hat{Y}=5+1.5\times20=5+30=35$元。第五題應(yīng)該使用單因素方差分析（One-wayANOVA）?；炯僭O(shè)條件包括：1.各樣本來(lái)自的總體應(yīng)服從正態(tài)分布。2.各總體的方差相等（方差齊性）。3.各樣本相互獨(dú)立。第六題使用簡(jiǎn)單線性回歸分析假設(shè)月份對(duì)消費(fèi)金額的影響是線性的，且所有月份的影響程度相同。使用單因素方差分析或廣義線性模型可以檢驗(yàn)不同月份是否存在消費(fèi)金額的總體均值差異，不假設(shè)線性關(guān)系，可以檢驗(yàn)是否存在季節(jié)性效應(yīng)。簡(jiǎn)單線性回歸可能忽略重要的季節(jié)性波動(dòng)，導(dǎo)致模型擬合不佳，預(yù)測(cè)誤差大。ANOVA或廣義線性模型能更準(zhǔn)確地捕捉和檢驗(yàn)月份帶來(lái)的系統(tǒng)性差異。因此，當(dāng)存在明顯季節(jié)性或月份是重要的分類預(yù)測(cè)變量時(shí)，使用ANOVA或廣義線性模型通常更合適。第七題(1)原假設(shè)$H_0:\mu_1\leq\mu_2$（或$\mu_1-\mu_2\leq0$，即新藥效果不優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)藥），備擇假設(shè)$H_1:\mu_1>\mu_2$（或$\mu_1-\mu_2>0$，即新藥效果優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)藥）。這里假設(shè)檢驗(yàn)是單尾檢驗(yàn)。(2)在方差相等（$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$）的假設(shè)下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（t統(tǒng)計(jì)量）的計(jì)算公式為$t=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，其中$S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$是合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(3)在什么情況下需要使用“方差相等”的假設(shè)：當(dāng)進(jìn)行兩組均值比較的t檢驗(yàn)時(shí)，如果假設(shè)兩個(gè)總體的方差相等，可以使用pooledvariancet-test（使用合并方差）。如果不滿足該假設(shè)（方差不齊），應(yīng)使用Welch'st-test（不使用合并方差）或非參數(shù)檢驗(yàn)方法（如Mann-WhitneyU檢驗(yàn)）。第八題輸出結(jié)果解釋：*回歸方程$\hat{Y}=5+2X_1+0.1X_2$：當(dāng)廣告投入和溫度固定時(shí)，周末銷售額的預(yù)測(cè)值為該方程右側(cè)表達(dá)式。常數(shù)項(xiàng)5表示當(dāng)廣告投入和溫度均為0時(shí)（可能無(wú)實(shí)際意義）的預(yù)測(cè)銷售額。系數(shù)$2$和$0.1$分別表示廣告投入每增加1萬(wàn)元，預(yù)測(cè)銷售額平均增加2萬(wàn)元；溫度每增加1攝氏度，預(yù)測(cè)銷售額平均增加0.1萬(wàn)元。*p值：p值用于檢驗(yàn)各自變量的系數(shù)是否顯著不為0。廣告投入系數(shù)的p值為0.005<0.05，表明廣告投入對(duì)銷售額有統(tǒng)計(jì)上顯著的線性影響（在α=0.05水平下拒絕H0）。溫度系數(shù)的p值為0.15>0.05，表明溫度對(duì)銷售額的線性影響在統(tǒng)計(jì)上不顯著（在α=0.05水平下不能拒絕H0）。*$R^2_{adj}$：調(diào)整后的判定系數(shù)，考慮了模型中自變量的個(gè)數(shù)。$R^2_{adj}=0.60$表示模型中廣告投入和溫度這兩個(gè)變量合起來(lái)解釋了周末銷售額變異的60%。這是一個(gè)相對(duì)較高的解釋比例，說(shuō)明模型具有一定的擬合優(yōu)度。第九題可以使用的統(tǒng)計(jì)方法及其原理和適用場(chǎng)景：1.Pearson相關(guān)系數(shù)：計(jì)算變量X和Y之間的線性相關(guān)強(qiáng)度和方向。原理是測(cè)量?jī)蓚€(gè)變量的協(xié)方差，并標(biāo)準(zhǔn)化以消除量綱和樣本量影響。適用于檢驗(yàn)兩個(gè)連續(xù)變量之間是否存在線性關(guān)系。如果散點(diǎn)圖顯示關(guān)系非單調(diào)或存在異常值，該方法可能不適用。2.Spearman秩相關(guān)系數(shù)：一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，計(jì)算兩個(gè)變量的等級(jí)（排序）之間的相關(guān)程度。原理是將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為秩次，然后計(jì)算這些秩次的Pearson相關(guān)系數(shù)。適用于檢驗(yàn)兩個(gè)連續(xù)變量之間是否存在單調(diào)關(guān)系（不一定是線性），或者當(dāng)變量不服從正態(tài)分布、存在異常值或?yàn)槎ㄐ蜃兞繒r(shí)。3.