第講萬有引力定律及其應(yīng)用[教材閱讀指導(dǎo)](對應(yīng)人教版必修第二冊相關(guān)內(nèi)容及問題)第七章第1節(jié)閱讀“開普勒定律”的有關(guān)內(nèi)容，寫出開普勒行星運動定律的表述。提示：開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等。第七章第1節(jié)閱讀“行星軌道簡化為圓軌道”的有關(guān)內(nèi)容，寫出對行星運動軌道簡化為圓軌道后的開普勒三個定律的表述。提示：(1)行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運動的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運動。(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。第七章第1節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T2。提示：近地點的速度較大。第七章第2節(jié)閱讀“行星與太陽間的引力”這一部分內(nèi)容，太陽與行星間引力的公式是依據(jù)什么推導(dǎo)出來的？提示：依據(jù)開普勒行星運動定律和圓周運動向心力公式及牛頓第三定律推導(dǎo)出來的。第七章第2節(jié)閱讀“月—地檢驗”這一部分內(nèi)容，什么是月—地檢驗？提示：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規(guī)律。第七章第2節(jié)閱讀“引力常量”這部分內(nèi)容及后面的[拓展學(xué)習(xí)]，引力常量是如何測得的？數(shù)值為多少？提示：英國物理學(xué)家卡文迪什利用扭秤裝置測得G＝6.67×10－11N·m2/kg2。第七章第3節(jié)，萬有引力理論的成就有哪些？提示：“稱量”地球的質(zhì)量、計算天體的質(zhì)量、發(fā)現(xiàn)未知天體、預(yù)言哈雷彗星回歸。第七章[復(fù)習(xí)與提高]B組T2；T3。提示：T2：將行星看作球體，設(shè)半徑為R，質(zhì)量為m星，則行星的密度為ρ＝eq\f(m星,V)＝eq\f(m星,\f(4πR3,3))。衛(wèi)星貼近行星表面運行時，運動半徑為R，由萬有引力提供向心力可知eq\f(Gm星m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，即m星＝eq\f(4π2R3,GT2)。由此可以解得ρT2＝eq\f(3π,G)，式中G為引力常量，可見ρT2是一個對任何行星都相同的常數(shù)。溫馨提示：當(dāng)衛(wèi)星貼著行星表面飛行時，只要有一個計時工具就可以知道行星的密度。T3：eq\f(7Gmm′,36R2)。質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬有引力可以等效為質(zhì)量集中在兩球心的兩個質(zhì)點之間的萬有引力，直接代公式可求。本題采用先填補成完整的球體，再減去補上的小球部分產(chǎn)生的引力的方法來求解。必備知識梳理與回顧一、開普勒定律1．定律內(nèi)容(1)開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是eq\x(\s\up1(01))橢圓，太陽處在橢圓的一個eq\x(\s\up1(02))焦點上。(2)開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的eq\x(\s\up1(03))面積相等。(3)開普勒第三定律：所有行星軌道的eq\x(\s\up1(04))半長軸的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．適用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞同一中心天體的運動。二、萬有引力定律及應(yīng)用1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與eq\x(\s\up1(01))物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與eq\x(\s\up1(02))它們之間距離r的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過扭秤實驗測得。3．公式的適用條件：計算兩個eq\x(\s\up1(04))質(zhì)點間的萬有引力。4．萬有引力理論的主要成就(1)發(fā)現(xiàn)未知天體。(2)計算天體質(zhì)量。一、堵點疏通1．只有天體之間才存在萬有引力。()2．行星在橢圓軌道上的運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越小。()答案1.×2.√二、對點激活1．關(guān)于萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下說法中正確的是()A．公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質(zhì)量較小的物體B．當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時，萬有引力趨近于無窮大C．兩物體間的萬有引力也遵從牛頓第三定律D．公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的答案C解析萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點或均勻球體間引力的計算，當(dāng)兩物體間距離趨近于0時，兩個物體就不能看作質(zhì)點，故F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再適用，所以不能說萬有引力趨近于無窮大，故A、B錯誤；兩物體間的萬有引力也遵從牛頓第三定律，C正確；G的值是卡文迪什通過扭秤實驗測得的，D錯誤。2．(人教版必修第二冊·第七章第3節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T4節(jié)選)地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示，天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，預(yù)測下次飛近地球?qū)⒃?061年左右。請根據(jù)開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多少倍。答案17.8解析設(shè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R0，周期為T0，哈雷彗星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半長軸為a，周期為T，由題意可知T＝2061年－1986年＝75年，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(Req\o\al(3,0),Teq\o\al(2,0))，則eq\f(a,R0)＝eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))≈17.8。關(guān)鍵能力發(fā)展與提升考點一開普勒定律的理解與應(yīng)用深化理解1．微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠日點時的速度方向與兩點連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內(nèi)的運動可看作勻速直線運動，由Sa＝Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。3．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。4．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在繞同一中心天體公轉(zhuǎn)的兩星體之間。例1(多選)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0。若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運動過程中()A．從P到M所用的時間等于eq\f(T0,4)B．從Q到N階段，機械能逐漸變大C．從P到Q階段，速率逐漸變小D．從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功[答案]CD[解析]由開普勒第二定律可知，相等時間內(nèi)，太陽與海王星連線掃過的面積都相等，A錯誤；由機械能守恒定律知，從Q到N階段，除萬有引力做功之外，沒有其他的力對海王星做功，故機械能守恒，B錯誤；從P到Q階段，萬有引力做負功，動能轉(zhuǎn)化成海王星的勢能，所以動能減小，速率逐漸變小，C正確；從M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對它先做負功后做正功，D正確。繞太陽沿橢圓軌道運行的行星越靠近近日點線速度越大，在近日點線速度最大。例2(2021·全國甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m[答案]C[解析]設(shè)沿火星表面運動的衛(wèi)星的繞行周期為T0，則有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up12(2)R，在火星表面處有eq\f(GMm,R2)＝mg，聯(lián)立可得T0＝2πeq\r(\f(R,g))；設(shè)“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最近距離為d1，最遠距離為d2，則停泊軌道的半長軸為a＝eq\f(d1＋d2＋2R,2)，由開普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，由以上各式聯(lián)立，可得d2＝2eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－d1－2R≈6×107m，故C正確。考點二萬有引力定律及其應(yīng)用拓展延伸1．萬有引力的“兩點理解”和“三個推論”(1)兩點理解①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力。②萬有引力定律的表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于計算質(zhì)點間的萬有引力。當(dāng)物體不能看成質(zhì)點時，可以把物體分成若干部分，求出兩物體每部分之間的萬有引力，然后矢量求和計算它們的合力。(2)三個推論①推論1：兩個質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬有引力，等于位于兩球心處、質(zhì)量分別與兩球體相等的質(zhì)點間的萬有引力。②推論2：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。③推論3：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的球體其他部分物質(zhì)的萬有引力，等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。2．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F可分解為：重力mg、提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近南、北兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，通?？烧J為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。3．星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)(1)地球表面的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響)：由eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度設(shè)地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，則mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)?？枷?萬有引力定律的應(yīng)用例3(2020·全國卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5[答案]B[解析]設(shè)該物體質(zhì)量為m，則在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,Req\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,Req\o\al(2,地))，由題意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。聯(lián)立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0.4，故B正確。例4(2022·全國乙卷)2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們()A．所受地球引力的大小近似為零B．所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C．所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小[答案]C[解析]航天員在空間站中可以自由地漂浮，表明飛船對其作用力幾乎等于零，航天員隨飛船做圓周運動的向心力完全由所受地球引力提供，故A、B錯誤，C正確；根據(jù)萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知在地球表面上所受地球引力的大小大于在飛船上所受地球引力的大小，因此在地球表面所受引力的大小大于其隨飛船運動所需向心力的大小，故D錯誤。例5理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零。現(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體，O為球心，以O(shè)為原點建立坐標(biāo)軸Ox，如圖所示。一個質(zhì)量一定的質(zhì)點(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則F隨x的變化關(guān)系圖像正確的是()[答案]A[解析]根據(jù)題意，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，當(dāng)質(zhì)點在地球的內(nèi)部離球心x處時，受到地球的萬有引力即為半徑等于x的同心球體對質(zhì)點的萬有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(\a\vs4\al(4πρm),3)x，其中ρ為地球的密度，m為質(zhì)點的質(zhì)量；當(dāng)質(zhì)點在地球球面或球面以外，離球心x處時，地球可以看成質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點，對質(zhì)點的萬有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M為地球的質(zhì)量。綜上所述，當(dāng)x<R時，F(xiàn)與x成正比，當(dāng)x≥R后，F(xiàn)與x的平方成反比，所以A正確?？枷?萬有引力與重力的關(guān)系例6某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R、質(zhì)量為M?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A.eq\r(\f(GM,10R3)) B.eq\r(\f(GM,11R3))C.eq\r(\f(1.1GM,R3)) D.eq\r(\f(GM,R3))[答案]B[解析]設(shè)該行星“赤道”上某處的重力加速度大小為g，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω，物體的質(zhì)量為m，物體在“兩極”處所受行星的萬有引力大小等于重力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝1.1mg，物體在“赤道”上某處時所受行星的萬有引力大小等于重力和物體隨行星轉(zhuǎn)動所需的向心力的合力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，聯(lián)立解得ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，故選B?？枷?星體表面及上空的重力加速度例7(2023·浙江省溫州市高三下第二次適應(yīng)性考試)《流浪地球2》影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質(zhì)量為2.5kg的物體重力為16N。已知地球半徑為6371km，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則此時太空電梯距離地面的高度約為()A．1593km B．3584kmC．7964km D．9955km[答案]A[解析]設(shè)地球的質(zhì)量為M，此時太空電梯距離地面的高度為h，太空電梯所在位置處的重力加速度為g′，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則物體所受重力等于地球的引力，根據(jù)萬有引力公式，物體在地球表面時，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，物體在太空電梯中距地面h高度處，有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝mg′，兩式相比可得eq\f(R2,（R＋h）2)＝eq\f(mg′,mg)，由題意知，mg′＝16N，又mg＝2.5×10N＝25N，解得h＝eq\f(1,4)R＝1593km，故選A?？键c三天體質(zhì)量和密度的估算拓展延伸1．重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天體環(huán)繞法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，計算中心天體質(zhì)量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r求M。若已知ω、T則不能求出M?？枷?利用“重力加速度法”計算天體的質(zhì)量和密度例8宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處開始下落，經(jīng)時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求：(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ。[答案](1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)[解析](1)羽毛和鐵錘在月球表面附近做自由落體運動，有h＝eq\f(1,2)g月t2解得g月＝eq\f(2h,t2)。(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，對在月球表面上質(zhì)量為m的物體，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月解得M＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)假設(shè)月球為均勻球體，則其體積V＝eq\f(4,3)πR3根據(jù)密度公式可知，ρ＝eq\f(M,V)解得ρ＝eq\f(3h,2πRGt2)?？枷?利用環(huán)繞法估算天體的質(zhì)量和密度例9(2021·廣東高考)2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行。若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑[答案]D[解析]根據(jù)核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，則M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知要計算地球的質(zhì)量M，除引力常量G外，還要知道核心艙的繞地半徑r及繞地線速度v、繞地角速度ω或繞地周期T中的一個。所以若已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑或已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期，都不能計算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地角速度和繞地周期，不能計算出核心艙的繞地半徑，也不能計算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑，可由M＝eq\f(v2r,G)計算出地球的質(zhì)量。故D正確，A、B、C錯誤。例10(2021·全國乙卷)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M[答案]B[解析]設(shè)中心天體的質(zhì)量為M中，繞中心天體做勻速圓周運動的環(huán)繞天體的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T，由萬有引力提供向心力有Geq\f(M中m,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，解得M中＝eq\f(4π2r3,GT2)。由開普勒第三定律知，繞該黑洞做勻速圓周運動的軌道半徑為1000AU的環(huán)繞天體的公轉(zhuǎn)周期與S2的公轉(zhuǎn)周期相同，為T＝2×(2002年－1994年)＝16年，根據(jù)M中＝eq\f(4π2r3,GT2)，則eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(（1000AU）3,（1AU）3)×eq\f(（1年）2,（16年）2)≈4×106，即M黑洞≈4×106M，故選B。例11(2023·遼寧高考)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)[答案]D[解析]設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，由題圖中幾何關(guān)系可知eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)，由題意可知R地＝kR月，又地球的平均密度ρ地＝eq\f(m地,\f(4,3)πReq\o\al(3,地))，太陽的平均密度ρ日＝eq\f(m日,\f(4,3)πReq\o\al(3,日))，聯(lián)立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故選D。估算天體質(zhì)量和密度時應(yīng)注意的問題(1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近運動的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。(3)在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問題時，只有在兩極處才有eq\f(GMm,R2)＝mg?！靖M訓(xùn)練】1.利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是()A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離答案D解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計算出地球的質(zhì)量，A能；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期可計算出地球的質(zhì)量，B能；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離，可計算出地球的質(zhì)量，C能；已知地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，D不能。2.(2022·山東省濟寧市高三下二模)某興趣小組想利用小孔成像實驗估測太陽的密度。設(shè)計如圖所示的裝置，不透明的圓桶一端密封，中央有一小孔，另一端為半透明紙。將圓桶軸線正對太陽方向，可觀察到太陽的像的直徑為d。已知圓桶長為L，地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T。估測太陽密度的表達式為()A.eq\f(24πL3,GT2d3) B.eq\f(3πL3,GT2d3)C.eq\f(3πd3,GT2L3) D.eq\f(6πd3,GT2L3)答案A解析設(shè)太陽的半徑為R，太陽到地球的距離為r，由題圖，根據(jù)相似三角形可得eq\f(R,r)＝eq\f(\f(d,2),L)，解得R＝eq\f(dr,2L)；地球繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，設(shè)太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m，則有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，又太陽體積為V＝eq\f(4,3)πR3，太陽密度為ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立可解得ρ＝eq\f(24πL3,GT2d3)，A正確，B、C、D錯誤。課時作業(yè)[A組基礎(chǔ)鞏固練]1.(2023·吉林省延邊州高三下教學(xué)質(zhì)量檢測)假如某天地球加速繞太陽做橢圓軌道運動，地球到太陽的最近距離仍為R(R為加速前地球繞太陽做圓周運動時與太陽間的距離)，地球的公轉(zhuǎn)周期變?yōu)?年，則在該橢圓軌道上地球距太陽的最遠距離為()A．2R B．4RC．7R D．8R答案C解析根據(jù)題意可知，加速前地球繞太陽做圓周運動的周期T0＝1年，設(shè)在該橢圓軌道上地球距太陽的最遠距離為r，則其半長軸為a＝eq\f(R＋r,2)，根據(jù)開普勒第三定律，可得eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，其中T＝8年，解得r＝7R，故選C。2．(2023·廣東省佛山市高三下教學(xué)質(zhì)量檢測二)中國空間站軌道高度為400～450千米，地球半徑約為6370千米。當(dāng)航天員出艙在空間站艙外作業(yè)時，其所受地球的引力大約是他在地面所受地球引力的()A．0.9倍 B．0.25倍C．0.1倍 D．0.01倍答案A解析設(shè)地球半徑為R，空間站的軌道高度為h，航天員的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，航天員在地球表面時所受地球的引力F1＝eq\f(GMm,R2)，在空間站艙外作業(yè)時所受地球的引力F2＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，可得eq\f(F2,F1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))eq\s\up12(2)≈0.9，故選A。3．(2023·山東省濟寧市高三下二模)如圖甲所示，太空電梯的原理是，在地球同步軌道上建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結(jié)實的“繩索”將其與地面相連，“繩索”會繃緊，宇航員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空。如圖乙所示，有一太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，相對地球靜止。已知地球半徑為R、質(zhì)量為M、自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G，下列說法正確的是()A．太空電梯上各點均處于完全失重狀態(tài)B．太空電梯上各點線速度大小與該點到地心的距離成反比C．升降艙停在距地球表面高度為2R的站點時，升降艙的向心加速度大小為eq\f(GM,9R2)D．升降艙停在距地球表面高度為2R的站點時，升降艙的向心加速度大小為eq\f(12π2R,T2)答案D解析太空電梯上各點隨地球一起做勻速圓周運動，各點角速度相等，大小為地球自轉(zhuǎn)角速度，由v＝ωr可知，太空電梯上各點線速度大小與該點到地心的距離成正比，故B錯誤；太空電梯各點隨地球一起做勻速圓周運動，由B項分析結(jié)合a＝rω2可知，越靠近地心，向心加速度越小，而根據(jù)a引＝eq\f(GM,r2)可知，越靠近地心，地球引力提供的加速度越大，在同步空間站處，a＝a引，則只有處于同步空間站的點才處于完全失重狀態(tài)，不是各點都處于完全失重狀態(tài)，故A錯誤；升降艙停在距地球表面高度為2R的站點時，由A項分析可知，升降艙受到“繩索”的支持力F，此時做勻速圓周運動的軌道半徑為r′＝2R＋R＝3R，對升降艙，由牛頓第二定律有eq\f(GMm,req\o\al(2,1))－F＝ma1，解得升降艙的加速度大小為a1＝eq\f(GM,9R2)－eq\f(F,m)，故C錯誤；由題意知，地球自轉(zhuǎn)的角速度ω＝eq\f(2π,T)，而升降艙停在距地球表面高度為2R的站點時，向心加速度大小為a1＝ω2r1，可解得a1＝eq\f(12π2R,T2)，故D正確。4.(2024·遼寧省鞍山市高三上第一次質(zhì)量檢測)如圖所示，地球資源衛(wèi)星“04星”繞地球做勻速圓周運動的周期為T，地球相對“04星”的張角為θ，引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)上述信息可推斷地球質(zhì)量為()A.eq\f(g3T2sin6\f(θ,2),16π4G) B.eq\f(g3T4sin6\f(θ,2),16π4G)C.eq\f(g3T4sin2\f(θ,2),16π4G) D.eq\f(g3T4sin4\f(θ,2),16π4G)答案B解析設(shè)“04星”繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑為r，地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，“04星”質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，根據(jù)地球表面質(zhì)量為m′的物體所受重力近似等于地球?qū)λ娜f有引力，有m′g＝eq\f(GMm′,R2)，由幾何關(guān)系有eq\f(R,r)＝sineq\f(θ,2)，聯(lián)立解得M＝eq\f(g3T4sin6\f(θ,2),16π4G)，故選B。[B組綜合提升練]5.(2022·河北省秦皇島市高三下三模)2022年4月16日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射了一顆大氣環(huán)境監(jiān)測衛(wèi)星，該衛(wèi)星將推動我國在生態(tài)環(huán)境、氣象、農(nóng)業(yè)農(nóng)村等領(lǐng)域的遙感應(yīng)用。若用F表示該衛(wèi)星在發(fā)射過程中到地心距離為x處時所受萬有引力的大小，則下列圖像中，可能正確的是()答案D解析該衛(wèi)星在與地心距離為x處時所受萬有引力的大小F＝eq\f(GMm,x2)，則F-x圖像為曲線，故A、B錯誤；上式兩邊取對數(shù)，可得lnF＝ln(GMm)－2lnx，則lnF-lnx圖像是斜率為負數(shù)的傾斜直線，故C錯誤，D正確。6．(2023·東北三省四城市暨沈陽市高三下二模)(多選)2021年2月，我國執(zhí)行火星探測任務(wù)的“天問一號”火星探測衛(wèi)星順利實施近火制動，完成火星捕獲，正式進入環(huán)繞火星軌道。假設(shè)火星可視為半徑為R的均勻球體，“天問一號”沿橢圓軌道繞火星運動，周期為T。如圖所示，橢圓軌道的近火點P離火星表面的距離為2R，遠火點Q離火星表面的距離為4R，引力常量為G。下列說法正確的是()A．根據(jù)以上條件，可以求出火星的質(zhì)量B．根據(jù)以上條件，可以求出“天問一號”的質(zhì)量C．根據(jù)以上條件，可以求出近火衛(wèi)星的周期D．“天問一號”在近火點P和遠火點Q的加速度大小之比為4∶1答案AC解析根據(jù)題意可知，橢圓軌道的半長軸為a＝eq\f(2R＋2R＋4R,2)＝4R，由開普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,1))，解得近火衛(wèi)星的周期為T1＝eq\r(\f(R3,a3))T＝eq\f(1,8)T，設(shè)火星質(zhì)量為M，對于質(zhì)量為m的近火衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R，解得M＝eq\f(4π2R3,GTeq\o\al(2,1))＝eq\f(256π2R3,GT2)，即根據(jù)題中條件，可以求出火星的質(zhì)量和近火衛(wèi)星的周期，故A、C正確；設(shè)“天問一號”質(zhì)量為m天，如果“天問一號”繞火星以r0＝a＝4R的半徑做勻速圓周運動，由開普勒第三定律知其周期也為T，對“天問一號”，由萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm天,req\o\al(2,0))＝m天eq\f(4π2,T2)r0，可知“天問一號”的質(zhì)量被消掉，則不可以求出“天問一號”的質(zhì)量，故B錯誤；對“天問一號”，由牛頓第二定律知eq\f(GMm天,r2)＝m天a加，解得加速度大小a加＝eq\f(GM,r2)，“天問一號”在近火點P和遠火點Q到火星球心的距離之比為eq\f(rP,rQ)＝eq\f(2R＋R,4R＋R)＝eq\f(3,5)，則“天問一號”在近火點P和遠火點Q的加速度大小之比eq\f(aP,aQ)＝eq\f(req\o\al(2,Q),req\o\al(2,P))＝eq\f(25,9)，故D錯誤。7．(2022·山東省濟南市高三下二模)某氣體星球的半徑為R，距離星球中心2R處的P點的重力加速度大小為g。若該星球的體積均勻膨脹，膨脹過程中星球質(zhì)量不變，且質(zhì)量分布始終均勻。當(dāng)星球半徑膨脹到4R時，P點的重力加速度大小變?yōu)間′。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對球殼內(nèi)物體的引力為零，星球自轉(zhuǎn)的影響可忽略。則g′與g的比值為()A.eq