專題09三角形一、選擇題1.（2017重慶A卷第8題）若△ABC～△DEF，相似比為3：2，則對應(yīng)高的比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】A．【解析】試題解析：∵△ABC～△DEF，相似比為3：2，∴對應(yīng)高的比為：3：2．故選A．考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).2.（2017重慶A卷第11題）如圖，小王在長江邊某瞭望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡長BC=10米，則此時AB的長約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米【答案】A.【解析】試題解析：如圖，延長DE交AB延長線于點(diǎn)P，作CQ⊥AP于點(diǎn)Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四邊形CEPQ為矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=，∴設(shè)CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2或x=﹣2（舍），則CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中，∵AP=≈13.1，∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，故選A．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.3.（2017甘肅慶陽第6題）將一把直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=45°，則∠2為（）A．115° B．120° C．135° D．145°【答案】C．【解析】試題解析：如圖，由三角形的外角性質(zhì)得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺的兩邊互相平行，∴∠2=∠3=135°．故選C．考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角．4.（2017甘肅慶陽第8題）已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b-c|-|c-a-b|的結(jié)果為（）A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0【答案】D【解析】試題解析：∵a、b、c為△ABC的三條邊長，∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b）=0．故選D．考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系．5.（2017廣西貴港第11題）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，則線段的最大值是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】試題解析：如圖連接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值為3（此時P、C、M共線）．故選B．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．6.（2017湖北武漢第10題）如圖，在中，，以的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點(diǎn)在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】試題解析：①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD就是等腰三角形；

②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形；

③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形；

④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，△ACH就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形．故選C.考點(diǎn)：畫等腰三角形.7.（2017江蘇無錫第10題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（）A．2 B． C． D．【答案】D．【解析】試題解析：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵?BC?AH=?AB?AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，∵?AD?BO=?BD?AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC=.故選D．考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理．8.（2017甘肅蘭州第3題）如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于()A. B. C. D.【答案】C．【解析】試題解析：如圖，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，∴AC==120m，∴tan∠BAC=.故選C．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．9.（2017甘肅蘭州第13題）如圖，小明為了測量一涼亭的高度(頂端到水平地面的距離)，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階等高的臺階(米，三點(diǎn)共線)，把一面鏡子水平放置在平臺上的點(diǎn)處，測得米，然后沿直線后退到點(diǎn)處，這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹耍瑴y得米，小明身高米，則涼亭的高度約為()A.米 B.米 C.米 D.10米【答案】A.【解析】試題解析：由題意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴∴∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．故選A．點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．10.（2017貴州黔東南州第2題）如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數(shù)是（）A．120° B．90° C．100° D．30°【答案】C．【解析】試題解析：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故選：C．考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)．11.（2017山東煙臺第12題）如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動小組要測量學(xué)校附近樓房的高度，在水平底面處安置側(cè)傾器得樓房頂部點(diǎn)的仰角為，向前走20米到達(dá)處，測得點(diǎn)的仰角為.已知側(cè)傾器的高度為1.6米，則樓房的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1米，）A．米B．米C.米D．米【答案】C．【解析】試題解析：過B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：樓房CD的高度約為35.7米，故選C．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．12.（2017四川瀘州第10題）已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積問題，中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年）給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是（）A.B.C.D.【答案】B.考點(diǎn)：二次根式的應(yīng)用.13.（2017浙江嘉興第2題）長度分別為，，的三條線段能組成一個三角形，的值可以是（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】試題解析：由三角形三邊關(guān)系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本題的第三邊應(yīng)滿足5＜x＜9，把各項(xiàng)代入不等式符合的即為答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故選C．考點(diǎn)：三角形的三邊關(guān)系.二、填空題1.（2017浙江寧波第16題）如圖，一名滑雪運(yùn)動員沿著傾斜角為的斜坡，從滑行至，已知米，則這名滑雪運(yùn)動員的高度下降了米．(參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】280.【解析】試題分析：在RtΔABC中，sin34°=∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.2.（2017甘肅慶陽第16題）如圖，一張三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．現(xiàn)將紙片折疊：使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，那么折痕長等于cm．【答案】cm．【解析】試題解析：如圖，折痕為GH，由勾股定理得：AB==10cm，由折疊得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，∴∠AGH=90°，∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，∴△ACB∽△AGH，∴，∴，∴GH=cm．考點(diǎn)：翻折變換3.（2017廣西貴港第16題）如圖，點(diǎn)在等邊的內(nèi)部，且，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值為．【答案】【解析】試題解析：連接PP′，如圖，∵線段PC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′為等邊三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC為等邊三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′=．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形．4.（2017貴州安順第13題）三角形三邊長分別為3，4，5，那么最長邊上的中線長等于．【答案】2.5【解析】試題解析：∵32+42=25=52，∴該三角形是直角三角形，∴×5=2.5．考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；直角三角形斜邊上的中線．5.（2017湖北武漢第15題）如圖△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，則DE的長為．【答案】7.【解析】試題解析：∵AB=AC，

∴可把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AE′B，如圖，

∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC，

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠EAC=60°，

∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°，

在△E′AD和△EAD中

∴△E′AD≌△EAD（SAS），

∴E′D=ED，

過E′作EF⊥BD于點(diǎn)F，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°，

∴∠E′BF=60°，

∴∠BE′F=30°，

∴BF=BE′=4，E′F=4，

∵BD=5，

∴FD=BD-BF=1，

在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=，

∴DE=7．學(xué)*科網(wǎng)考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性質(zhì)．6.（2017湖南懷化第15題）如圖，，，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件： ，使得.【答案】CE=BC．本題答案不唯一．【解析】試題解析：添加條件是：CE=BC，在△ABC與△DEC中，，∴△ABC≌△DEC．故答案為：CE=BC．本題答案不唯一．點(diǎn)：全等三角形的判定．7.（2017江蘇無錫第18題）在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于．【答案】3.【解析】試題解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如圖所示，則∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，設(shè)每個小正方形的邊長為a，則O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于點(diǎn)E，則BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3.考點(diǎn)：解直角三角形．8.（2017江蘇鹽城第12題）在“三角尺拼角”實(shí)驗(yàn)中，小明同學(xué)把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則∠1=°．【答案】120°.【解析】試題解析：由三角形的外角的性質(zhì)可知，∠1=90°+30°=120°.考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．9.（2017甘肅蘭州第17題）如圖，四邊形與四邊形相似，位似中心點(diǎn)是，，則 .【答案】【解析】試題解析：如圖所示：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．考點(diǎn)：位似變換．10.（2017貴州黔東南州第12題）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件使得△ABC≌△DEF．【答案】∠A=∠D．【解析】試題解析：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．考點(diǎn)：全等三角形的判定．11.（2017山東煙臺第14題）在中，，，，則．【答案】．【解析】試題解析：∵sinA=，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值．12.（2017山東煙臺第16題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格的邊長均為1.與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】（﹣2，）【解析】試題解析：由題意得：△A′OB′與△AOB的相似比為2：3，又∵B（3，﹣2）∴B′的坐標(biāo)是[3×，﹣2×]，即B′的坐標(biāo)是（﹣2，）考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．13.（2017四川瀘州第16題）在△ABC中，已知BD和CE分別是邊AC、AB上的中線，且BD⊥CE，垂足為O．若OD=2cm，OE=4cm，則線段AO的長度為cm．【答案】4.【解析】試題解析：連接AO并延長，交BC于H，由勾股定理得，DE=，∵BD和CE分別是邊AC、AB上的中線，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中線，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4.考點(diǎn)：1.三角形的重心；2.勾股定理．14.（2017四川自貢第14題）在△ABC中，MN∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，則MN的長為．【答案】1.【解析】試題解析：∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=1.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).15.（2017新疆建設(shè)兵團(tuán)第15題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中：①∠ABC=∠ADC；②AC與BD相互平分；③AC，BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角；④四邊形ABCD的面積S=AC?BD．正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①④【解析】試題解析：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①結(jié)論正確；③由②可知：AC平分四邊形ABCD的∠BAD、∠BCD，而AB與BC不一定相等，所以BD不一定平分四邊形ABCD的對角；故③結(jié)論不正確；④∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=BD?AO+BD?CO=BD?（AO+CO）=AC?BD．故④結(jié)論正確；所以正確的有：①④考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．16.（2017江蘇徐州第13題）中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，則．【答案】14.【解析】試題解析：∵D，E分別是△ABC的邊AC和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵DE=7，∴BC=2DE=14．考點(diǎn)：三角形中位線定理．17.（2017江蘇徐州第18題）如圖，已知，以為直角邊作等腰直角三角形.再以為直角邊作等腰直角三角形，如此下去，則線段的長度為．【答案】．【解析】試題解析：∵△OBA1為等腰直角三角形，OB=1，∴AA1=OA=1，OA1=OB=；∵△OA1A2為等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．∵△OA4A5為等腰直角三角形，∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，∵△OA5A6為等腰直角三角形，∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．∴OAn的長度為．考點(diǎn)：等腰直角三角形．18.（2017浙江嘉興第15題）如圖，把個邊長為1的正方形拼接成一排，求得，，，計(jì)算，……按此規(guī)律，寫出（用含的代數(shù)式表示）．【答案】，.【解析】試題解析：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4=，A4C=，△BA4C的面積=4-2-=，∴××CH=，解得，CH=，則A4H==，∴tan∠BA4C==，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，∴tan∠BAnC=.考點(diǎn)：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì)．三、解答題1.（2017浙江衢州第23題）問題背景如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形。類比研究如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)（D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合）。（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進(jìn)行證明；（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；（3）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)，，，請?zhí)剿?，，滿足的等量關(guān)系?！敬鸢浮浚?）全等；證明見解析；（2）是，理由見解析；（3）c2=a2+ab+b2．試題解析：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（ASA）；（2）△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）作AG⊥BD于G，如圖所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，∴c2=a2+ab+b2．考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理.2.（2017山東德州第21題）如圖所示，某公路檢測中心在一事故多發(fā)地帶安裝了一個測速儀，檢測點(diǎn)設(shè)在距離公路10m的A處，測得一輛汽車從B處行駛到C處所用的時間為0.9秒.已知∠B=30°，∠C=45°（1）求B，C之間的距離；（保留根號）（2）如果此地限速為80km/h，那么這輛汽車是否超速？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：,）【答案】（1）(10+10)m；（2）超速.【解析】試題分析：（1）利用∠B=30°，∠C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,從而得出BC=10+10(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小時>80千米/小時，故超速。試題解析：（1）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=10m∵在RtΔACD中，∠C=45°∴RtΔACD是等腰直角三角形∴CD=AD=10m在RtΔABD中，tanB=∵∠B=30°∴∴BD=10m∴BC=BD+DC=(10+10)m(2)這輛汽車超速.理由如下.由（1）知BC=（10+10）m，又∴BC=27m∴汽車速度v==30（m/s）又30m/s=108km/h，此地限速為80km/h∵108>80∴這輛汽車超速.考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用3.（2017重慶A卷24題）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，連接AC．（1）如圖1，若AB=3，BC=5，求AC的長；（2）如圖2，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)，MD=MC，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，EC=AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF=∠CEF．【答案】(1)；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM＝２，再由勾股定理可求出AC的長；（２）延長EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，證ΔBMD≌ΔANC得AC=BD，再證ΔBFG≌ΔCFE得BG=CE，∠G=∠E,從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.試題解析：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，則CM=BC﹣BM=5﹣2=2，∴AC=；（2）延長EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，連接BG．由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD，又CE=AC，因此BD=CE，由BF=FC，∠BFG=∠EFC，F(xiàn)G=FE，∴△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，所以BD=BG=CE，因此∠BDG=∠G=∠E．考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理.4.（2017甘肅慶陽第21題）如圖，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺作出△ABC的一條中位線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】作圖見解析【解析】試題分析：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F．線段EF即為所求．試題解析：如圖，△ABC的一條中位線EF如圖所示，方法：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F．線段EF即為所求．考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；三角形中位線定理．5.（2017甘肅慶陽第22題）美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河路風(fēng)情線是蘭州最美的景觀之一．?dāng)?shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小林在南濱河路上的A，B兩點(diǎn)處，利用測角儀分別對北岸的一觀景亭D進(jìn)行了測量．如圖，測得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求觀景亭D到南濱河路AC的距離約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米．【解析】試題分析：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)BE=x，根據(jù)AE=DE，列出方程即可解決問題．試題解析：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)BE=x，在Rt△DEB中，tan∠DBE=，∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．又∵∠DAC=45°，∴AE=DE．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．∴觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用6.（2017湖北武漢第18題）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，．寫出與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】證明見解析：【解析】試題分析：通過證明ΔCDF≌ΔABE，即可得出結(jié)論試題解析：CD與AB之間的關(guān)系是：CD=AB，且CD∥AB證明：∵CE=BF，∴CF=BE在ΔCDF和ΔBAE中∴ΔCDF≌ΔBAE∴CD=BA，∠C=∠B∴CD∥BA考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).7.（2017湖南懷化第6題）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，．寫出與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】證明見解析：【解析】試題分析：通過證明ΔCDF≌ΔABE，即可得出結(jié)論試題解析：CD與AB之間的關(guān)系是：CD=AB，且CD∥AB證明：∵CE=BF，∴CF=BE在ΔCDF和ΔBAE中∴ΔCDF≌ΔBAE∴CD=BA，∠C=∠B∴CD∥BA考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).8.（2017江蘇無錫第24題）如圖，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）作△ABC的外心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O即為所求；（2）過D點(diǎn)作DI∥BC交AC于I，分別以D，I為圓心，DI長為半徑作圓弧交AB于E，交AC于H，過E點(diǎn)作EF∥AC交BC于F，過H點(diǎn)作HG∥AB交BC于G，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．試題解析：（1）如圖所示：點(diǎn)O即為所求．（2）如圖所示：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．考點(diǎn)：1.作圖—復(fù)雜作圖；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.三角形的外接圓與外心．9.（2017貴州黔東南州第22題）如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°，根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，∠α≤39°時，才能避免滑坡危險(xiǎn)，學(xué)校為了消除安全隱患，決定對斜坡CD進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學(xué)樓的安全？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）【答案】學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動6.8米才能保證教學(xué)樓的安全．【解析】試題分析：假設(shè)點(diǎn)D移到D′的位置時，恰好∠α=39°，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作D′E′⊥AC于點(diǎn)E′，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DE、CE、CE′的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．試題解析：假設(shè)點(diǎn)D移到D′的位置時，恰好∠α=39°，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作D′E′⊥AC于點(diǎn)E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD?sin60°=12×=6米，CE=CD?cos60°=12×=6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四邊形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′=≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．答：學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動6.8米才能保證教學(xué)樓的安全．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．10.（2017山東煙臺第23題）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，為等邊三角形，先將三角板中的角與重合，再將三角板繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于且小于）.旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點(diǎn).在三角板斜邊上取一點(diǎn)，使，線段上取點(diǎn)，使，連接，.①求的度數(shù)；②與相等嗎？請說明理由；【類比探究】（2）如圖2，為等腰直角三角形，，先將三角板的角與重合，再將三角板繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于且小于）.旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點(diǎn).在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)，使，線段上取點(diǎn)，使，連接，.請直接寫出探究結(jié)果：①的度數(shù)；②線段之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)①120°；②DE=EF；理由見解析；（2）①90°；②AE2+DB2=DE2．理由見解析.【解析】試題分析：（1）①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，證明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②證出∠DCE=∠FCE，由SAS證明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，證出∠ACF=∠BCD，由SAS證明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②證出∠DCE=∠FCE，由SAS證明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出結(jié)論．試題解析：（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．11.（2017四川瀘州第18題）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一條直線上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求證：AB=DE．【答案】證明見解析.【解析】試題分析：欲證明AB=DE，只要證明△ABC≌△DEF即可．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．12.（2017四川瀘州第22題）如圖，海中一漁船在A處且與小島C相距70nmile，若該漁船由西向東航行30nmile到達(dá)B處，此時測得小島C位于B的北偏東30°方向上；求該漁船此時與小島C之間的距離．【答案】漁船此時與C島之間的距離為50海里．【解析】試題分析：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意得：∠BCD=30°，設(shè)BC=x，解直角三角形即可得到結(jié)論．試題解析：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意得：∠BCD=30°，設(shè)BC=x，則：在Rt△BCD中，BD=BC?sin30°=x，CD=BC?cos30°=x；∴AD=30+x，∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，解之得：x=50（負(fù)值舍去），答：漁船此時與C島之間的距離為50海里．考點(diǎn)：1.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題；2.勾股定理的應(yīng)用．13.(2017四川宜賓第18題)如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求證：BE=CF．【答案】證明見解析【解析】試題分析：欲證BE=CF，則證明兩三角形全等，已經(jīng)有兩個條件，只要再有一個條件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，條件找到，全等可證．根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC=EF，都減去一段EC即可得證．試題解析：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；∴BC=EF，∴BC﹣CE=EF﹣CE，即BE=CF．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．14.(2017四川宜賓第21題)如圖，為了測量某條河的寬度，現(xiàn)在河邊的一岸邊任意取一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊去兩點(diǎn)B、C測得∠α=30°，∠β=45°，量得BC長為100米．求河的寬度（結(jié)果保留根號）．【答案】河的寬度為