第04講二次函數(shù)的應(yīng)用（2大知識(shí)點(diǎn)+12大典例+變式訓(xùn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

0題型預(yù)覽

典型例題一圖形問(wèn)題

典型例題二圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

典型例題三拱橋問(wèn)題

典型例題四銷售問(wèn)題

典型例題五投球問(wèn)題

典型例題六噴水問(wèn)題

典型例題七增長(zhǎng)率問(wèn)題

典型例題八二次函數(shù)綜合一一特殊三角形問(wèn)題

典型例題九二次函數(shù)綜合一一特殊四邊形

典型例題十二次函數(shù)綜合一一相似三角形問(wèn)題

典型例題十一二次函數(shù)綜合一一周長(zhǎng)問(wèn)題

典型例題十二二次函數(shù)綜合一一面積問(wèn)題

圖知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)的應(yīng)用

1.審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即

函數(shù)關(guān)系）。

2,設(shè)出兩個(gè)變審，注意分清自變帝和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變晨的單位要準(zhǔn)確.

3.列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)。

4.按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。

5.檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案。

6.寫出答案。

【即時(shí)訓(xùn)練】

A.正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系D.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【分析】本題考杳了一次函數(shù)，二次函數(shù).根據(jù)題意分別求出y與3s與，滿足的函數(shù)關(guān)系式，然后判定作

答即可.

???）：是/的一次函數(shù)，S是，的二次函數(shù)，

故選：D.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.：2425九年級(jí)上?安徽淮北?階段練習(xí)）紅光公司今年7月份生產(chǎn)兒童玩具20萬(wàn)件，計(jì)劃之后兩個(gè)月增加產(chǎn)

量，如果月平均增長(zhǎng)率為x,那么第三季度兒童玩具的產(chǎn)量）’（萬(wàn)件）與x之間的關(guān)系應(yīng)表示為（）

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式即可，讀懂題意是解題的關(guān)鍵.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)的應(yīng)用最值與軌跡問(wèn)題

1、最值問(wèn)題（最大值/最小值）

利潤(rùn)最大化：總利潤(rùn)二（售價(jià)成本）X銷量。售價(jià)或銷量通常是變量，且俏量常隨售價(jià)增加而減少（線

性關(guān)系），總利潤(rùn)函數(shù)常為二次函數(shù)。求使利潤(rùn)最大的定價(jià)或產(chǎn)量。

成本最小化：材料成本、運(yùn)輸成本、庫(kù)存成本等組合優(yōu)化問(wèn)題中，總成本可能表示為某個(gè)變顯的二次函數(shù).

固定周長(zhǎng)圍最大面積：如用一定長(zhǎng)度的籬笆圍矩形菜地、養(yǎng)雞場(chǎng)等。設(shè)一邊長(zhǎng)為x,另一邊用周長(zhǎng)表示,

面積S=x*（L/2x）是二次函數(shù)。

固定表面積求最大體積：如從矩形紙板四角剪去相同大小的正方形折成無(wú)蓋盒子，求盒子最大容積。設(shè)剪

去正方形邊長(zhǎng)為x,則盒子容積V=x（L2x）（W2x）展開后是三次函數(shù)，但在特定約束下（如對(duì)稱）可能轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)問(wèn)題，或通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決（高中）。

路徑最值問(wèn)題；如幾何中求線段和的最小值（常需利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短），有時(shí)涉及二次函

數(shù)。

2、拋物線軌跡問(wèn)題

拋體運(yùn)動(dòng)：投擲鉛球、籃球投籃、炮彈發(fā)射等。已知初速度v（和發(fā)射角度0（或初始水平速度vox、豎

2

直速度voy）,建立高度y與水平距離x的函數(shù)關(guān)系y=ax+bx+c。求最大高度（頂點(diǎn)縱坐標(biāo)）。求

射程（落地點(diǎn)水平距離，令y=J解二次方程）。求達(dá)到某一高度時(shí)的水平距離。判斷是否能命中目標(biāo)

（特定點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足拋物線方程或在軌跡上）。

橋梁拱形、隧道頂部：橋梁、隧道的縱截面輪廓是拋物線形。己知關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)（如橋墩位置和高度、拱頂

高度），建立拋物線方程，用于計(jì)算任意點(diǎn)的支撐高度、車輛通過(guò)高度限制判斷等。

噴泉的水柱：水從噴口噴出的路徑近似拋物線。

【即時(shí)訓(xùn)練】

第一次訓(xùn)練數(shù)據(jù)

水平距離x/m02581114

豎直高度Wm

【答案】A

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求山頂

點(diǎn)坐標(biāo)即可.

故選:A.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（2324九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí)）在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球比，籃球的運(yùn)行軌跡是開口

向下的拋物線的一部分.“蓋帕”是一種常見的防守于段，防守隊(duì)員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而

防守隊(duì)員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)對(duì)于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上

升階段的水平距離越長(zhǎng)，則被"蓋帽''的可能性越大.收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡(jiǎn)化為

下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為P，籃框中心點(diǎn)為。，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過(guò)

A,B,C,/）四個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中Q,忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”P的可能性最大的線路是（）

y”

CD

HEQ

p

【答案】B

【分析】根據(jù)題意即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)A8為工米，

?.?S與x的二次函數(shù)圖象開口向下，

答：當(dāng)AB邊的長(zhǎng)為9米時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的面積最大.

(1)設(shè)甲、乙兩塊材料的面積之和為S,求S與十之間的函數(shù)解析式；

(3)丙部分面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握二次函數(shù)解析式的計(jì)算，最值的計(jì)算方法是關(guān)鍵.

(3)解：存在，理由如下：

0變式訓(xùn)練

①AB的長(zhǎng)可以為6m；

其中正確的是()

A.??B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

設(shè)矩形的菜園面積為ym-

故選：C.

2.(2024?安徽滁州?模擬預(yù)測(cè))“累勢(shì)既同，則積不容異”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖晅提出的體積計(jì)算原理，稱作

祖睡原理.利用祖唯原理可以得到一種求面積的方法：“夾在兩條平行直線之間的兩個(gè)平面圖形，被平行于

這兩條平行線的任意直線所截，如果被截得的兩條線段長(zhǎng)總相等，那么這兩個(gè)平面圖形的面積相等

【答案】43

【分析】本題考查了祖隨原理，正確理解祖隨原理，利用祖咂原理將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的

面積是解題的關(guān)鍵.

（2）根據(jù)祖陽(yáng)原理，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形面積進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）???祖曬原理，

故答案為:4；

???CD平行于EF，平行于CO的直線在平?移前后圖象上截得的線段長(zhǎng)是2,

（2）如何種植才能使草坪的面積最??？最小面積是多少？

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此

題的關(guān)鍵.

（2）先求出y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

4.（2025?安徽滁州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，某苗圃師傅用木制棚攔設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形育苗試驗(yàn)田，一面緊靠圍墻，

圍墻的長(zhǎng)度為21米，提供的木制柵欄的總長(zhǎng)度為40米，在安裝過(guò)程中柵欄不重疊使用，且無(wú)損耗和浪費(fèi).設(shè)

該矩形育苗試驗(yàn)田的一邊長(zhǎng)為x（單位：m）,另一邊長(zhǎng)為〉（理位：m）,面積為S（單位：nf）.

育苗實(shí)驗(yàn)田

y

⑴直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出1的取值范圍）.

（3）當(dāng)工的值是多少時(shí)，該矩形育苗試驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

⑵不能；理由見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)矩形的面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)矩形的邊長(zhǎng)大于0,圍墻的長(zhǎng)度為21米，求出x的取值

范圍即可；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可.

（2）不能.

國(guó).【典型例題二圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】

A.0.5B,1.5C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方便求的值是本題的關(guān)鍵.

設(shè)時(shí)間為f秒，

【答案】4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，線段最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是表示出PQ的長(zhǎng).

【答案】（1）1

Q）2或1.5

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理:

（2）根據(jù)三角形的面積公式可得到關(guān)于/的方程，即可求解；

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識(shí)；根據(jù)題意可知，點(diǎn)c為臨界點(diǎn)，分別

研究。在C點(diǎn)兩側(cè)時(shí)的情況即可.

根據(jù)解析式可知C正確，

故選:C.

D、----------------------1c

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了矩形，三角形面積.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形角的性質(zhì)和三角形面積公式.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

（1）由題意可直接利用f表示出相，BQ,進(jìn)而表示出8P：

（1）求線段AB的長(zhǎng)和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度v；

【分析】本題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌

握全二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：???圖2是點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與，的函數(shù)圖象,

補(bǔ)全圖象如圖所示:

境［典型例題三拱橋問(wèn)題】

【例1】（2324九年級(jí)上?四川綿際期中）如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是6m時(shí)，拱頂?shù)剿娴?/p>

距離是3m,則當(dāng)水面寬為4m時(shí)，水面上升了（）

A.-mB.ImC.-mD.-m

333

【答案】D

【詳解】解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，

故選：D.

【答案】26

故答案為：26.

【例3】(2425九年級(jí)上?安徽宣城?期中)交通規(guī)則上有許多標(biāo)志，如圖①所示是某地的兩個(gè)限制數(shù)量，某

貨車的迎面的截面圖形坐標(biāo)如圖②所示，問(wèn)該車能否通過(guò)此路段，并說(shuō)明理由.

【答案】不能通過(guò)，見解析

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：不能通過(guò)，理由:

???寬能通過(guò)；

:,高度不能通過(guò)，

故該車不能通過(guò)此路段.

圖1圖2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)0.1米或2.5米

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法，根據(jù)函數(shù)值求自變量的值的方法是解題的關(guān)犍.

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；

:.吊床上該處離右邊樹8。的距離為0.1米或2.5米.

0變式訓(xùn)練

1.(2324九年級(jí)上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，某拱橋呈拋物線形狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米,

在線段A8上離中心M處5米的地方，橋的高度是()

A.12米B.13米C.14米D.15米

【答案】D

【詳解】解：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為工軸，建直角坐標(biāo)系，如圖：

???橋的最大高度是16米，跨度是40米，

，拋物線頂點(diǎn)C(0,16),A(-20,0),B(20,0),

設(shè)拋物線解析式為嚴(yán)加+16,將A(-20,0)代入得：

???在線段4B上離中心M處5米的地方，橋的高度是15米，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式.

2.(2324九年級(jí)上?安徽常德.期中)如圖是一座截面邊緣為拋物線的拱形橋，當(dāng)拱頂離水面2米高時(shí)，水面

/為4米，則當(dāng)水面下降I米時(shí)，水面寬度_________米.

【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖:

當(dāng)水面下降1米，通過(guò)拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

3.(2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))如圖1,這是一座位于山谷中的大橋，全長(zhǎng)70米，橋面水平，橋底近似為

拋物線，橋面和橋底用若干混凝土石柱豎直支撐.經(jīng)測(cè)量，當(dāng)在橋面上距離橋頭35米時(shí)，橋面和橋底的支

撐石柱最長(zhǎng)，長(zhǎng)度為20米.以橋面為x軸，左側(cè)橋頭為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若其中一根石柱的長(zhǎng)度為16.8米，則這根石柱安放的位置距離左側(cè)橋頭多遠(yuǎn)？

(2)21米或49米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

?.?這根石柱安放的位置在距離左側(cè)橋頭21米或49米的地方.

(1)求橋洞。所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,正確理解題意，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

酚【典型例題四銷售問(wèn)題】

【例1】(2425九年級(jí)上?河北石家莊?期中)某暢銷書的售價(jià)為每本20元，每星期可賣出30()本，書城準(zhǔn)備

開展“讀書節(jié)活動(dòng)”，決定降價(jià)促銷.經(jīng)調(diào)研，如果調(diào)整書籍的售價(jià)，每降價(jià)1元，每星期可多賣出20本.設(shè)

每本降價(jià)x元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為了元，則V與x之間的函數(shù)表達(dá)式為()

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并正確列方程是解題關(guān)鍵.根據(jù)“每降價(jià)1元，每星期

可多賣出20本”列方程即可.

【詳解】解：設(shè)每本降價(jià)x元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為y元，

故選：B.

（1）設(shè)該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤(rùn)為“'（元），則卬與x的函數(shù)關(guān)系式為;

（2）該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲最大利潤(rùn)為元.

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用

（1）依據(jù)題意，由該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤(rùn)為叩=單個(gè)利潤(rùn)x銷量，進(jìn)而列式可以得解；

（2）依據(jù)題意，由（1）得解析式，配方成頂點(diǎn)式后，結(jié)合自變量的取值范圍進(jìn)行判斷可以得解.

（1）求售價(jià)定為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大；

（2）若商店希望每天的利潤(rùn)不低于4000元，直接寫出售價(jià)x的取值范圍.

【答案】（1）售價(jià)定為每個(gè)70元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.得到利潤(rùn)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

（1）依據(jù)題中的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，分漲價(jià)、降價(jià)兩種情況，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

（2）根據(jù)題意列不等式，分兩種情況，即可求解?.

【例4】（2025?遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè)）某水果超市購(gòu)進(jìn)一批水果，進(jìn)價(jià)為每千克40元，在一段時(shí)間內(nèi)，銷告

量y（千克）是每千克售價(jià)x（元）的一次函數(shù)，其圖象如圖所示.

⑴求這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)每千?克售價(jià)為多少元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，最大利澗為多少？

（2）當(dāng)每千克售價(jià)80元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，銷售利潤(rùn)最大為4800元

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

（2）解：設(shè)這批水果的利潤(rùn)為卬元.

??必有最人值

答：當(dāng)每千克售價(jià)80元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大為4800元.

0變式訓(xùn)練

1.（2425九年級(jí)上?四川涼山?期末）彝族年假期期間，某店銷售特產(chǎn)苦養(yǎng)餅，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每盒苦養(yǎng)餅售價(jià)為

20元時(shí)，口銷售量為500盒，當(dāng)每盒售價(jià)每下降1元時(shí)，口銷售量會(huì)增加10盒.已知每盒苦養(yǎng)餅的成本為

1（）元，設(shè)每盒降價(jià)x元，商家每天的利潤(rùn)為），元，則）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，審清題意、弄清數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

故選：D.

2.（2025?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)）一種商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上漲價(jià)當(dāng)售，每件的利潤(rùn)），（元）與每件上漲的價(jià)

格I（元）的函數(shù)關(guān)系如圖I,日銷售數(shù)量z（件）與每件上漲的價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系如圖2.則日銷售

的最大利潤(rùn)為元.

圖1圖2

【答案】2450

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，讀懂題意，正確列出函數(shù)解析式是解題的

關(guān)健；先求出每件的利潤(rùn)y（元）與每件上漲的價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系，再求出日銷售數(shù)量z（件）與每

件上漲的價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)日銷售利潤(rùn)等于日銷售數(shù)量與每件利潤(rùn)的積，得到二次函數(shù)，由二

次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可.

故答案為:2450.

3.（2025?貴州銅仁?模擬預(yù)測(cè)）“騎車戴頭盔，放心平安歸”.越來(lái)越多的人上下班會(huì)選擇騎行日動(dòng)車，佩戴

頭盔更能保證大家的行車安全.某商店統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔的銷售量，四月份售出350個(gè)，六月份售出504

個(gè)，且從四月份到六月份月增長(zhǎng)率相同.

（I）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；

（2）經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，此種品牌頭盔如果每個(gè)盈利10元，月銷售量為500個(gè)，若在此基礎(chǔ)上每個(gè)漲價(jià)1元,

則月銷售量將減少20個(gè)，現(xiàn)在既要使月銷售利潤(rùn)達(dá)到6000元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，那么該品牌

每個(gè)頭盔應(yīng)漲價(jià)多少元？

（3）該品牌頭盔每個(gè)漲價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%

（2）該品牌的每個(gè)頭盔應(yīng)漲價(jià)5元

⑶該品牌頭盔每個(gè)漲價(jià)7.5元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6125元

【分析】本題主要考查了利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，利川二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x,找出等量關(guān)系列出方程求解即可；

（2）設(shè)該品牌頭盔每個(gè)應(yīng)漲價(jià)小元，找出等量關(guān)系列出方程求解即可；

【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為％,

答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%；

（2）解：設(shè)該品牌頭盔每個(gè)應(yīng)漲價(jià)加元.

???要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，

答：該品牌的每個(gè)頭盔應(yīng)漲價(jià)5元；

（3）解：設(shè)該品牌頭盔每個(gè)漲價(jià)，元，利潤(rùn)為w元.

答：該品牌頭盔每個(gè)漲價(jià)7.5元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6125元.

4.（2025?山西運(yùn)城模擬預(yù)測(cè)）“六一”兒童節(jié)期間，某超市以10元/個(gè)的價(jià)格購(gòu)入一批兒童.禮品.在銷售前,

銷售經(jīng)理進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研.

調(diào)研數(shù)據(jù)：下表是日銷售數(shù)量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的部分調(diào)研數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)力元???1214161820???

日銷售數(shù)量W

???6056524844???

個(gè)

建立模型：（1）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)可知），是x的（填“一次”“二次”或“反比例”）函數(shù)，y關(guān)于x的函數(shù)

表達(dá)式為.

問(wèn)題解決：（2）兒童禮品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利澗最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？

（3）若該超市決定每銷售一個(gè)兒童禮品就向兒童福利院捐贈(zèng)元，捐贈(zèng)后，該兒童禮品日銷售最大利潤(rùn)為

450元，求加的值.

【分析】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，解答關(guān)鍵是列出函

數(shù)表達(dá)式再求解.

（1）先判定為一次函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為卬無(wú)，根據(jù)“利潤(rùn)=單件利潤(rùn)x銷售量”求出卬關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解；

【詳解】建立模型：

問(wèn)題解決：

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為卬元.

答：兒童禮品的俏售單價(jià)定為26元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)為512元.

（3）設(shè)捐贈(zèng)后，日銷售利潤(rùn)為上元，

「人的最大值為450,

答:，"的值為2.

國(guó).【典型例題五投球問(wèn)題】

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以分別計(jì)算出各個(gè)小題中的結(jié)論

是否正確.

???這名男生鉛球推出的水平距離為10m,

故①正確，符合題意；

，鉛球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的高度為3m,

故②錯(cuò)誤，不符合題意；

故③錯(cuò)誤，不符合題意；

故選:B.

【答案】8

故答案為：8.

(1)經(jīng)多少秒后足球回到地面？

(2)經(jīng)多少秒時(shí)球的高度為15米？

(3)當(dāng)力達(dá)到最高時(shí)，求/的值.

【答案】(1)經(jīng)4秒后足球回到地面；

⑵經(jīng)1秒或3秒時(shí)球的高度為15米；

(3)f的值為2.

【分析】本題考查了二次函數(shù)在生活實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，將生活實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

(3)配成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

答：經(jīng)4秒后足球回到地面；

答：經(jīng)1秒或3秒時(shí)球的高度為15米；

???當(dāng)力達(dá)到最高時(shí)，，的值為2.

【例4】(2025.湖北隨州.模擬預(yù)測(cè))如圖，以40m/s速度將小球沿著地面成30。的方向擊出時(shí)，小球的飛行

路線是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力(單位：m)與飛行時(shí)間/(單位：s)之間

滿足二次函數(shù)關(guān)系.小明在一次擊球過(guò)程中測(cè)得一些數(shù)據(jù)，如表所示，根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題.

飛行時(shí)間〃S00.52

08.2524

(1)直接寫出小球的飛行高度〃關(guān)于飛行時(shí)間f的二次函數(shù)關(guān)系式(不寫自變量取值范圍)；

⑵若小球飛行時(shí)間不超過(guò)4s,則小球飛行高度能否達(dá)到15m?若能，求出此時(shí)/的值，若不能，說(shuō)明理由;

⑶當(dāng)，值為多少時(shí)，小球飛行的點(diǎn)度最大？最大高度是多少？

(2)小球匕行高度能達(dá)到15m,此時(shí)f=l秒.

【分析】此題主要考查一元二次方程與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再

根據(jù)題意進(jìn)行解答.

(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(3)將解析式配方成頂點(diǎn)式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

???小球飛行高度能達(dá)到15m，此時(shí)，=1秒.

0變式訓(xùn)練

【答案】A

本題考查了數(shù)學(xué)與物理的跨學(xué)科綜合，正確理解方程根的意義是解題的關(guān)鍵.

故A正確，符合題意；

B,C,D都是錯(cuò)誤的，不符合題意.

故選：A.

2.(2425九年級(jí)上?山東濱州?期中)足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是

一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度/?(單位：m)與足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間/(單位：s)

之間的關(guān)系.

t01234567???

h08141820201814???

【答案】②③

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先利用待定系

數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得.

所以足球被踢出%時(shí)落地，則結(jié)論③正確；

綜J_,正確的結(jié)論是②?,

故答案為：②③.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在無(wú)人防守的情況下，球能否射進(jìn)球門，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)球￡過(guò)最高點(diǎn)后，防守球員才開始攔截.問(wèn)防守球員站在離球門最大多遠(yuǎn)的距離，可有效攔截射來(lái)的

足球，請(qǐng)直接寫出你的答案.

(2)球能射進(jìn)球門，理由見解析

（3）1米

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

（2）求出當(dāng)自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到答案；

（2）解：球能射進(jìn)球門，理由如下：

???球能射進(jìn)球門；

答：防守球員站在離球門最大I米的距離，可有效攔截射來(lái)的足球.

4.（2025?湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

投擲實(shí)心球是某市中考體育考試項(xiàng)目之一，李明發(fā)現(xiàn)實(shí)心球從HI手到落地的過(guò)程中，

實(shí)心球豎直高度與水平距離一直在相應(yīng)的發(fā)生變化.

【提出問(wèn)題】

實(shí)心球豎直高度與水平距離之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

【分析問(wèn)題】

李明利用先進(jìn)的鷹眼系統(tǒng)記錄了實(shí)心球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的水平距離大（單位：m）與豎直高度），（單位：m）

的數(shù)據(jù)如表：

0245689

23.23.63.53.221.1

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)圖中點(diǎn)的分布情況，李明發(fā)現(xiàn)其圖象是二次函數(shù)的

一部分.

"^77777777777777777777777777777777777^^^

【解決問(wèn)題】

（1）在李明投擲過(guò)程中，出于時(shí)實(shí)心球豎直高度是m,實(shí)心球在空中的最大高度是m；

（2）求滿足條件的二次函數(shù)的解析式：

【答案】（1）2,3.6

（3）李明在此次考試中能得到滿分，見解析

【分析】（1）根據(jù)圖表即可求解；

得在明明投擲過(guò)程中，出手時(shí)實(shí)心球的豎直高度是2m,

（3）解：明明在此次考試中能得到滿分，理由如卜：

???明明在此次考試中能得到滿分.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)的圖表和關(guān)系式，本題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法

求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì).

心［典型例題六噴水問(wèn)題】

【例1】（2324九年級(jí)上?新疆哈密?期中）如圖，?個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴

水頭的高度（即。4的長(zhǎng)度）是1米.當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭2米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，水流噴射

的最遠(yuǎn)水平距離。。是（）

A.6米B.5米C.4米D.1米

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)頂點(diǎn)式求得拋物

線解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.

【詳解】解：???噴水頭的高度（即08的長(zhǎng)度）是1米.當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭2米時(shí)，達(dá)到最大高度

1.8米，

【答案】22

故答案為：22.

【答案】3m

(1)求噴水管。4的高度；

(2)現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點(diǎn)與噴水管距離5米，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋

物線形狀不變，且水柱仍在距離原點(diǎn)2米處達(dá)到最高，求噴水管Q4要升高多少？

【答案】(l)gm

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握并靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二?噴水管04的高度為gm；

(2)解：設(shè)噴水管0A的高度要升高Am,

0變式訓(xùn)練

0B

A.3.5mB.4mC.4.5mD.5m

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.

【洋解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

水糟

【答案】5

【詳解】解：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，A。所在的直線為)，軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖

所示，

???點(diǎn)尸是最高點(diǎn),

故答案為：5.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)厘配

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求出二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法.

(1)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(2)解：???點(diǎn)C在圓形洗手盆臺(tái)面中心的正上方，

，該圓形洗手盆與安裝的水龍頭是匹配的.

4.(2425九年級(jí)上?陜西西安?期中)某公園的人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖中心豎直安裝了一根高為2米的

噴水管，在水管的頂端安一個(gè)噴頭，它噴出的拋物線形水柱在與噴水管的水平距離為1米處達(dá)到最高，水

柱落到湖面處離噴水管4米.以噴水管與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖的平面宜角坐標(biāo)系.

噴

頂

?棚

.

水

管

;、湖面

O

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)現(xiàn)公園準(zhǔn)備通過(guò)只調(diào)節(jié)噴水管露出湖面的高度，使得游船能從拋物線水柱下方中間通過(guò).為避免游客被

噴泉淋濕，要求游船從拋物線水柱下方中間通過(guò)時(shí)，游船頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于L5米,

已知游船頂棚寬度為1米，頂棚到湖面的高度為2.5米，那么公園應(yīng)將噴頭(噴頭大小忽略不計(jì))至少向上

移動(dòng)多少米才能符合要求？

29

(2)應(yīng)將噴頭至少向上移動(dòng)7r米才能符合要求

10

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.

(1)用待定系數(shù)法求解即可；

yjk

頂棚

噴

！8

水

管

湖面r

O

1.?頂棚寬度為1米，頂棚到湖面的高度為2.5米,

?.,頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于1.5米,

29

「?應(yīng)將噴頭至少向上移動(dòng)2米才能符合要求.

16

口【典型例題七增長(zhǎng)率問(wèn)題】

【例1】(2425九年級(jí)匕河南周匚?期中)某商品原價(jià)100元，分兩次降價(jià)，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為-

降價(jià)后的價(jià)格為元，則丁與x的函數(shù)解析式為()

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用中的增長(zhǎng)率問(wèn)題，表示出兩次降價(jià)后的價(jià)格即可求解?.

【詳解】解：原價(jià)100元，

故選：C.

【例2】(2025?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，

每瓶零售價(jià)由100元降為64元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為.

【答案】20%

【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為左由題意得

???每次降價(jià)的百分率為20%,

故答案為：20%.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解百分率問(wèn)題列方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【例3】(2324九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))某商場(chǎng)第1年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果每年的銷售量比上一年增

加相同的百分率x,寫出第3年的銷售量y關(guān)于每年增加的百分率x的函數(shù)解析式.

【答案】y=50(X)x2+I00()0.v+50CO.

【分析】根據(jù)增長(zhǎng)率第2年的銷量=第I年的銷量+增加百分率鄧第1年的銷量=(l+x)x第I年的銷量，第3

年的銷售量產(chǎn)第2年的銷量+增加百分率xx第2年的銷量=(l+x)x第2年的銷量=(l+x)2x第1年的銷量即可.

【詳解】解：由題意可知丁=500(1+1)2=5000爐+10000%+5000,

r.>=5000.v2+lOOOO.v+5000.

【點(diǎn)睛】本題考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，利用增長(zhǎng)率求函數(shù)解析式，掌握增長(zhǎng)率的公式是解題關(guān)鍵.

【例4】(2324九年級(jí)上?河北廊坊.階段練習(xí))某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增長(zhǎng)率為

x，預(yù)計(jì)今年比去年的年增長(zhǎng)率為2孫設(shè)今年的總產(chǎn)值為V萬(wàn)元.

⑴求y與％的關(guān)系式；

【分析】(1)利用增長(zhǎng)率公式即可找出)，關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式：

0變式訓(xùn)練

1.：2324九年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí))共享單車為市民的出行帶來(lái)了方便，某單車公司第一個(gè)月投放1000

輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車數(shù)量比第一個(gè)月多440輛，設(shè)該公司第二、三個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均

增長(zhǎng)率為工，則x的值為()

【答案】C

【分析】根據(jù)該公式第一個(gè)月及第三個(gè)月單車的投放量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即

可得出結(jié)論.

所以該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為20%.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

2.（2324九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）某廠加工一種產(chǎn)品，現(xiàn)在的年產(chǎn)量是40萬(wàn)件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量.如

果每年的增長(zhǎng)率都為孫那么兩年后這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量）’（萬(wàn)件）與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（要求化

成一般式）.

【分析】本題考查了根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，理解題意找到題目中的等量關(guān)系是關(guān)鍵.

3.（2324九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t,計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比

上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量,，將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，），與x之間的關(guān)系應(yīng)

怎樣表示？

①式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計(jì)戈J增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系，對(duì)于x的每一個(gè)值，V都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，即丫

是上的函數(shù).

【電鋸】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，利用增長(zhǎng)問(wèn)題獲得函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，注意增加x倍是原來(lái)的（x+l）

倍.

4.（2324九年級(jí)上?湖北荊州?期中）向陽(yáng)村養(yǎng)雞專業(yè)戶李明2020年的純收入是6萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2022年的純收

⑴求李明這兩年純收入的年平均增長(zhǎng)率；

（2）隨著養(yǎng)雞規(guī)模不斷擴(kuò)大，李明需要再建一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，他計(jì)劃用一段長(zhǎng)為100米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻

的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)（如圖），墻長(zhǎng)50米，養(yǎng)雞場(chǎng)面積為1200米2,求養(yǎng)雞場(chǎng)與墻平行的一邊的長(zhǎng)度.

（2）40米.

（2）解：設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)與墻平行的一邊的長(zhǎng)度為〃米，根據(jù)題意可得

答：養(yǎng)雞場(chǎng)與墻平行的一邊的長(zhǎng)度為40米.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要理解題意，能正確列出方程.

國(guó).【典型例題八二次函數(shù)綜合一一特殊三角形問(wèn)題】

【例1】（2324九年級(jí)上?浙江臺(tái)丹?期末）如圖，等腰直角三角形/WC中，/人=90。，BC=8,點(diǎn)、D、點(diǎn)、E分

別是3C、AC邊上的點(diǎn)，。以43則S—DE的最大值是（）

【答案】B

故選:B.

A.1+y/2B.1—5/2

C.V2-1D.1一拉或1+72

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出C。中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的

性質(zhì)可得點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線求解即可.

【洋解】令.『0,則尸3,

所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,

??,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,1）,

???△尸。短是以CO為底邊的等腰三角形，

???點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為2,

?,?&3=2,

???點(diǎn)P在第四象限，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出點(diǎn)P

的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【分析】過(guò)E作EF_Lx軸于F,交AB于D,求出E、A的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，即可求出答案.

過(guò)E作EF_Lx軸于F,交AB于D,

VAABE為等腰直角三角形,

/.AD=BD=3,

，AB=6,DE=^-AB=3,

???四邊形OABC是正方形，

OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9,

AA(0,6),E(3,9),

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形以及正方形的性質(zhì)，準(zhǔn)確求出A、E的坐標(biāo)是解

題美鍵.

【例4】（2324九年級(jí)上.山東濟(jì)寧?期中）如圖，點(diǎn)4、A2、4....A〃在拋物線y=/圖象上，點(diǎn)H、也、

①、…、刖在y軸上，若△A/%8、△AzBBz....出〃一出〃都為等腰直角三角形（點(diǎn)8〃是坐標(biāo)原點(diǎn)），

則A4202〃&0/9&020的腰長(zhǎng)=.

【洋解】解：如圖，作4cLy軸，42反1_），軸，垂足分別為C、E,

???△A/脫出八△A2EB2都是等腰直角三角形，

?e?BiC—B（）C=DBo=A/D,BzE=BiE.

設(shè)A/（a,b）,則a=b,將其代入解析式得：

解得:。=0（不符合題意）或。=1,

由勾股定理得：AiBo=5/2>

:?BiBo=2,

過(guò)8/作B/N_L42F,設(shè)點(diǎn)A（必然），

可得k2"=），2?2,BiN=X2=y2-2,

又點(diǎn)4在拋物線上，所以”=,稼，

（心+2）=x/,

解得X2=2,X2=-1（不合題意舍去），

—25/2，

同理可得：

4能=3及，

4&尸4及，

**?^2020^2019=202072，

**?△A2020B20兇B2020的腰長(zhǎng)為：2020O.

故答案為2020拉.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)找規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì).

0］變式訓(xùn)練

（1）此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解.；

【詳解】（1）解?：由題意得：

（2）解：連接A8,如圖所示：

過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)、H,如圖所示，

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)與幾何的綜合是解題的關(guān)鍵.

（1）求該拋物線的解析式；

（I）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)，根據(jù)?個(gè)三角形是直角三角形，應(yīng)分不同頂點(diǎn)為直角等多種情況進(jìn)行分析?：求兩條線段和或差的最值，

都要考慮做其中一點(diǎn)關(guān)于所求的點(diǎn)在的直線的對(duì)稱點(diǎn)得出是解題關(guān)鍵.

①若該函數(shù)的取值恒為非負(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含，〃的

代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度、分類討論思想的應(yīng)用.

（3）①根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可解答；

②根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可解答.

???￡為G4的中點(diǎn),

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（3）若M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，&ACM是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間距離公式，等腰三角形的

定義，三角形面枳計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

國(guó).【典型例題九二次函數(shù)綜合一一特殊四邊形】

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

?.?拋物線的頂點(diǎn)在線段A8上運(yùn)動(dòng)，開口向上，

的橫坐標(biāo)的最大值為3,故③正確；

，正確的是①③④，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，根與系數(shù)

關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，要注意頂點(diǎn)在V軸上的情況和頂點(diǎn)分別在A8兩點(diǎn)的情況.

【答案】D

【詳解】解：如圖，設(shè)ED交BG于點(diǎn)H,

???；/的橫坐標(biāo)為正

3

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，

求得點(diǎn)〃的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【例3】(2324九年級(jí)上?浙江溫州,階段練習(xí))如圖，拋物線.產(chǎn)一F+4x+c交y軸正半軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作

AC〃工軸交拋物線于另一點(diǎn)C,點(diǎn)8在x軸上，點(diǎn)。在AC上方的拋物線上.當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，則

c的值為.

D

【答案】4

【分析】先配方求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)得。坐標(biāo)，從而得出關(guān)于。的方程,

求解即可.

令尸0,則產(chǎn)c

/M(0,c)

連接BD,

???4C〃x軸交拋物線于另一點(diǎn)C,

軸，且。8在拋物線的對(duì)稱軸上

，3（2,0）

，D（2,2c）

.*.4+c=2c

解得，c=4

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【分析】據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物

線解析式可求出m,n之間的關(guān)系式.

【詳解】解：???直線OA的解析式為：y=2x,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m,n）,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（gn,n）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m,2m）,

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（Jn,2m）,

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，矩形的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題需要同學(xué)們能理

解矩形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

0變式訓(xùn)練

(1)點(diǎn)4和點(diǎn)B坐標(biāo)分別為和

四邊形APBQ的是一種特殊的四逅形，它是_____,內(nèi)的解析式為

⑵當(dāng)點(diǎn)。到x軸的距離為4時(shí)，

①求，〃值和此時(shí)四邊形APBQ的面積.

?.?點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，

如圖,

則P。是拋物線的對(duì)稱軸，

二P。平分A8,

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)畫出圖形根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

(2)???點(diǎn)廠為拋物線上一點(diǎn)，

當(dāng)以A,B,E,b為頂點(diǎn)的四邊形是以A8為邊的平行四邊形時(shí)，

(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)及對(duì)稱軸/；

(2)當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組即可求解.；當(dāng)AC或4。為對(duì)角線時(shí)，同理可解：

本題考杳了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等，掌握知識(shí)點(diǎn)得應(yīng)用及分類討論是解題

的關(guān)鍵.

(2)解：存在，理由：

當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，

當(dāng)NC或0。為對(duì)角線時(shí)，同理可得：

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(3)若M為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M、N使點(diǎn)A、。、M、N為平行四邊形？如

果存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

①當(dāng)線段AC為平行四邊形的邊時(shí)，則AM與CM為平行四邊形的對(duì)角線，如圖所示，

或當(dāng)點(diǎn)M在N下方時(shí)，則AN與CN為平行四邊形的對(duì)角線，如圖所示,

②當(dāng)線段4c為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則AC與MN為平行四邊形的對(duì)角線，如圖所示,

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與線段、特殊四邊形綜合問(wèn)題，掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

厚【典型例題十二次函數(shù)綜合一一相似三角形問(wèn)題】

【答案】C

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識(shí)、相似三角形的性質(zhì)及求角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)二次函

數(shù)解析式得到對(duì)稱軸，得到A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到參數(shù)的等量關(guān)系式，最后根據(jù)射影定理得到線段的等量

關(guān)系求解參數(shù)，然后根據(jù)求角的三角函數(shù)值求解即可.

【例2】（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，沿A->BTC方向運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EF_LAE交CD于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x,CF=y,如圖2所表

示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，給出下列結(jié)論：①a=3；②當(dāng)CF=；時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為?或g

9

或；，則下列判斷正確的是（）

A.①②都對(duì)B.??都錯(cuò)C.①對(duì)②錯(cuò)D.①錯(cuò)②對(duì)

【答案】A

【詳解】解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

當(dāng)E在BC上時(shí)，如圖，

DFC

O

YE作EFJ_AE,

AAABE^AECF,

解得ai=3,az=y（舍去），

,79

解得X[=],X2=-,

當(dāng)E在AB上時(shí)，此時(shí)，

故①?正確，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，弄清題意，正確畫出符合

條件的圖形，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

如圖，

B

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,相似三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)，綜合運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合知識(shí)運(yùn)用，主要三角形相似、勾股定理運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn),掌握分類討論思想是

解答本題的關(guān)鍵.

0變式訓(xùn)練

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握相似三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

,這時(shí)矩形花壇的兩條鄰邊的長(zhǎng)分別為6米和12米.

（2）解：不能，理由如下:

故矩形花壇的面積不能占空地面積的系

y

ox

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線匕并且位于對(duì)稱軸的右側(cè),

V

???直線AG與拋物線的交點(diǎn)（不是A）即為點(diǎn)夕的一個(gè)位置,

如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸和點(diǎn)Q分別作直線OE的垂線.垂足分別為W、V,

???點(diǎn)Q在直線上，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與兒何綜合，

平行線分線段成比例定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

(1)若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是【1，62］，將此函數(shù)的圖象先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得

到一個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是:

【答案】⑴［1,-4,-11

【分析】(1)根據(jù)新定義得出二次函數(shù)的解析式，然后寫成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律求解即可；

(2)根據(jù)新定義得出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律求解即可；

???其“特征數(shù)”是［1,-4,-1］,

故答案為：［1,-4,-11;

當(dāng)P在A的左側(cè)時(shí)，

由對(duì)稱性知，P'和P關(guān)于y軸對(duì)稱，

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，相似

三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，理解新定義，合理分類討論，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）如圖I,求。與力的值:

（2）如圖2,點(diǎn)2在第一象限拋物線上，連接AP交），軸于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為/,線段CO的長(zhǎng)為d,求

d與，的函數(shù)解析式（不必寫出自變量/的取值范圍）；

???點(diǎn)M為1尸的中點(diǎn),

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元

二次方程的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，較難的是題（3）,通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形

和直角三角形是解題關(guān)鍵.

國(guó).【典型例題十一二次函數(shù)綜合一一周長(zhǎng)問(wèn)題】

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

③根據(jù)平移的公式求出平移后的解析式便可；

如圖，

綜上所述，正確的結(jié)論是①@④.

【詳解】解：令a*+法,

/.—=n-1,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得P的橫坐標(biāo)，表示出PM、PN

???拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,

7

???點(diǎn)4的縱坐標(biāo)是:，

4

故答案為：12.

0變式訓(xùn)練

【分析】本題考