3.1勾股定理的探究蘇科版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級上冊同步練習(xí)

分?jǐn)?shù)：120分考試時間：120分鐘命題人：

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，在mA8C中，AB=AC,力。是/B4C的平分線.已知48=5,AD=3,則BC的長為（）

2.利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖.觀察圖形，可以驗證公式

A.(a+A3—b)=a2—b2B.(a+b)2=a2-2ab+b2

C.c2=a2+b2D.(a—b)2=a2-2ab4-b2

3.如圖，我國占代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（占人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對仝等

的直角三角形.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.若Q=3,b=4,則該三角形的面積

為（）

A.10B.12

4.利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖，在用弦圖驗證勾股定理

時，用到的面積相等關(guān)系是（）

A.S△ABH=S正力於EFGH

B.S浮ABCD—S正方彩EFGH

C.S正.方垠EFGH+4s△ABH=S正方,ABCD

D.2S△ABH=S正方同ABCD-S防比FGH

5.如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形/BCD和正方形EFG，，連接4C,分別交EF,GH于點M,N.己

知HH=3DH,正方形力8co的面積為24,則圖中陰影部分的面積之和為（）

BC

A.4B.4.5C.4.8D.5

6.已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和4mV幾），過銳角頂點把該紙片剪成兩個三角形.若這

兩個三角形都為等腰三角形，則下列結(jié)論正確的是（）

A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn+n2=0

C.m2+2mn—n2=0D.m2—2mn—n2=0

7.如圖，在等腰直角三角形4C8中，/.ACB=90°,AC=BC,WAB2=8,以邊AB,AC,8c為直徑畫半

圓，所得兩個月形圖案和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和為（）

A.8B.4C.2D.1

8.如圖，在團4BC中，AACB=90°,分別以團ABC的邊AB,BC,4C為新的直角邊或斜邊向外作等腰直角

三角形4B八等腰直角三角形8EC和等腰直角三角形/WC.記Z4B凡^BEC,團ADC的面積分別是工，S2,

S3,則S1，S2,S3之間的關(guān)系是（）

：：

A.S[VS?+S3B.Si=§2+S3C.Si>S2+S3D.Si=S2+S3

9.設(shè)Q,b是直角三角形兩條直角邊的長.若該三角形的周長為6,斜邊的長為2.5,則好的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

10.如圖，在RtEMBC中，AB=6,BC=8,4D為的平分線，將團力DC沿直線4D翻折得到團

則DE的長為（）

A.4B.5C.6D.7

11.如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2所示的方式放

置在最大的正方形內(nèi).若已知圖中陰影部分的面積，則?定能求出（）

A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積

C.較小的兩個正方形重疊部分的面積D.最大正方形與直角三角形的面積之和

18.（本小題8分）

第卜四屈國際數(shù)學(xué)教育大會（/CME-14）于2021年在上海舉辦，其大會標(biāo)識（如圖1）的中心圖案是趙爽弦圖

（如圖2）,它是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理而創(chuàng)制的一幅圖，其證明思路是用不同的方式表示同一

圖形的面積可以解決線段長度的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，請你用等面積法探究下列問題:

（1）如圖2是趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形，請

用它驗證勾股定理：c2=M+b2；

（2）如圖3,在中，乙4cB=90°,CO是48邊上的高，AC=4,BC=3,求的長度.

19.（本小題8分）

如圖，在中，AC工BD于點C,點、E為A（:上一點,連接BE,DE,DE的延長線交48于點F,已知

DE=AB,Z.CAD=45°.

(1)求證：DFLAB.

（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明.已知：如圖，在△力BC中，乙1C8=9O。，BC=a,AC=

b,AB=c,求證：a2+b2=c2.

20.（本小題8分）

【項目主題】探究斜三角形的三邊數(shù)量關(guān)系.

①②

【項目任務(wù)】

（1）任務(wù)一：如圖①，在鈍角三角形中，44cB是鈍角，^CAB,^CBA,乙4cB的對邊分別為a,b,

c,過點C作CB的垂線并截取CO=&4,連接BD,AD,通過構(gòu)造Rt△BCD得到a?+/=鳥。？，從而將問

題轉(zhuǎn)化為比較圖中線段AB和80的大小，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，再從角的大小關(guān)系不難得出乙4DB>

"AB,最后可得到結(jié)論/+〃。2.（填“>”“V”或“=”）

（2）任務(wù)二：如圖②，△48C是銳角三角形，且是最大角，Z/1,乙B,乙C的對邊分別是a,b,c,猜想

b2+c2。2（填“v”或“=”），并說明理由.

（3）仟務(wù)三：①三功長分別為4.5.7的三角形是：（填“百角三角形”“銳角三角形"或''鈍角三角

形”）②已知銳角三角形的兩邊長分別為3和5,則第三條邊長m的取值范圍是.（請直接寫出結(jié)果）

21.（本小題8分）

如圖，在△A8C中，AB>AC,AD是BC邊上的高，將△4DC沿4D所在的直線翻折，使點C落在BC邊上的

點E處.

(1)若48=20,AC=13,CD=5,求的面積;

(2)求證：AB2-AC2=BE-BC.

22.（本小題8分）

如圖，在團A8D中，4C1BD于點C,E為AC上一點，連接BE,DE,DE的延長線交4B于點F.已知DE=

AB,Z-CAD=45°.

BCD

(1)求證：⑦ABC三國DEC.

0DFAB.(填位置關(guān)系，這個結(jié)論可以直接用于證明過程)

(3)利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明.

已知：如圖，在團ABC中，乙4cB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：Cl?+〃=C2.

23.(本小題8分)

如圖，團/1C8和團。CE均是等除百角三角形，Z.ACB=Z.ECD=90°,D為功AB上一點.

(1)求證：^ACE^BCD.

(2)若40=5,BD=12,求DE的長.

24.(本小題8分)

如圖，在乙/BCD中，DE1BC于點E,延長C8至點F,使得=CE,連接力凡DF.

(1)求證：四邊形4DE9是矩形.

(2)若力8=3,DF=4,DF1CD,求DE的長.

25.(本小題8分)

如圖，在菱形力BC。中，對角線4c與80相交于點0,2840=60。，80=6,求對角線AC?

答案和解析

1.【答案】C

【解析】???AB=4C，4。是乙B4C的平分線，,BC=2BD,ADLBC,AZ/1D5=90°,-AB=5,AD=

3,二BD=4,BC=2BD=8.

2.【答案】C

【解析】略

3.【答案】B

【解析】略

4.【答案】C

【解略

5.【答案】C

【解析】?:S正方形ABCD=24,AA32=24,設(shè)04=x,則4H=3DH=3x,

x2+9x2=24,Ax2=^=當(dāng)根據(jù)題意可知力E=CG=DH=x,CF=AH=3x,

JLUO

???FE=FG=CF-CG=3x-x=2x,:.S^FGN=2SACCA/.

v=S&cGN，?'S^FGN=+S^cGN，二陰影部分的面積之和為

s梯形NGFM=g(NG+/M)?FG=\{EM+MF)?FG=\FE?FG=1-(2x)2=Zx2=y=4.8.

故選C.

6.【答案】C

【解析】如圖，剪成一個腰長為小的等腰直角三角形和一個腰長為的等腰三角形.由題意，得加2+

222222

m=(n—m)t即27n2=n—2mn+m,:.m+2mn—n=0.

mn-m

7.【答案】C

22

【解析】提示：由題意，易得AC=8C=2.所以陰影部分的面積之和為7T（竿）+SAACB—呆償）=萬+

2-n=2.

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】D

【解析】略

10.【答案】B

【解析】提示：在RHABC中，由勾股定理，得4c=10.由折整，得4E=4C=10,所以BE=4.設(shè)。E=

x,則8。=8。-0。二8。-0￡=8—心在/?亡48。￡中，由勾股定理，得(8—無>+42=/,解得％=5.

所以O(shè)E的長為5.

11.【答案】C

【解析】提示：設(shè)直角三角形的斜邊長為C，較長直角邊為b，較短直角邊為Q.由勾股定理，得C2=Q2+

b2,陰影部分的面積為C?一爐一Me一匕)=。2-QC+Qb=Q(a+b-C).由題圖可知，較小兩個正方形重

疊部分的寬為a-(c-b),長為Q,則面積為a(a+b-c).所以若已知題圖中陰影部分的面積，則一定能求

出較小兩個正方形重者部分的面積.

12.【答案】C

【解析】解：由折疊的性質(zhì)得：AB=AD=2,ED=EC,^ADB=ZF,"DC=",

vZ.BAC=90°,

:.NB+4C=90°,

:.Z.ADB+乙EDC=90°,

:./.ADE=90°,

在中，由勾股定理得：AC=>JBC2-AB2=J(\T13)2-22=3,

設(shè)4E=x,則C￡=ED=3-x,

在At△/WE中，由勾股定理得：AD2+ED2=AE2,

即22+(3—刈2=/,

解得：x=^,

故選：c.

先由折疊的性質(zhì)得出=力。=2,ED=EC,AADB=^B,乙EDC=￡C,推出=90。，再由勾股

定理求出AC=3,設(shè)4E=x,貝iJCE=ED=3-刈然后由勾股定理列出方程，解方程即可.

本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】12

【解析】如圖，取8。的中點0,連接40.???4B=4C=5,BC=6,AAD1BC,BD=^BC=3,

AD=7AB2-BD?=4,.?甩ABC的面積=1x6x4=12.

14.【答案】4

【解析】如圖，連接BE,DE.

v/.ABC=Z.ADC=90°,E是對角線AC的中點,

ABE=^AC,DE=^AC.-AC=10,:.BE=DE=S.

過點E作_L80于點F',則V是線段8。的中點，.?.89=^8。="x6=3.

在AtAqEF'中，由勾股定理，得EF'=7RE?-BF'?=4.

由“垂線段最短”知，線段EF的最小值為E/的值，即為4.

15.【答案】210

【解析】提示：根據(jù)勾股定理,得a?+〃=。2,則Q一Q）（C+a）=/，即49（c一a）=匕?.因為a,b,c

都是整數(shù)，所以可設(shè)b=7zn（m取1,2,3...）.當(dāng)m=3時，a=20,b=21,c=29；當(dāng)m=5時，Q=

12,b=35,c=37.故直角三角形的面積為210.

16.【答案】45。

【解析】提示：連接40，設(shè)小正方形的邊長均為1.根據(jù)勾股定理，得4）2=12+32=10,CD2=12+

32=10,AC2=22+42=20,所以40=CO,力。2+。。2=所以△力。。是等腰直角三角形，且

AADC=90°,Z.DAC=Z.ACD=45°.^AB//DE,所以+乙力OE=180°,所以+ZTOE=

180°-{/-ADC+wAC）=45°.

17.【答案】由題意，圖中的四邊形"E。為直角梯形，△BO/1為等腰直角三角形，Rt^ABC=Rt^

BDE.

設(shè)梯形4CED的面積為S,

則S=1(a4-b)(Q+8)=；(Q2+b2)+ab.

又S=SR^BDA+2SRBABC=1c2+2x^ab=1c24-ab,

二1(a2+Z)2)+ab=1c2+ab,:.a2+b2=c2.

【解析】略

18.【答案】解：（1）如圖1,

?.?正方形為BCD的面積=AB2=c2,且正方形力BCD的面積=4個全等的直角三角形的面積+一個小正方形的

面積=gabx4+3-a)?,

???^abx4+(b-a)?=。2,

整理得c?=a2+Z?2；

(2)二?在丸08。中，乙4c8=90。，AC=4,BC=3,

:.AB=y/AC2+BC2=V42+32=5.

???是4B邊上的高，

11

-S^ABC=^AC-BC=^ABCD,

Ix4x3=ix5-CD,

ACD=y.

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

19.【答案】【小題1】

,:AC工BD,/.CAD=45°,：,AC=DC,Z.ACB=Z.DCE=90°.

在At△ABC^jRt△DEC^,{(￡:眈：-Rt△ABC空R￡△DEC(HL),

AZ.BAC=Z.EDC.v乙EDC+Z.CED=90°,4CEO=/.AEF,

/.AEF+AC=90°,Z/1FE=90°,ADF1AB.

【小題2】

由Rt△ABC三Rt△DEC,得BC=EC=a,AB=DE=c,AC=CD=b.

'JS^BCE+SAACO=^hABD一S^ABE，

222

A1a+ib=1?c-DF-1?c?FF=1?c?(DF-EF)=1-c-DF=1c,

:，a2+b2=c2.

【解析】1.略

2.略

20.【答案】【小題1】

<

【小題2】

>理由：過點4作4c的垂線并截取AM=48=c,連接BM,CM,

如圖，在RtaMAC中，Z,MAC=90°,則4M2+力。2=用。2,

vAM=AB,:.Z,AMB=4ABM>乙BMC.

?；/MBC>乙ABM,???乙MBC>4BMC,

.?.在AMBC中，MC>BC,即MC2>BC2,即爐+。2>。2.

【小題3】

鈍角三角形

4Vm<>/~34

【解析】1.

過點C作CB的垂線并截取CD二乙4,連接8。，AD,

在KtABCO中，。2+匕2=8。2,?.?力。=。。，.../_ADC=Z.CAD,/./.ADC>Z.DAB.

22222

vZ.ADB>Z.ADC,AZ.ADB>Z.DABf；.AB=BD,c>BD,a+b<c.

2.略

3.

?vV42+52=/44</72=/49,.?.為鈍角三角形.

②當(dāng)銳角三角形的兩短邊長分別為3和5,則第三邊小于，32+52=/34；

當(dāng)銳角三角形的短邊長為3,長邊長為5,則第三邊大于052—32=4；

則第三條邊長m的取值范圍是4<m</34.

21.【答案】【小題1】

???力。是邊上的高，/.Z.ADB=LADC=90°.

在Rt△力DC中，-AC=13,CD=5,>4D2=/1C2-CD2=122,A=12.

在Rt△4D8中，AB=20,4。=12,.?.8。2=482-力。2=162,...8/)=16,

???BC=BD+CD=16+5=21,AS“BC=?4。=；x21x12=126.

【小題2】

?.?△人。。沿力。所在的直線翻折得到4409,，4(?=4￡,DC=DE.

在△力DC中，由勾股定理，^AC2=AD2+DC2,

在RtA/lDB中，由勾股定理，^BD2=AB2-AD2,

???AB2-AC2=AB2-(AD2+DC2)=AB2-AD2-DC2=BD2-DE2=(BO-DE)(BD+DE).

???BE=BD-DE,BC=BD+DC=BD+DE,：,AB2-AC2=BE?BC.

【解析】1.略

2.略

22.【答案】【小題1】

證明：因為4clBO,所以44cB=N4CD=90°.因為N&4O=45°,所以N/WC=90°—4&4D=45°=

ZC4D,所以AC=OC.又因為48=DE,^XRt0ABC/?t0DEC(HL).

【小題2】

1

【小題3】

證明：因為由ABC三團DEC,所以DE=AB=c,DC=AC=b,EC=BC=a.由題圖，得S留影=5四”+

S@XCD=s團9-S回A8E，所以匏C?EC+^AC-DC=\AB?DF-^AB?EF=\AB-(OF-EF)=\AB-

DE,即療+就2=齊，所以M+b2=c2.

【解析】1.略

2.略

3.略

23.【答案】【小題1】

證明：因為mAC8和團DCE均是等腰直角三角形，￡ACB=^.ECD=90°,所以AC=BC,EC=DC,所以

AC=BC,

乙DCB=Z.ACB-Z.ACD=乙ECD-Z.ACD=4EC4在回力CE和圖BCD中,Z.ECA=所以21ACE=0

EC=DC,

BCD（SAS）.

【小題2】

解：由（1）知團ACE空團BCD,所以4E=8D