高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)空間向量基本定理及坐標(biāo)表示

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?新吳區(qū)校級(jí)期末）如圖，空間四邊形O48C中，OA=a,OB=b,OC=c,^OM=

2M4,BN=NC,則等于()

1T1-

B.-a+-0--c

222

2-*L1-?1T2-1T

C.-@0+28+2cD.-a--b+-C

2.（2024秋?牡丹江期末）如圖,已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線OB.AC,M,N分別是對(duì)邊

OA,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且GN=2MG,現(xiàn)用向量&,0B,云表示向量左，設(shè)左=

A111D111

A.X=g/y=W，Z=3B-X=g/y=w，z=6

c^.x=13，y1=—1=GDnj=&，1y=31'Z=w1

3.(2025春?蘭州期中)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3,1)、8(4,1,-2)、C(6,

3,7),則△ABC的重心坐標(biāo)為()

77147

A.(6,3)B.(4,2)C.(8,——，4)D.(2,一，1)

2336

4.(2025春?高郵市期中)已知向量展=(-1,2,1),b=(2,x,y),且展|R,那么2x+)=()

A.-10B.-2C.2D.10

5.(2025春?高郵市期中)對(duì)于空間中任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,能得到點(diǎn)P在平面A8C

內(nèi)的是()

A.AP=20A+OB-OCB.PB=OA+OB+OC

C.CP=2OA+3OB-5OCD.AB=2AP+OC

6.（2025春?張掖校級(jí)期中）如圖，在正三棱錐P-/WC中，點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)M是線段

PG上的一點(diǎn)，且PM=3MG,記/=ZPB=b,PC=c,貝ij幾f=（）

P

c

3T1T13t1T1T

--a+-b+-B-a+-b+-c

A.444434

1t1T11s1T1

匕

十

-a+-d+-D--十-

444434

7.（2025?宿遷一模）若2+匕=（-2,—1,2）,Z—b=（4,—3,—2）,則鼠匕等于（）

A.-5B.-1C.5D.7

8.（2025春?鹽城月考）若1=（1,2,-1）,b=（-1,3,2）,則0+小?日一2小=（）

A.25B.-25C.-29D.29

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025春?鹽城校級(jí)期中）關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

B.若：4>0,則在1是銳角

C.己知向量組向b,?是空間的一個(gè)基底,則｛22b,"一辦也是空間的一個(gè)基底

T2T1T1

D.已知A,B,。不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若OP-總。4+段⑶+6。。，則尸，人，氏。四

點(diǎn)共面

(多選)10.(2024秋?三明期末)設(shè)x,.vWR,向量3=(%,2,2)/=(2,y,2)二=(3,-6,3),

且bII",則下列正確的（）

A.x=2B.y=4

-*T1

C.十=6D.cus(u,i;)=

（多選）11.（2025?河北開學(xué)）已知空間中三個(gè)向量Z=（1,2,-1）,6=（1,-2,3）,c=

(-2,1,1),則下列說(shuō)法正確的是()

A.\a\=瓜

B.(a+c)1b

"*T111

C.b在c上的投影向量為(同，—式，—z)

OOO

D.cos{a,b)=—

(多選)12.(2024秋?青島校級(jí)期末)已知空間四點(diǎn)。(0,0,0),4(0,1,2),/?(2,0,-

1),C(3,2,1),則下列說(shuō)法正確的是()

A.OB-BC=0

-*-7

B.cos{OA/OB)=-,p

C.點(diǎn)。到直線4c的距離為遙

D.O,A,B,C四點(diǎn)共血

三.填空題(共4小題)

13.(2025春?合肥校級(jí)期末)平面向量的基本定理：如果3、扇是平面上兩個(gè)不平行的向量，那么

該平面上的任意向量工存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)入、u使得Z=/lA+〃屆.類推得到空間向量的基

本定理：如果3、1、后是，那么對(duì)空間中的任意向量之，，

使得.

14.(2025春?張掖校級(jí)期中)已知向量之二(-2,3,5),b=(1,一2,0),則向+

2b\=.

15.(2025春?江蘇校級(jí)期中)已知2=(3,2,-1),b=(2f1,2),當(dāng)(證+7)±(a-2b)

時(shí)，實(shí)數(shù)上的值為.

16.(2025春?楊浦區(qū)期中)已知長(zhǎng)方體AIBICIQI,如圖建系，若的坐標(biāo)為(4,3,2),

四.解答題(共4小題)

17.(2025春?江蘇校級(jí)月考)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),8(1,4,6),C(1,5,5).

(1)若向量k而一元與后互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)求以A8,4C為鄰邊的平行四邊形的面積.

18.(2025春?興化市校級(jí)月考)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),8(1,4,6),C(1,5,5).

(1)若向量攵n-晶與后互相垂直，求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)求以48,4C為鄰邊的平行四邊形的面積.

19.(2024秋?松江區(qū)校級(jí)期中)己知空間中的三點(diǎn)P(l,0,0),M(0,1,0),N(0,-1,0),

a=PM,b=PN.

(1)當(dāng)kl+b與k：一b垂直，求女的值；

(2)求△PMN的面積.

20.(2024秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中)已知向量：二(0,2,3),b=(-2,4,6),c=(8,x,-3).

(1)若向量展與3+k?垂直，求實(shí)數(shù)A的值；

(2)若向量Zb和聯(lián)是共面向量，求實(shí)數(shù)x的值.

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)空間向量基本定理及坐標(biāo)表示

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?新吳區(qū)校級(jí)期末）如圖，空間四邊形OA8C中，0A=a,OB=b,0C=c,且OM=

2M4,BN=NC,則疝等于（）

ITLIT

B.-a+~b--c

222

2T1T1T

c-Q+-b+-cIT2-*I-

322D.-a--b+~c

232

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解?.

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，用后、兀和江表示出心即可.

【解答】解：由題意知，MN=MA+AC+CN

=10A+（OC-OA）+^CB

2

-OA+OC+^(OB-OC)

3

-^20TA+^10B+1^0一C

?乙乙

2t

-a

3+Kb+5C.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

2.（2024秋?牡丹江期末）如圖，已知空間四邊形0ABC,其對(duì)角線OB,AC,M,N分別是對(duì)邊

。4,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且GN=2MG,現(xiàn)用向量0B,辰表示向量設(shè)左=

xOA+yOB+zOC,則乂p,z的值分別為（）

^111八111

C.%=歹y=&，z=GD.x=6>y=3>z=w

【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解..

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，即可求解.

【解答】解：GN=2MG,M,N分別是對(duì)邊O/bBC的中點(diǎn)，

則0G=0M+MG=OM+&MN=0M+?(0N—0M)=+尚(08+OC)=^OA+^OB+

?3DD。OO

1T

IOC，

O

0G=xOA+yOB+zOC,

則％=］，y=Irz=N故C正確.

aoo

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2025春?蘭州期中)己知△人8c的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3,I)、8(4,I,-2)、C(6,

3,7),則△ABC的重心坐標(biāo)為()

77147

A.(6,3)B.(4,2)C.(8,——，4)D.(2,1)

2336

【考點(diǎn)】空間向星運(yùn)算的生標(biāo)表示.

【專題】空間向量及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】利用三角形的重心坐標(biāo)公式即可得出.

【解答】解:△ABC的重心坐標(biāo)為產(chǎn)社押=4,產(chǎn)駕至2=±亨±=2.

7

J△ABC的重心坐標(biāo)為(4,3,2).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2025春?高郵市期中)已知向量之=(-1,2,1),b=(2,x,y),且3IIb,那么2x+y=()

A.-10B.-2C.2D.10

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法：空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解..

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量共線定理得出x,卜代入計(jì)算即可.

-121

【解答】解：由題意可得，——=一=一，即％=?%)，=?2,

2xy

那么2x+y=-8-2=-10.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2025春?高郵市期中)對(duì)干空間中任意一點(diǎn)O和不共線的二點(diǎn)A.R,C,能得到點(diǎn)〃在平面ARC

內(nèi)的是()

A.AP=2OA+OB-OCB.PB=OA+OB+OC

C.CP=2OA+3OB-5OCD.AB=2AP+OC

【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法：空間向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,當(dāng)點(diǎn)。滿足：OP=xOA+yOB+zOC,

且x+y+z=l時(shí)，可得出點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，根據(jù)這個(gè)性質(zhì)逐項(xiàng)用小,晶和流:表示向量6k滿

足x+y+z=l的即為正確選項(xiàng).

【解答】解：A.OP-OA=2OA^OB-OC,所以/=3&+后一品，3+1?121,所以點(diǎn)P

不在平面ABC內(nèi)，A錯(cuò)誤；

B.OB-OP=OA+OB+OC,所以方=一后一品，-1-1^1,所以點(diǎn)尸不在平面48。內(nèi)，B

錯(cuò)誤：

C.OP-OC=2OA+3OB-5OC,所以辦=2OA+4OB-5OC,2+4?5=1,所以點(diǎn)P在平面ABC

內(nèi)，。正確：

TTTTT1T1Tli1

D.OB-OA=2(OP-OA)-FOC,所以。戶=掾。4+今。8-5。。，一+一—一。1,所以點(diǎn)夕不在

乙//222

平面A8C內(nèi)，Z）錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件，向量的數(shù)乘運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

6.（2025春?張掖校級(jí)期中）如圖，在正三棱錐P-A8C中，點(diǎn)G為△A3C的重心，點(diǎn)M是線段

尸G上的一點(diǎn)，且PM=3MG,記=ZPB=bfPC=c,則=（）

3t1T1T3T1f1T

-a+-b+-c-Q+-b+-c

A.-444B.434

C.-4a+4^+4CD--4a+3b+4c

【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】4

【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算將所求向量用基底值，b,"｝表示化簡(jiǎn)即得.

因G為△A3C的重心，PA=a,PB=h,PC=c,

T2f21T1fTTf1-TT

故4G=^AD=/x1(4C+4B)=)(PC-PA+PB-PA)=/(c+b-2a),

又PM=3MG,

TTTT[TT1T[T

故AM=AG+GM=AG+j4(G、A+AP)/=-^4PA+^4AG

]T31TTT3-1-*1-?

=—^a+^XgC^+c—2a)=一彳。+/+4c.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題土要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2025?宿遷一模)若N+Z=(-2,-1,2),a-/?=(4,-3,-2),則[1等于()

A.-5B.-1C.5D.7

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想：定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】4

【分析】先求出京b,再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【解答】解：?；a+b=(—2,—1?2)>a—b=(4,—3,—2)?

/.a=(1,-2,0),b=(-3?1,2)>

.\a-b=-3-2+0=?5,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2025春?鹽城月考)若1=(1,2,-1),b=(-1,3,2),則—+力)?(：-21)=()

A.25B.-25C.-29D.29

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】先根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則分別求出之+：與2了的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的

坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【解答】解：a=(l,2,-1),b=(-1,3,2),

所以2d=2(-1,3,2)=(-2,6,4),；+。=(0,5,1),

所以2]=(3,-4,-5),

故G+b)?(a-2b)=0x3+5x(-4)+1x(-5)=0-20-5=-25.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量數(shù)量枳的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2025春?鹽城校級(jí)期中)關(guān)于空間向量，以卜說(shuō)法正確的是()

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

B.若aYAO,則〈a,b)是銳角

C.已知向量組｛乙b.2｝是空間的一個(gè)基底，則｛2乙1,工一展｝也是空間的一個(gè)基底

D.已知A,B,C不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若。尸二為4+五。8+盤。。，則P,A,B,C四

oo

點(diǎn)共面

【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；空間向量的共線與共面.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷A；根據(jù)聯(lián)工>0可得0W區(qū)，判斷8；運(yùn)用反證法

思想說(shuō)明2Zb,展-之不共面即可判斷C；根據(jù)空間向量共面定理的推論即可判斷。.

【解答】解：根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一

定共面?，故A正確：

對(duì)于從由a?b>0,則OW(a,b)故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,假設(shè)2a,b,c—a共面，則存在入，pwR,b=2?2a+〃(c-a)=(2%一〃)a十〃c,

因向量組｛Zb,"｝是空間的一個(gè)基底，故不存在入，咋R使得b=(24-4而+成立.

故假設(shè)不成立，｛2a,b,2-否不共面，即｛2力b,2-不也是空間的一個(gè)基底，故C正確；

T[T[T]T311

對(duì)于。，因0P=z。4+n08+五。。，且二+二+二=1,故P,A,B,。四點(diǎn)共面，即。正確.

488488

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)10.(2024秋?三明期末)設(shè)羽)，€R,向量2=(%,2,2),6=(2,y,2),?=(3,一6,3),

且2_L”，b||7,則下列正確的()

A.x=2B.y=4

C.|a+=6D.cos｛a,b)=1

【考點(diǎn)】空間向最線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】由條件結(jié)合垂直向量的坐標(biāo)表示和平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求九，山進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：因?yàn)槎=(x,2,2),c=(3,一6,3),所以3x72+6=0,所以x=2,A

正確；

對(duì)于8,因?yàn)閎IIc,b=(2,y,2),c=(3,-6,3),所以;=~~=~^所以)=~4,B錯(cuò)誤；

3—63

對(duì)于C,Q=(%,2,2),b=(2,y,2),可得Q+b=(4,-2,4),所以區(qū)+b|=

V42+(-2)2+42=6,C正確；

對(duì)于。，a,b=2x2+2x(-4)+2x2=0,

貝kosV1>=0,。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)11.(2025?河北開學(xué))已知空間中三個(gè)向量Z=(1,2,-1),b=(1,一2,3),c=

(一2,1,1),則下列說(shuō)法正確的是()

A.|a|=V6

B.(a+c)1匕

C.；在之上的投影向量為二,-I)

OOO

D.cos{a,b)=—

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可依次求解.

【解答】解:3=(1,2,-1),

則|a|=V1+44-1=V6r故A正確；

向量日=(1,2,-1),c>=(-2,1,1),

則3+2=(-1,3,0),

1=(1,-2,3),

則日+辦工二一7看0,故8錯(cuò)誤；

b-c=-1,|c|=V44-1+1=V6,

r—1

Tfb-CC1Tl故正確;

故6在c上的投影向量為bx—=--c=(-,3,c

?|C|636

a-b=-6,\b\=V1+4+9=VT5,

TTj

故cos<a,b>=:匕=屋*=-,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬F基礎(chǔ)題.

(多選)12.(2024秋?青島校級(jí)期末)己知空間四點(diǎn)O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-

1),C(3,2,1),則下列說(shuō)法正確的是()

A.OB-BC=0

-??

B.cos{OA,OB)=-F

C.點(diǎn)O到直線BC的距離為小

D.O,A,B,C四點(diǎn)共面

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間中點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離；空間中點(diǎn)

到平面的距離；空間向量的共線與共面.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ABC

【分析】計(jì)算數(shù)量積判斷4求向量夾角判斷力利用向量垂直判斷C,根據(jù)空間向量共面定理判

斷。.

【解答】解：由題意可知，0A=(0,1,2),0B=(2,0,-1),BC=(1,2,2),

所以0%?B2=2X1+0X2+(-1)x2=0,故4正確；

又后?幾=OX2+1XO+2X(-1)=-2,\OB\=722+(-1)2=V5,\OA\=Vl2+22=V5,

—>—>

所以cosVO/1,0B>=2"=2=一看,故B正確；

\OA\\OB\15x45J

因?yàn)楹?品'=0,所以。%，品，|兀|二遮，所以點(diǎn)O到直線8C的距離為遙，故C正確；

OC=(3,2,1),

假設(shè)若。，A,B,C四點(diǎn)共面，則6B,流?共面，

設(shè)0C=X0A+y08,因0408不共線,

(2y-3

則k=2,此方程組無(wú)解，所以。，A,B,。四點(diǎn)不共面，故。錯(cuò)誤.

\2x—y=1

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

三.填空題(共4小題)

13.(2025春?合肥校級(jí)期末〕平面向量的基本定理：如果5、■是平面上兩個(gè)不平行的向量，那么

該平面上的任意向量工存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)N山使得之=兀3+〃后.類推得到空間向量的基

本定理：如果3、J、房是不共面的向量，那么對(duì)空間中的任意向量言存在唯一的一組

實(shí)數(shù)入、u、i,使得_a=Ae[+ne2+ve3_.

【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；類比推理；平面向量的基本定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】不共面的向量；存在唯一的一組實(shí)數(shù)入、H、V；a=Ae1+^e2+ve3

【分析】直接類比推理，即可得到答案.

【解答】解:平面向量的基本定理：如果3、尾是平面上兩個(gè)不平行的向量就

那么該平面上的任意向晟，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)入、a使得3=入3+卜尾，

類比平面向曷基本定理，加果或扇、1是不共面的向曷，那么對(duì)空間中的仔意向量工

存在唯一的i組實(shí)數(shù)入、4V,使得Q=福]+4與+

故答案為：不共面的向量：存在唯一的一組實(shí)數(shù)入、V；a=Ae1+ne2+ve3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了類比推理，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2025春?張掖校級(jí)期中)已知向量Z=(-2,3,5),b=(1,一2,0),則@+2&=_呼—.

【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】V26.

【分析】根據(jù)空間向量模的運(yùn)算求得正確答案.

【解答】解：向量3=(-2,3,5),b=(l,-2,0),

則3+2'=(-2,3,5)+(2,-4,0)=(0,—1,5),

所以區(qū)+2b\=V(-l)2+52=V26.

故答案為；>/26.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2025春?江蘇校級(jí)期中)已知:=(3,2,-1),b=(2,1,2),當(dāng)(比+2)±(a-2b)

時(shí)，實(shí)數(shù)女的值為6.

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解..

【答案】6.

【分析】根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系列方程求解即可.

【解答】解：因?yàn)椋?(3,2,-1),1=(2,1,2),且aZ+1)±Ca-2b),

所以(總+b)?(a-2b)=ka2—(2k-I)a*b—2b2=0,

即(9+4+1)k-(2^-1)(6+2-2)-2X(4+1+4)=0,

解得2=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

16.(2025春?楊浦區(qū)期中)已知長(zhǎng)方體A8CO-如圖建系，若的坐標(biāo)為(4,3,2),

【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】(-4,3,2).

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示可得.

【解答】解：由題意。％1=(4,3,2),故A￡>=4,48=3,831=3,

故Ci(0,3,3),A(4,0,0),

故力"=(-4,3,2),

故答案為：(-4,3,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題上要考查空向向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共4小題)

17.(2025春?江蘇校級(jí)月考)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)：8(1,4,6),C(1,5,5).

(1)若向量匕加-疝:與成互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)求以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面積.

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量枳判斷向量的共線與垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】⑴3

JLO

(2)3V3.

【分析】(1)根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求出k/而-前的坐標(biāo)，再根據(jù)己知(0履-AC)-AC=0f

解得即可求得4值.

(2)根據(jù)空間向量數(shù)量積公式AABC中角A的余弦值即cosNB/lG進(jìn)而求出sin/BAC,再由血

積公式求出S,.ABC,即可求四邊形面積.

【解答】解：(1)因?yàn)锳(0,2,3),8(1,4,6),C(1,5,5),

所以幾=(1,4,6)-(0,2,3)=(1,2,3),AC=(1,5,5)-(0,2,3)=(1,3,2),

所以A而一元=k(l,2,3)-(1,3,2)=(4-1,2k-3,3k-2),

???向量(上施一北)LAC,：.(kAB-AC)-AC=k-l+3(2Ar-3)+2(3/c-2)=0,

解得左=n-

(2)*：AB-^=1x14-2x3+3x2=13,\AB\=\AC\=Vl2+22+32=X^14,

???由數(shù)量積公式得出向量夾角余弦值，即COSNB4C=2"絲=耳,

\AB\-\AC\

^Asin^BAC=V1—cos2z.BAC=丁丁，

以/W,“為鄰邊構(gòu)成平行四邊形面積S=2LA8C,而S△也=*成|?成=gxEx

加笠=3百

:,以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=2sXABC=2x攀=373.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量線性運(yùn)算即數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2025春?興化市校級(jí)月考)己知空間三點(diǎn)A(0,2,3),3(1,4,6),C(1,5,5).

(i)若向量/MB—4c與AC互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)求以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積.

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法：空間向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解.

14

【答案】(1)不.

13

(2)3V3.

【分析】(1)根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出-前的坐標(biāo)，依題意(hG-晶)?/=0,根據(jù)

數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

(2)根據(jù)數(shù)量積公式求出三角形ABC中角A余弦值即cosNBAC,再由面積公式求出SMBC,即

可得出平行四邊形面積.

【解答】解：(1)VA(0,2,3),B(1,4,6),C(1,5,5),

：.AB=(1,4,6)-(0,2,3)=