安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末

教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=（l+i）（2+3i）,其中i為虛數(shù)單位，則z的共枕復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.己知”,〃是空間中的兩條直線,則“。人”是““向無(wú)公共點(diǎn)”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

3.設(shè)是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，若1_L5,則伍+5）7的值為)

A.-V2B.-1C.0D.I

4.某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生

中抽取容量為200的樣本，則從高一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

A.40B.60C.80D.100

5.某袋中有編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球（小球除編號(hào)外完全相同），甲先從袋中摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后放

回，乙再?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球，記卜編號(hào)，則甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是（）

3

A.B

4-?

1

C.D”

1616

6.已知力、4是單位圓O上的兩點(diǎn)（O為圓心），/AOB=120。，點(diǎn)C是線段AB上不與/、B重合的動(dòng)點(diǎn).MV

是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（)

A.B.T。

C.4'°D.總。

7.某同學(xué)為測(cè)量學(xué)校附近山上信號(hào)塔的高度力6（塔底視為點(diǎn)以塔頂視為點(diǎn)力），在山腳卜.選取了兩點(diǎn)C,

。（其中4,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)），在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)力的仰角為30。，在點(diǎn)。處測(cè)得點(diǎn)力、

8的仰角分別為6（）。、15。，測(cè)得CZ）=36（石+1）米，則按此法測(cè)得的塔高為（）

A

B

C

ED

A.67米B.72米C.74米D.76米

8.在平行六面體力3。。-44￡。|中，點(diǎn)”是上靠近4的三等分點(diǎn)，直線0M交平面4cA4于點(diǎn)N,

二、多選題

9.設(shè)樣本空間。={1,2,3,4}含有等可能樣本點(diǎn)，且4={1,2},8={1,3},C={1,4},Q={3,4},則不列說法正確

的是()

A.事件A與6為互斥事件B.事件A與。為對(duì)立事件

C.事件4瓦。兩兩相互獨(dú)立D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

10.在V/fBC中，8c=4,若點(diǎn)。滿足：JD=-AB+-ACAanZADC=l，\AD\=y/i3,則下列結(jié)論正確的

443

有()

A.CD=3BDB.AC=2

C.V44c的面積為3D.V44c的外接圓半徑為石

11.在正三棱柱44G中,AB=AAt=2tE,F,G,〃分別為網(wǎng),。。"島4G的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N在

四邊形4844內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是()

A.E,F,G,〃四點(diǎn)共面

B.尸，與BC所成角的余弦值為無(wú)

O

C.正三楂柱力的外接球表面積為言

D.若CN//平面力GG，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為石

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則|學(xué)|=

13.數(shù)據(jù)芯,吃,…/”的平均數(shù)亍=10,方差s；=20,若必=2玉+5,%=2士+5,…,”=2七,+5,則數(shù)據(jù)

必,人…,兒的平均數(shù)亨=，方差$；=

14.已知一個(gè)圓錐的表面積為2兀，則它的體積最大值為.

四、解答題

15.已知平面向量方=(1,2)方=(-1,2)忑=(3,4).

(1)求1+B與1的夾角余弦值：

(2)若他+發(fā))〃(2八與，求實(shí)數(shù)A的值.

16.某地區(qū)市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，計(jì)劃調(diào)整居民生活用電收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用電量

標(biāo)準(zhǔn)x(千瓦時(shí))：月用電量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用電情況,

通過抽樣,獲得了100位居民每人的月均用電量(千瓦時(shí))，將數(shù)據(jù)按照[0,100),[100,200),…,[600,700)分成

7卯，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

八頻率/組距

0.0030................

0.0020............

a.................——

0.0010...................

0.0005——

。16。2603^04沁Go6607Go電量/千瓦時(shí)

(1)求頻率分布直方圖中〃的值，封旦計(jì)算樣本的平均數(shù)；

(2)若該市有900萬(wàn)居民，估計(jì)全南居民中月均用電量不低于400千瓦時(shí)的人數(shù)；

(3)若該地區(qū)市政府希望使85%的居民每月的用電量不超過標(biāo)準(zhǔn)I(千瓦時(shí))，估計(jì)》的值.(結(jié)果保留整數(shù))

17.每年的3月14日為國(guó)際數(shù)學(xué)日，也被稱為“兀日”，某學(xué)校在國(guó)際數(shù)學(xué)日舉辦了“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽

共分兩輪，即每位參賽選手均須參加兩輪比賽，已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為工彳；

43

在第二輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為p、q，假設(shè)甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.若

96

甲、乙各有一輪勝出的概率為次，甲、乙兩輪都勝出的概率為五.

(1)求〃和夕的值;

(2)求甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率.

18.在V48C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,e,已知“(esinZ?+cos4)=6+c,D為邊BC上一點(diǎn)、,

且,4。=2.

題號(hào)1234567891()

答案CADBAABCBCABD

題號(hào)11

答案ACD

1.c

根據(jù)等式求出復(fù)數(shù)Z,進(jìn)而得到共輾且數(shù)彳,從而可確定其象限.

［詳解］因?yàn)閺?fù)數(shù)z=（l+i）（2+3i）=2+3i+2i_3=5i-l,

所以共知復(fù)數(shù)彳=-1-5「

所以共聊復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.

故選:C.

2.A

利用異面和平行直線的概念結(jié)合充分必要條件判斷.

【詳解】，他則。力無(wú)公共點(diǎn)，故充分性成立，

。，力無(wú)公共點(diǎn)可推得或。力是異面直線，故必要性不成立；

所以“?Hb”是“9無(wú)公共點(diǎn)”的充分不必要條件，

故選：A.

3.D

根據(jù)單位向量垂直得到入6=。，6石=1，進(jìn)而由向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出答案.

【詳解】因?yàn)橹蹬c各是單位向量，且d_L人所以萬(wàn)葦=0,且GE=1，

所以僅+5）4=小5+幾萬(wàn)=0+1=1.

故選：D

4.B

根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楦咭?、高二、高三年?jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,

所以高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)占三個(gè)年級(jí)總?cè)藬?shù)的比例為：丁工=2，

3+3+410

根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的計(jì)算方法，從高一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為：200x3^=60（人）.

故選:B.

5.A

根據(jù)（甲，乙）方法得出總的取法的結(jié)果，求得符合題意的個(gè)數(shù)，可求甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的

概率.

【詳解】甲先從袋中摸出一個(gè)球，有4種可能的結(jié)果，乙再?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球，有4種可能的結(jié)果，

如果按（甲，乙）方法得出總共的結(jié)果為：16個(gè)，

甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的結(jié)果為12個(gè)，

甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是卷=1.

164

故選:A.

6.A

根據(jù)函=函+的■，麗=的+而，利用向量的運(yùn)算可以將西.國(guó)轉(zhuǎn)化為T+就,，進(jìn)而得解.

【詳解】vZJO5=120°,工點(diǎn)C在線段上，且甌卜1,1\

?,?而存=（麗一云）.（兩_何=麗.而-（兩+麗）?灰+南

=-i+oc2=-i+|oc|2,

故選：A

7.B

設(shè)直線CO與43交于點(diǎn)區(qū)分別用力上表示出

利用C￡-Q￡=CQ解出我，再解出8E,最后出塔高即可.

【詳解】設(shè)直線CQ與交于點(diǎn)E,則力E_LC￡,

由題意，CE="E=&E,DE='￡=?AE,

tan30°tan6003

又。0=36（0+1）,^.CE-DE=CD,代入解得4E=18（3+G）,

從而。￡=18(6+1),

進(jìn)而石lanl50=OEtan(60°-451=DE^^==18^3-1,

所以塔高＜B=AE-BE=72米.

故選：B

8.C

作圖，根據(jù)線面平行的判定定理可知PW〃平面然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，M〃0N,可

DN=DQ=DDL=CC1

寸MNPQCPCP,判斷即可.

【詳解】設(shè)平面。力必與CC|交于點(diǎn)P,連接。尸交。。于點(diǎn)。，連接QM如圖:

因?yàn)椤?〃DA,CB仁平面DAM,04u平面DAM,

所以C8〃平面力4W,又。8u平面C88C，平面。4WD平面C841G=，所以C8〃PAY,

因?yàn)镸是三等分點(diǎn)，所以專=3,因?yàn)镃8u平面尸?”仁平面以4口，所以PM〃平面CB4。一

又PMu平面PDM,平面。網(wǎng)。fl平面PDM=QN,所以PM/!QN,

所啜嗤嚕唔*DN3

因此

DM4

故選:C

9.BC

根據(jù)互斥事件的定義判斷A；根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷B；根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷C；選項(xiàng)D需驗(yàn)證三

事件同時(shí)發(fā)生的概率是否等于各自概率的乘積.

【詳解】因?yàn)?8={1},即件A與6能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)；

因?yàn)镻(4C。)=0且P(A^D)=Q,即事件A與力不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生，

事件A與。為對(duì)立事件，B正確；

P(#=尸(8)=；=:，?(48)=?(出)=4，P(4)P⑻=另=!=P(AB),故44獨(dú)立；

424224

P(C)=g,P(JC)=P({1})=1,P(J)P(C)=l-=-=P(JC),故4C獨(dú)立；

P(5C)=P({1})=1；P⑻P?W：=P(BC),故8,c獨(dú)立，

4224

綜上事件4尻。兩兩相互獨(dú)立.，C正確；

選項(xiàng)D：ABC={1},故P(48C)=；,尸(4)P⑻尸(C)=S=E4,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.ABD

對(duì)于選項(xiàng)A,根據(jù)等式可變形化簡(jiǎn)求出而，區(qū)的關(guān)系，進(jìn)而可求出CD8。的關(guān)系；對(duì)于選項(xiàng)B,先根據(jù)

tanN/OC求出cosN/OC,然后根據(jù)余弦定理求出/C的值：對(duì)于選項(xiàng)C,根據(jù)勾股定理可確定/C_L4C,

進(jìn)而可求出三角形面積；對(duì)于選項(xiàng)D,根據(jù)直角三角形外接圓半徑為斜邊的一半可求出外接圓半徑.

■■■?■$―I，??―?■■■I■I?■I■■■?■—

【詳解】因?yàn)榱?。二?8+—力C,所以力。一力4二一(/。一/4),

1

而

即--

.5C所以CQ=38O,放A正確:

因?yàn)閠an乙4。。=],所以[因?yàn)閟i/NzioC+co/N/IOCnl，

3cos,/.ADC3

所以解得cosZADC=矗,

在△4。。中，因?yàn)椤！??8。=3,4。=內(nèi)，由余弦定理得，

4

AC2=AD2iDC22ACDCcosZADC=4,即/C=2,故B王確;

又因?yàn)榱Α?=402+。。2,所以力c_L8C,即C=90°,

因此SJSC=；4C?8C=4,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榱ν?彳。2+8。2=20，所以48=2逐，

4RL

因此V14C的外接圓半徑為等=石，故D正確.

故選：ABD.

11.ACD

對(duì)于選項(xiàng)A,證明石產(chǎn)〃即可證明瓦EG,〃四點(diǎn)共面；對(duì)于選項(xiàng)B,先確定"與3c所成角，然后根

據(jù)余弦定理可求出其余弦值；對(duì)于選項(xiàng)C,先由正弦定理求出外接圓半徑，然后根據(jù)勾股定理求出球的半

徑，從而求出球的表面積即可：對(duì)于選項(xiàng)D,先確定動(dòng)點(diǎn)N的機(jī)跡，然后根據(jù)勾股定理求出軌跡長(zhǎng)度.

【詳解】連接M,G”，因?yàn)橥呤?G,4分別為5&CG，4%4G的中點(diǎn),

所以E產(chǎn)//8￡,G"http://4G，從而EF//GH,故瓦尸,G,〃四點(diǎn)共面，A正確；

連接因?yàn)镋F〃BC,則為與8C所成角，

在WFE中EF=2,FH=JHC；+FC；=Vl+T=0EH=1EB；+HB；=Jl+(>/5>=2,

由入法用鈿?俎/urrHF~+FE--EH?2+4—4xll口戶處、口

由余弦定理7可n得cosZ.HFE=--------------------j=~=——.B錯(cuò)誤：

ZxHFxEF2x72x24

在等邊V/4C中，由正弦定理可得，V的外接圓半徑竺一=遞，

2sin6003

設(shè)止三棱柱的外接球半徑為/?,且球心到平面力8C的距離為1,

由勾股定理可知K=12+/=l+g=g,

所以球的表面積為4兀箱=竽，C正確；

在正三棱柱中，取力8的中點(diǎn)。，連接。&OC,Cq,

B

可知DCUGC\,AGUDB\,

又DC仁平面AGC^GCiu平面AGC^D^^平面4GC、,GAu平面AGC,,

所以O(shè)C〃平面力GC1,Dq〃平面力GG，

又因?yàn)?。C,是平面DCB、內(nèi)兩條相交直線，因此平面。(&//平面/GG,

當(dāng)點(diǎn)N在四邊形力88M內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若CW//平面力GG，

則CN在平面0c四內(nèi)，從而動(dòng)點(diǎn)N的凱跡為DB、,

又因?yàn)?qDB?+BB；=d\+4=后,所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為石，D正確.

故選：ACD.

12.1

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)2,再根據(jù)模的概念求解.

z-i

~洋洋牛至T中“

所恰卜內(nèi)

故答案為：1

13.2580

根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意數(shù)據(jù)項(xiàng),士,…,乙的平均數(shù)為元=10,方差為￡=20,

根據(jù)平均數(shù)和方差性質(zhì)可得

數(shù)據(jù)必=2再+5,必=2/+5,…,”=2x“+5的平均數(shù)歹=2三+5=2x10+5=25,

方差￡=22$2=4x20=80.

故答案為：25：80

14-1

首先根據(jù)圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系以及表面積的值求出的表達(dá)式，然后利用圓錐的體枳公式和二

次函數(shù)的性質(zhì)求出體積的最大值.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廠，母線長(zhǎng)為/，高為〃，則尸=r+"2,

因?yàn)閳A錐的表面積為2兀，所以兀/+兀”=2兀

從而/—2匚/=垃三,且OJVI.

rr

所以圓錐的體積為卜=4仃24=2用廠-，用kfr-lY,

333I2)

因此當(dāng)「=也時(shí)，體積P取到最大值

23

故答案為：

4

5(1)-

4

⑵

(1)根據(jù)向量夾角的余弦公式和向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.

(2)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式求出參數(shù)的值.

【詳解】(I)由己知，a+^=(0,4),

所以cos〈d+B,d〉=(a+b)-c0x3+4x4_4

m+E忖4xV32+425

(2)由已知，a+kc=(\+3k,2+4k)f2b-5=(-3,2),

因此由他+kc)//(2b-a),可得2(1+3k)=-3(2+44)，

4

解得〃=-§.

16.(1)。=0.0015,395(千瓦)

(2)495萬(wàn)人

(3)—567(千瓦).

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的頻率之和為1求出。的值，進(jìn)而可求得樣本的平均值.

(2)由頻率分布直方圖求出用電量不低于40()千瓦的頻率，進(jìn)而求得用電量不低于400千瓦的人數(shù).

(3)根據(jù)百分位數(shù)的公式求出85%百分位數(shù)，進(jìn)而可求得丫的值.

【詳解】(1)由頻率之和為1,可得(0.0005+0.001x3+。+0.002+0.003)x100=1,

解得。=0.0015,

樣本的平均數(shù)為：

50x0.05+150x0.1+250x0.1+350x0.2+450x0.3+550x0.15+650x0.1=395(千瓦).

(2)由圖可得，用電量不低于400千瓦的頻率為0.3+0.15+0.1=0.55,

故全市居民中月均用電量不低丁400T瓦的人數(shù)為900x0.55=495萬(wàn)人.

(3)由圖可得,前5組的頻率之知為0.05+0.率2+0.2+0.3=0.75,

前6組的頻率之和為0.05+0.1x2+0.2+0.3+0.15=0.9,

設(shè)第85百分位數(shù)為x,則xw[500,600),

故0.75+(x-500)x0.0015=0.85,

解得x=567(千瓦).

34

17.(l)p=J=g

223

⑵麗

（1）根據(jù)古典概型和己知條件求出事件“甲，乙各有一輪勝出”、“甲，乙兩輪都勝出”的概率，然后求出參

數(shù)即可.

（2）甲、乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率等于甲兩輪勝出的概率、乙兩輪勝出的概率以及甲乙兩輪都

勝出的概率之和.

【詳解】（1）記事件4="第一輪比賽中甲勝出"，事件4="第二輪比賽中甲勝出”,

記事件用=”第一輪比賽中乙勝出。事件0="第二輪比賽中乙勝出”,

由趣意得4,4,九與相互獨(dú)立,

32

且P（4）=1P（4）=P，P（4）=§，P（&）=q，

記事件“甲，乙各有一輪勝出"，事件七="甲，乙兩輪都勝出“，

則p（o）=p（41+溟味瓦+電卜手_〃）+%][機(jī)一夕什?二:

P（E）=P（A&Bg=：px：q=9

112

-q+-p=—

從而有44時(shí)5'解得P=]3q=M4，

pq=---

I25

（2）記事件G="甲兩輪都勝出”，事件〃="乙兩輪都勝出”，

事件K="甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出”,

3=2,「⑻二

5203515

--97II89863+88+72223

P(A：)=P(GH)+P(G7/)4-P(G//)=-X—+—X—+—X—

201520152015-300--300

18.⑴力、

Q）a二班一3

⑶方+2夜.

（1）由正弦定理和三角恒等變換得到2sin（力-e）=1,從而求出彳=g：

（2）先計(jì)算出而二萬(wàn)+：就，兩邊平方求出4〃+。2+2A=36,又:=g-1,聯(lián)立兩式解得8%由

33b

余弦定理求出〃二班一3；

/\

(3)若力。為角平分線，則N84D=5，sinN8D4=sinB+y,在△44。中，由正弦定理得到

6k6；

2sin(8+*,8。=」，故"8+38。=e+:+嗚，根據(jù)基本不等式求出最小值

AB=-----------------sin8tan—

smB2

【詳解】(1)由已知〃(bsin4+cos3)=b+e,

由正弦定理,MsinA(j3sinB+cosB)=sinB+sinC，

又因?yàn)閟inC=sin(J+又=sinAcosB+cosAsinB,代入上式,

化簡(jiǎn)得:\/3sinAsinB=sinB+sinBcosA，

因?yàn)閂/8C中,8G(0,兀)，所以sinBHO,從而石sin/-cos。=1,

故2sin4—B=L因?yàn)楸?0,兀)，所以彳=2.

\z3

(2)因?yàn)?O=2CQ,

所以而=而+而=荔+5沅=赤+5證_函=3而+§宿

由(1)知，-4=p

所以而2=(；而+=|j52+^^C2+^|Z5||JCIcosJ

彳罰+［就2+各畫就J,

由已知力。=2,所以4=*c?+［川+,力c,BP4/72+C2+2Z?C=36?

又。=百-1，聯(lián)立兩式解得，b=>j6,c=3x/2-V6,

t)

由余弦定理，可得a，=〃+c?！?c=36—186,即4=3\/5—3?

(3)若為角平分線，貝IJ/員4O=9，sin/8D4=sin8+?

6I6

在△48。中，由正弦定理，得當(dāng)=.

sinBsinZ.BADsinNBDA

2BDAB

即sinB.-f71V

sin—sin8+-

6I6；

2sinI5+-I

所隈I6J，BD=

sinB

sinR

?2sinBt—1+3.

所以pa八6JV3sin^+cosZ?+3

AB+3BD=---------------——=-----------------------

sinBsinB

2222

coS^-sin^-+3fcos-+sin-14cos"+2si"

22I22J

=\3+22

2sdc-2sig°sJ

2222

\gAB+3BD=/+^—+tan-

即,B2，

tan

2

又因?yàn)?40,所以^^0,；、

tan—e(0,G),

2

「AB+3BDN&2—^--tan-=73+2>/2

,川K2

當(dāng)且僅當(dāng)tang=&w(O,石)時(shí)，等號(hào)成立,

所以43+34。的最小值為6