第九節(jié)函數(shù)與方程

【課程標準】1.結合學過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點與方程解的關系.2.

結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求

方程近似解的思路.

教材楂理

1.函數(shù)零點

⑴定義：對于函數(shù)尸危，把使於應的實數(shù)x叫作函數(shù)廣危）（x￡。）的

零點

⑵三個等價關系

（3）函數(shù)零點存在定理

X-在區(qū)間［Q,61上的圖象是連續(xù)不斷

除件j的一條曲線.

人|端點值——?"6）＜0.

甌訊存在點xo￡（a,b）,使得/（xo）=Q.

2.二分法

對于在區(qū)間，回上圖象連續(xù)不斷且拉遜組的函數(shù)產ZW，通過不斷地把它

的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近雯點，進而得到零

點近似值的方法叫作二分法.

【常用結論】

⑴若連續(xù)不斷的函數(shù)兒Y）是定義域上的單調函數(shù),則共幻至多有一個零點.

⑵連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

（3次物人）＜。是）=yu）在閉區(qū)間m，勿上有零點的充分不必要條件.

【自主檢測】

1.(多選)若函數(shù)尸危)在區(qū)間m，切上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說

法中錯誤的有()

A.若加)和)>(),則不存在實數(shù)?？伞?，例，使得加)=0

B.若/⑷?)<0,則存在且只存在一個實數(shù)。引。，切,使得小)=0

C.若僅派)>0,則可能存在實數(shù)cQa,b］,使得/AO

D.若/⑷加)<(),則可能不存在實數(shù)c￡，切，使得<c)=()

答案：ABD

解析:取段)=￡/,區(qū)間取為［-2,2］,滿足於2求2)>0，但是於)在［.2,2］內存

在兩個零點-1,1,故A錯誤，C正確；取以尸sinx,區(qū)間取為『等］,滿足

-O(ir)4x(4)=7<0，但是./W在宿，等］內存在三個零點-2冗，3兀，故

B錯誤；根據零點存在定理可知，D錯誤.故選ABD.

2.下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是()

A.y=2xB.y=(x-2)2

C?)=x+：3D.y=lnx

答案：B

解析：對于B,y=(x-2)2有唯一零點x=2,但函數(shù)值在零點兩側同號，則不可用

二分法求零點.故選B.

3.函數(shù)火x)=lnx+目，則函數(shù)/W的零點所在區(qū)間是()

A(33B.(3|)

c.G,1)D.(1,2)

答案：C

fx2+x-2,%W0,

4.已知函數(shù)/)=，則./W的零點為

+Inx,x>0,

答案：-2,e

%WO,(%>0,

或解得戶-2或產e.

(x2+x-2=0,(j+】nx=0，

學生用書1第5()頁

考點探究提升能劃

考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定自主練透

I.根據表格中的數(shù)據可以判定方程Inr-r+2=0的一個根所在的區(qū)間為()

x12345

Inx00.6931.0991.3861.609

x-2-I0123

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

答案：C

解析：設/W=lnx-x+2=lnF(x-2),易知函數(shù)啟)在(1,+8)上的圖象連續(xù)，由表

格數(shù)據得川)>0,A2)>0,<3)>(),fi4)<0,/5)<0,則<3)逃4)<0,即在區(qū)間

(3,4)±,函數(shù)人幻至少存在一個零點，即方程In上x+2=0的一個根所在的區(qū)間

為(3,4).故選C.

2.函數(shù)人］)=5-21-電(法+1)的零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案：C

解析：因為函數(shù)7U)=5-2x-lg(2x+l)在(彳,+8)上單調遞減，且函數(shù)共幻的圖象

是一條連續(xù)不斷的曲線，所以函數(shù),/U)最多只有一個零點.因為犬0尸5-恒

1=5>0f/(l)=3-lg3>0,y(2)=l-lg5>0,y(3)=-l-lg7<0,/(2)7(3)<0，所以函數(shù)

段)二52丑口+1)的零點所在的區(qū)間是(2,3).故選C.

3.已知函數(shù)人x)二--21-5的零點位于區(qū)間?！?，1)(/;?ez)±,則用等于()

A.-2B.-1

C.0D.1

答案：A

解析：因為函數(shù)y(x)=e-*-2A<5是連續(xù)減函數(shù)，4-2[氣2-1>()z/(-l)=e-3<(),所以

火?2)次?1)<0,函數(shù)/)=e*-2x-5的零點位于區(qū)間(-2,-1),即(加,zn+1)上,又，〃

WZ,所以片?2.故選A.

4.已知xi+2*i=0,X2+logw=0,3X3-log2^3=0,則()

A.X\<X2<X3B.X2<X\<X3

C.X]<X3<X2D.X2<X3<X]

答案：A

解析：設函數(shù)./W=x+2*,易知府)在R上單調遞增，｛-1)=-J/(0)=1,即次-

1/))<0,由函數(shù)零點存在定理可知，-1<幻<0.設函數(shù)g(x)r+log2X,易知g(x)

在(0,+8)上單調遞增,g(%-1g(l)=l,即8(%(1)<0,由函數(shù)零點存在定

理可知，]<也<1.設函數(shù)"(x)=Qy」og”,易知帖)在(0,+8)上單調遞減，

A(l)=1,/?(%3)=°，因為h(\)>h(X3),由函數(shù)單調性可知，X3>1,即-

1<X1<0<X2<1VX3.故選A.

?規(guī)律方法?

函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷方法及適用情形

1.定理法：利用函數(shù)零點存在定理進行判斷.適用于容易判斷區(qū)間端點值所對應

函數(shù)值的正負的情形.

2.圖象法：畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判

斷.適用于容易畫出函數(shù)圖象的情形.

考點二函數(shù)零點個數(shù)的判定師生共研

典例T⑴已知函數(shù)及①則函數(shù)ga)=/(.舊的零點個數(shù)為

Jlog2x|,x>0,一

()

A.0B.1

C.2D.3

(2)Q()24.河南鄭州模擬)已知定義域為R的偶函數(shù)/W的圖象是連續(xù)不斷的曲

線，且1Ax+2)+/U)=/(l),對任意的第，X2^\-2,O］,A#X2,恒成

xl-x2

立，則府)在區(qū)間［-2024,2024］上的零點個數(shù)為.

答案：(1)C(2)2024

解析：⑴當x^O時，令觀x)=G)”怖=0,解得41,舍去；當x>0時，令

^(X)=|lOg2X|-1=0,解得尸魚或尸號，滿足x>0,所以廠企或尸當綜上,函數(shù)

以幻二兀￥)一的零點個數(shù)為2.

⑵令x=-l,得川)+/(4)二川),即*1)=0,因為對任意的幻,X2^［-2,0］,

X*2,回9>0恒成立，所以於)在［-2,0］上單調遞增.因為於)為偶函數(shù),

X1-X2

所以川)二0,危)在(0,2］上單調遞減，於+2)+段)=川)二0,所以於+4)=-

人工+2)=/5),所以/2是以4為周期的周期函數(shù).因為/&)在一個周期內有兩個零

點，故/U)在區(qū)間［?2024,2024］上的零點個數(shù)為1012K2-2024.

?規(guī)律方法?

函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法

L直接法：令人v）=0,有幾個解就有幾個零點.

2.定理法：首先確定函數(shù)段）在區(qū)間m,口上是連續(xù)不斷的曲線，且加派）<0,

再結合函數(shù)的圖象與性質確定函數(shù)零點個數(shù).

3.圖象法：將原函數(shù)分成兩個函數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零

點個數(shù).

f-,%>0,

對點練1.⑴已知函數(shù)則方程危）-2*（）的解的個數(shù)為

（x+2,%W0,

（）

A.0B.1

C.2D.3

（2涵數(shù)加）=V5不運cosx的零點個數(shù)為.

答案：（1）C（2）6

解析：⑴由於）-2卬=0，得加）=2H,則方程./W-2國=（）的解的個數(shù)即函數(shù)/5）的

圖象與函數(shù)尸2卬的圖象的交點個數(shù)作出函數(shù)於）與函數(shù)尸2卬的圖象，可知兩

個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為2,故方程人力2m=0的解的個數(shù)為2.故選C.

⑵令36-f20,解得-60W6,所以於）的定義域為[-6,6].令於）=0得36-f=0

或cosx=0,由36-f=0得x二i6,由cosx=0得,k^Z,又x￡[-6,6],

所以x的取值為手，T，7,手故啟洪有6個零點

ZZZZ

考點三函數(shù)零點的應用多維探究

角度I根據函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

(%+I)2,xWO,

典例2：（2024?山東濟南三模）已知函數(shù)_/U）=若函數(shù)gM=fix)-b

|lgx|,x>0,

有四個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍為（）

A.(0,1]B.[0,1]

C.(0,1)D.(1,+oo)

答案：A

解析：依題意，函數(shù)g（x）=/U）d有四個不同的零點，即/U）二b有四個解，轉化

為函數(shù)）=/U）與產力的圖象有四個交點，作函數(shù)Q）的圖象，如圖所示.

結合圖象,可知實數(shù)人的取值范圍為（（），1].故選A.

學生用書1第51頁

角度2根據函數(shù)的零點范圍求參數(shù)的取值范圍

典例函數(shù)的一個零點在區(qū)間（1,2）內，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.0<々<3B.1<a<3

C.}<a<2D.g2

答案：A

解析：因為函數(shù))，=2丫,)，二彳在(0,+8)上單調遞增，所以函數(shù)次r)=2彳-〃在［0,

十⑹上單調遞增，由函數(shù)/&)=2q-〃的一個零點在區(qū)間(1,2)內，得

7(l)xy(2)=(2-2-a)(4-l-a)=(-a)x(3-a)<0,解得0<。<3.故選A.

角度3探究函數(shù)多個零點(方程根)問題

|log2x|,0<x<2,

典例W(多選)(2025?安徽淮北模擬)已知函數(shù)火x)=若?二。

x2-8x+13,x22,

有四個不同的實數(shù)解加,X2,X3,X4,且滿足笛<工2<戈3</4,則下列結論正確的

是()

A.0<〃<1

B.XI+2Y2^|^2X/2,I)

C.X1+X2+X3+X4E(10,

D.2xi+X2[2V2,3)

答案：ACD

解析：在同一平面直角坐標系中作出函數(shù),y=a的圖象，如圖所示.

由圖象知，若/U)二。有四個不同的實數(shù)解,則0<。<1,故A正確；因為

|10g2Xl|=|10g2X2|rRP-10g2Xl=10g2X2,則工=照,所以XI+功=工+2%2,1<X2<2,因

X1x2

為廣工+現(xiàn)在(1,2)上單調遞增，所以2+2c￡(3,3,故B錯誤；因為

XI+X2=—+X2,1<X1<2,廣工+X2在(1,2)上單調遞增,所以工+也￡(2，力而

X3+X4=8,所以Xl+X2+X3+X4￡（10,引，故C正確；因為2xi+X2=^+X2,

1<X2<2,）=2+也在（1,夜）上單調遞減，在（或，2）上單調遞增，則馬+也￡

x2工2

[2>/2,3）,故D正確.故選ACD.

?規(guī)律方法?

1.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的方法

2.求函數(shù)的多個零點（或方程的根以及直線產〃7與函數(shù)圖象的多個交點橫坐標）

的和時,應考慮函數(shù)的性質，尤其是對稱性特征（這里的對稱性主要包括函數(shù)本

身關于點的對稱，直線的對稱等）.

x2+2x,xWO,

若曲線

In（l-x）,0<%<1

（f

）:/?）與直線尸利恰有2個公共點,則實數(shù)a的取值范圍是.

_%2_2工，xWO/

若凡T）="7存在四個不相

（|l-lnx|,x>0,

等的實數(shù)根XI,X2,X3,X4,且XlVX2as<工4,則義4（口+工2）用的最小值

是.

答案：⑴[-1,2）⑵2Vle

解析：⑴當xWO時，j（x）=『+2x,其在（-8,-1）上單調遞減，在（-1,0）上單

調遞增,且八>)=2x+2,則八0)=2；當0<x<l時，穴%)/(1-%)J(x)=-

.<0,其在(o,1)上單調遞減，且理爐(x)=l作出穴x)的圖象，如圖，易知a

的取值范圍是［1,2).

_尢2_2%/%W0I

的圖象與直線y=m如圖所示.因為yu)刁〃存

|l-lnx|x>0

!z

在四個不相等的實數(shù)根XI,X2,X3,X4,且犬IW3<X4,所以加+12=-2,X3,

X4>0,且1-lnJo=-（l-lnx4）,則In%3+lnX4=2,BPIn%3X4=2,得出曰二/,則4-

（xi+。2）工3=<4+2￥322J2%3%4=2企e,當且僅當心=2x3,BP^=ye,心=企？時等

號成立.故X4-（X]+X2）X3的最小值是2V2e.

［真題再現(xiàn)］(2024.新課標II卷)設函數(shù)於)=。(工+Ml,g(x)=cosx+2or.當%E(-

1,1)時，曲線)=段)與產g(x)恰有一個交點，貝！1〃=()

A.-1B.-

2

C.1D.2

答案：D

解析：由題意知人工)=g(x),貝!J+1)2-1=cosx+2al,即COSX=67(X2+1)-1.令

//(%)=cosx-a[x2+1)+1.易知以尤)為偶函數(shù)，由題意知〃㈤在(-1,1)上有唯一零

點,所以W0)=0,即cos0-a(0+1)+1=0,得。=2.故選D.

［教材呈現(xiàn)］1.(人教A必修一Pl56Tl3)有一道題“若函數(shù)危)=24加+4*1在區(qū)

間(-1,1)內恰有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍”，某同學給出了如下解答：

由尺191)=(24。?5)(24。+3)<0,解得3<4<揖

oZ4

所以，實數(shù)4的取值范圍是(彳，￡).

上述解答正確嗎?若不正確，請說明理由,并給出正確的解答.

2.(湘教版必修一Pl36T2)用圖象法判定方程log^=-(x-l)2+2的根的個數(shù).

點評：本題是教材習題的拓展，都考查了已知函數(shù)零點求參數(shù)(范圍)，需適當

變形后利用零點存在定理解決問題，是高考試題源于教材的典例.

課時測評16函數(shù)與方程當在

用書P341

(時間：60分鐘滿分：100分)

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)

?；A排查練(每小題5分，共60分)

1.用二分法研究函數(shù)a)才+8內1的零點時，第一次經過計算得/(0)<0,

fi0.5)>0,則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為()

A.(0,0.5),#0.125)B.(0,0.5),#0.375)

C.(0.5,1),/(0.75)D.(0,0.5),/0.25)

答案：D

解析：因為犬。加0.5)<0,由零點存在定理知,零點回￡(0,0.5),根據二分法，

第二次應計算/(一),即/(0.25).故選D.

2.（2024.吉林長春模擬）函數(shù)/5）=e〃+5x-2的零點所在區(qū)間為（）

答案：B

解析：因為/（（））=-1<（）,/（；）=粕？>（）,M7（x）=e2v+5x-2為連續(xù)的增函數(shù)，所以

/U）的零點所在區(qū)間為（0,；）.故選B.

%2_2工_3XWO

''的零點個數(shù)為（）

logx-3x+4,%>0

（2

A.1B.2

C.3D.4

答案：C

解析:當xWO時，令."）二『2-3=0,得x=-l（x=3舍去）,當x>0時,令

%）=（）,得logir=3_r-4，作出）=log2_r與y=3x-4的圖象,如圖所示，由圖可知，

y=log”與y=3x-4有兩個交點，所以當x>0時，段）=0有兩個零點.綜上，?r）有

3個零點.故選C.

10g2%,xNl1

恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

12x-a,x<1

A.(2,+co)B.[2,+co)

C.(-00,2)D.(-00,2]

答案：C

解析：當工，1時，火幻的零點為1,則當R<1時，必有一個零點,y=2x-a為一

次函數(shù)，單調遞增，故需2.心0,即”2.故選C.

5.已知函數(shù)段)=log2(x+在區(qū)間(1,3］上有零點，則實數(shù)〃7的取值范圍

為()

A.(4,°)

B.(-8，-［)u(0,+8)

C.(-x,-1］u(0f+x)

D?卜|，°)

答案：D

解析：因為函數(shù)產10g2(x+1),產在區(qū)間(1,3］上單調遞增，所以函數(shù).心)

在(1,3］上單調遞增,因為函數(shù)兀丫)二log2(x+1)+十〃7在區(qū)間(1,3］上有零點，

ff(l)<0zf?n<0,5r

則即,解得.因此，實數(shù)m的取值范圍是卜

匕⑶20,鋁0,3

|,0).故選D.

6.已知函數(shù)/0)=工-?。>()),g(x)=x+el,%(x)=x+lnx(x>())的零點分另!J為幻，口,

X3,則()

A.X］<X2<X3,B.X2<X\<X3,

C.X2<X3<X\D.X3<Xl<X2

答案：C

解析：函數(shù)加0=心近。>0),gQ-尸x+T"a)=x+lnx(x>0)的零點,即為尸x與

y=Vx(x>0),y=-ev,y=-lnx(x>())的交點的橫坐標，作出y=x與y=Vx(x>0),y=-

e，,y=-lnx(x>0)的圖象，如圖所示.可知X2<X3〈箱故選C.

7.（多選）函數(shù)兒1）=5巾工+2M11人1,工￡[0,2用的圖象與直線），二女的交點個數(shù)可能

是（）

A.1B.2

C.4D.6

答案：ABC

3sinx,0,ir

解析：由題意知，j[x）=-

-sinx,(IT,2ir,

在坐標系中畫出函數(shù)上）的圖象如圖所示.

y

由其圖象知，直線與y=/U）的圖象交點個數(shù)可能為（），1,2,3,4.故選

ABC.

|3X-1|,x<l,

8.（多選）（2024.山西朔州模擬）已知函數(shù)信）=函數(shù)

-4x2+16%-13,,

gW=fix）-a,則下列結論正確的是（）

A.若gQ）有3個不同的零點，則。的取值范圍是[1,2）

B.若有4個不同的零點，則。的取值范圍是（0,1）

C.若g（x）有4個不同的零點XI,X2,X3,X4（X\<X2<X3<X4）,則9+g=4

D.若g(l)有4個不同的零點加，X2,X3,X4(X\<X2<X3<X4),則工玳4的取值范圍

是(/3

答案：BCD

解析：令g(x)=/(x).。二0,得心)=4,則g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)廣危)的圖象與

y=a的交點個數(shù).作出函數(shù)廣於)的圖象如圖所示,由圖可知，若g(x)有3個不

同的零點，則。的取值范圍是［1,2)U{()},故A錯誤；若四)有4個不同的零

點;則a的取值范圍是(0,1),故B正確；g(x)有4個不同的零點Ai,X2,,

X4(XI<X2<X3<X4),此;時X3,以關于直線X=2對稱,所以X3+X4=4,故C正確；由

C可知X3=4-X4,所以巾4=(4汨)%4二旬+4月，由于g(x)有4個不同的零點,a的

取值范圍是(0,1),則0<-4螃+16x4-13<1,所以？<-蜉+4心《，故D正確.故選

4L

BCD.

9.(新定義)(多選)(2024.江蘇南京模擬)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理可應用到

有限維空間，是構成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞

威爾(L.E.J.Brouwer),簡單地講，就是對干滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),八用,存在

一個點血，使得於。)書)，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù),下列函數(shù)是

“不動點”函數(shù)的是()

A./&)=2'+xB.人用二?-心3

C.fix)=X2+\D.^,r)=|log2,v|-l

答案：BCD

解析：對于A,若外o)=xo,則尹。=0,該方程無解，故該函數(shù)不是“不動點”

函數(shù)；對于B,若危o)=xo,則詔-2xo-3=O,解得xo=3或xo=-l,故該函數(shù)是

1

“不動點”函數(shù)；對于C,若7Uo)=xo,則珞+1二而，可得詔-3xo+l=0,且

無。力，解得刈=萼,故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)；對于D,若以0)二歡，則

|log2A0|-l=A0,BP|log2X0|=X0+l，作出)=|10g2X|與］=工+1的函數(shù)圖象，如圖，由

圖可知，方程|10g2X|=X+l有實數(shù)根工0,即存在X0，使得|log2X0|J=X0成立，故該

函數(shù)是“不動點”函數(shù)故選BCD.

J<=llog2Xl

2x-4,x>0,

10.已知函數(shù)小尸是奇函數(shù)，則函數(shù)7U)的零點為

g(x),x<0

答案：±2

解析：由題意知,A-幻=:/U)/所以當x<0時，-x>0,則^(x)=f(x)=-J(-x)=4-2K,

2X-4,x>0,

令、/U)=0,所以當x>0時，x=2；當x<0時，x=-2,

!4-2",x<0,

所以函數(shù)TU)的零點為短.

11.(2024.山東德州模擬)方程2、+3產&的解在［1,2)內，則實數(shù)A的取值范圍

是.

答案：［5,10)

解析：令函數(shù)於)=2工+3步&,則於)在R上是增函數(shù).當方程2工+3尸&的解在［1,

2)內時，4)42)<0,即(5次)(10困<0,解得5a<10,又當川)=0時,%=5.綜

上，實數(shù)〃的取值范圍是［5,10).

X

|2-1||,

12.(2024?江西五校高三聯(lián)考)已知函數(shù)函數(shù)y=fix)-a有四

(六2)2,%>1,

個不同的零點XI,X2,X3,X4,且2VX3VX4,則^￡二

X3+X4

答案：;

解析：y刁有四個不同的零點XI,X2,X3,X4,即方程段)二4有四個不同的

解，即產/?的圖象與直線廣。有四個交點.在同一平面直角坐標系中分別作出

)=/W與y=a的圖象，如圖所示,

由二次函數(shù)的對稱性可得，不+g=4.因為1-2右二2"1,所以2勺+2。=2,故

2xi+2xzi

X3+X42

總綜合運用練(每小題8分，共16分)

4?％2,%W2°

g(x)=kx-3k,若函數(shù),/U)

log(x-l),x>2,

(3

與g(x)的圖象有三個交點,則實數(shù)k的取值范圍為()

A.(2V2-6,0)B.(2V3-6,0)

C.(-2,0)D.(2花-6,0)

答案：D

4?％2%W2

的圖象，如圖所示，設與廣4-『相切的

log(x-l),x>2

(3

直線為/,且切點為P(x0，4-就)，因為‘，'=2,所以切線的斜率為仁2%,則

切線方程為.V-4+君=-2xo(%-%o),因為g(x)="-3Z:過定點(3,0),若切線過定點

（3,0）,代入切線方程求得xo=3-痣或刈=3+花（舍去），所以此時切線的斜率為

k=2居6,因為函數(shù)加）與四）的圖象有三個交點，由圖象知，實數(shù)k的取值范

圍為卜遙-6,0）.故選D.

14.（2025福建泉州模擬）已知定義域為R的偶函數(shù)段）滿足X2