§7.5空間直線、平面的垂直

【課標要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平

面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.

?落實主干知識?

1.直線與平面垂直

⑴直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面?；ハ啻怪?

(2)判定定理與性質(zhì)定理

2.直線和平面所成的角

⑴定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條

直線垂直于平面，我們說它們所成的角是；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們

所成的角是.

⑵范圍：.

3.二面角

⑴定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角o-//的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面。和夕內(nèi)分別

作的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的N4O8叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

B自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“4”或“X”)

(1)若直線/與平面。內(nèi)的兩條直線都垂直，則/±?.()

(2)若直線b±a,則aII6.()

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()

(4)若a”,a邛,則alla()

2.(2024?惠州模擬)已知/,〃是兩條不同的直線，“是不重合的兩個平面，則下列命題中正確的是()

A.若lu明〃或，則川〃

B.若a工仇/ua,則/J?夕

C.若川a,a±/3,則/

D.若LLa,/I/,則a"

3.（多選）如圖，2/是圓柱的母線，.48是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點（不與力，8重

合），則下列說法正確的是（）

A."，平面N8C

B.8CJL平面尸力C

C./C_L平面PBC

D.三棱錐248c的四個面都是直角三角形

4.過平面的卜一點0的斜線段是過這點的垂線段的蜉倍，則該斜線與平面〃所成的角是.

國微點提醒

1.靈活應(yīng)用兩個重要結(jié)論

（1）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）.

2.掌握三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

判定定理判定定理

線線垂直'性虛線面垂直至質(zhì)克理面面垂直

-探究核心題型?

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1如圖，平面"力。_L平面力AU,平面。力C」平面力AC,"_L平面"C點E為垂足

B

（1）求證：P4J_平面力8C；

(2)若平面平面力68,證明：BE±AD.

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個相

交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個正面.

(3)［三垂線定理］如果平面內(nèi)的一條直線和穿過這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就

和這條斜線垂直.

⑷［三垂線定理的逆定理］如果平面內(nèi)的一條直繚口穿過這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和斜線

在平面內(nèi)的射影垂直.

跟蹤訓(xùn)練2(2023?全國甲卷)如圖，在三棱柱力8C-441G中，小CJ?平面48C,N/C8=90。.

(1)證明：平面4CG4-L平面BBiGC；

(2)設(shè)48=48,AA^=2I求四棱錐4-88QC的高.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

命題點1線面角與二面角

例3(多選)把邊長為a的正方形力8c。沿對角線4C折起，當以4B.C,。四點為頂點的三棱錐體

積最大時()

A./BICD

B直線與平面力席所成角的大小為:

C.二面角力-8。-。的余弦值為4

D.四面體力的內(nèi)切球的半徑為2-V3

■微拓展?

三余弦定理cos0=cos。1cosOi的應(yīng)用

已知40是平面a的斜線，如圖，X是斜足，OBLa,8是垂足，則直線48是斜線力。在平面a內(nèi)的射影，

設(shè)/C是a內(nèi)的任一過點,4的直線，SBCLAC,。為垂足，又設(shè)40與直線所成的角為。，力8與我所

成的角是〃2,力0與力。所成的角為火貝！Jcos。=cosa，cos縱

典例已知P/是平面a的斜線，N比1C在平面a內(nèi)，且NR/fC=90。，又NP/A=N24C=60。，則P/與平

面a所成的角為.

命題點2垂直關(guān)系中的存在性問題

例4如圖①，在直角梯形力BCQ中，ABWCD,AB±BC,AB=2CD,?！阓1_4區(qū)沿?！辏簩⑶型?折起至必

的位置.連接小乩AxC,M,N分別為4c8E的中點，連接MN,如圖②.

圖①圖②

(1)求證：DEA.A\B]

(2)求證：MNII平面小E。；

⑶在棱48上是否存在一點G,使得EGJ_平面48C?若存在，求出券的值；若不存在，請說明理由.

思維升華(1)三種垂直的綜合問題，T殳通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化

(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)

進行掛理論證.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體44C。中，CB=CD,AB=AD,NB4D=90。,E,“分別是AC,力。的中點.

⑴求證：，4C_LAD；

(2)若平面C8O_L平面ABD,且CI3=BD,求直線〃廠與平面48。所成角的正切值.

答案精析

落實主干知識

1.(2)兩條相交直線maa〃ua

mC\n=Pl-Lm/J-〃a1.abla

2.(1)射影90。0。(2)(0,外

3.(1)兩個半平面(2)垂直于棱I

⑶[0,n]

4.(2)亙線auaa-Lfi交線a±P

anp=Ql±alap

白主診斷

1.⑴X(2)4(3)X(4)X

2.D3.ABD4.^

探究核心題型

例1證明(1)如圖，在平面力8C內(nèi)取一點。，過點。作。EL，。于點E

H

>c

B^

因為平面/MCJ?平面4BC,平面P4Cn平面4BC=4C,u平面48C,

所以D凡L平面21c

因為P/u平面PAC,

所以"J_P4

過點。作。GJ_/8于點G,

同理可證。G_LP4

因為DG,ORz平面48C,

且DGCDF=D,

所以P4_L平面48c

⑵如圖，連接8E并延長交PC于點

因為點石是△尸8。的垂心，

所以PC_LB〃.

又力E_L平面尸8C,PCu平面P8c

所以PC±AE.

因為AECBH=E,

AE,B〃u平面/阻

所以PCJ_平面ABE.

又45u平面48￡,所以PCJL46.

由⑴知&JL平面48C,

又45u平面4BC,所以

因為PAC\PC=P,

PA,PCu平面"C,

所以,48_L平面以C

又4Cu平面4C,所以48_L4C,

即JBC是直角三角形.

跟蹤訓(xùn)練1證明⑴在四棱錐中,

底面"CO,COu平面,48。。

..PA±CD,

：ACA.CD,PACiAC=A,

PA,ACc.^^PAC,

「.CQ_L平面PAC,而4Eu平面PAC,

..CDLAE.

⑵由21=/5=3C,N/14C=60。，

可得,4C=P4

.?才是尸C的中點，.XE，PC.

由(1)知4E_LC。，SPCC\CD=C,PC,COu平面尸CO,.》E_L平面尸CO,而POu平面PC。

：.AE±PD.

'：PA±]^ABCD,力8u平面月BCD,

：.PA±AB.

又。且尸4040=4,PA,/Ou平面尸4。，...48_L平面P4。，

而PZ)u平面P%。，

^■.-ABQAE=A,

AB,4Eu平面ABE,

"。_1_平面48石.

例2證明⑴如圖，連接力。與BQ相交于0,

連接ON,

由于,43=28,且力0IC。,

所以0C:OA=CD:AB=\:2,

又EN=2NC,所以O(shè)NII4瓦

又4成平面BND,

ONu平面BND,

所以,4EII平面BND.

(2)過C作CW_L8。于由于平面8OEJ_平面力8CQ,且平面8OECI平面4ACQ=8。，GWu平面,48CQ,

所以CA/-L平面3瓦)，又BEu平面4EO,故CMLBE,

5LABA-BE,AB,CM是平面內(nèi)的兩相交直線，

所以BE_L平面48C。

又力Ou平面力86,故8E_LHD

跟蹤訓(xùn)練2⑴證明因為4cL平面48G8Cu平面力8a

所以小C_L〃C,

又因為N/C8=90。，^ACA-BC,

因為,4]C,力Cu平面力CCMi,

AiCa4C=C,

所以BCJ_平面/CG4,

又因為BCu平面BBiCC

所以平面力CG4_L平面BBCC

(2)解如圖，過點4作4O_LCG于點。

因為平面力CCMi_L平面BBiCiC,平面4CG4n平面BBCC=CCi,

/liOumACC\AI,

所以小0_1_平面BBCC,

所以四棱推4-48CC的高為40.

因為小CJ_平面48C,

AC,BCu平面48C,

所以小C_L8C,A]C±AC,

在RW/18C與Rt△小8c中，

因為48=48,BC=BC,

所以RM/188Rt”/C,

所以小C=4C.

設(shè)力C=/lC=x,則小G=x,

所以。為CG的中點，

OCi=^AAi=\,

又因為小C_L/1G

所以,41G+XC=A洛,

即.丫2+才2=22,解得尸四，

所以小8*6-。*

=J(V2)2-12=1,

所以四棱推4-88CC的高為1.

例3BCD|如圖所示，當平面6月C_L平面D4c時，三棱錐體積最人，記月為NC的中點，連接5MDE,

此時。E_L平面8/C,因為48u平面84C,所以力8J_Q￡;因為CQClQG。，所以48與CQ不垂直，A錯

誤；

對于B，直線皿口平面相C所成的角即為“孫因為tan?/>黑，故血。fB正確；

對于C,由于40cz>84=/。，取4。的中點G,連接NG,CG,則有CG_L8。，AGLBD,故/CG4為二

面角,4-4。-。的平面角.則

MGX”豪,正確；

對于D,設(shè)內(nèi)切球球心為/,內(nèi)切球半徑為乙由等體積法知，

四面體.48廿V三核惟1-AB&V三雌I-BCD+V三粳傕7-JCD+V=w1-ABD

_1c

"^13四物體/"C/），

I-?11

=

其中，/四面體?48CD/ES“C7）=^,

s四面體48co=2X（1x2xl+ixV2X孚）=VJ+2,

3V

故四面體ABCD1b,口正確］

四面體ABCDV

微拓展

典例45°

解析如圖，作戶在。內(nèi)的正射影。，則。在/B4C的平分線上，N"。為"與平面a所成的角,

所以coszPJC

=COS/P/OCOSNO/C,

所以cos60°=cosZPJ（?cos45°,

所以cosN4?？迹蔔P/O=45。，

所以PA與平面〃所成的角為45°.

例4⑴證明???在直角梯形"CD中，DEA.AB,沿帆將△力折起到△小的位置,

：.DELA\E,DE工BE.

'."A\EC\BE=E,

A\Et8Eu平面4BE,

-平面A\BE,

又小8u平面小8E,.?.OEJL4區(qū)

⑵證明取的中點"，連接NH,MH,如圖.

NB

,??加,N分別為4C,房的中點,

：.MHWA\D,

NHWDE.

,「A//改平面4EO,

/IQu平面A\ED,

平面小EQ,

..W〃e平面4?力，

OEu平面小￡7),

.?加〃11平面4￡'。，

又NHCMH=H,

NH,平面MN〃，

「?平面4EQII平面mV”，

又MVu平面MNH,

平面4ED

⑶解取48的中點G,