3.2.1單調(diào)性與最大（小）值

【知識梳理】

知識點一增函數(shù)與減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)兒r）的定義域為/,區(qū)間?？?：

⑴如果也￡。，當(dāng)即42時，都有人內(nèi)）勺S），那么就稱函數(shù)兒1）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函

數(shù)JU）在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù).

（2）如果Vxi，X2^D,當(dāng)Xi<t2時，都有兒⑺力也），那么就稱函數(shù)7U）在區(qū)間。上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函

數(shù)JU）在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù).

知識點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)），=/5）在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/u）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，

區(qū)間。叫做），=/熾）的單調(diào)區(qū)間.

特別提醒：（I）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點

若屬于定義域，則該點處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開.

（2）單調(diào)區(qū)間QG定義域/.

（3）遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大.

知識點三函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x

最值條件幾何意義

①對于都有②三4￡/,

最大值函數(shù)丫=穴幻圖象上最高點的縱坐標(biāo)

使得yu））=M

①對于D.gj,都有②m&e/,

最小值函數(shù)），=/"）圖象上最低點的縱坐標(biāo)

使得yu（））=朋

知識點四求函數(shù)最值的常用方法

1.圖象法：作出.v=/U）的圖象，觀察最高點與最低點，最高（低）點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大（?。┲?

2.運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.

3.運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：

（1）若嚴(yán)於）在區(qū)間［a,6］上是增函數(shù),則ymax=JS），Jmin=/（?）.

（2）若y=y&）在區(qū)間口，為上是減函數(shù)，則ymax=/（a），凹】加=人力.

4.分段函數(shù)的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵凶畲螅ㄐ。┑哪莻€.

【基礎(chǔ)自測】

1.函數(shù))，=入一5在［1,2］上的最大值為()

.I

3

O-C2a3

A.B.2

2.定義在R上的函數(shù)人工)，對任意片，x2eR(xi^x2),有/一_—二)<0,貝U()

X2—X1

A.加)勺(2)J1)B./(1)</(2)<A3)

C.^2)<Al)</(3)D.

3.已知/㈤是定義在區(qū)間［-1,1］上的增函數(shù)，且上一2)勺(Lx)，則x的取值范圍是

2x+1,xN1,

4.已知函數(shù)兒x)=,則/U)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.

5-x,x<\>

5.函數(shù)/U)=aF+(。-3)x+l在(-1,+8)上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是,

【例題詳解】

一、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

例I(1)根據(jù)定義證明函數(shù)/(1)=.1+己9在區(qū)間［3,+00)上單調(diào)遞增.

⑵已知函數(shù)/(")=—(4為常數(shù)且〃工0),試判斷函數(shù))(同在(一1,1)上的單調(diào)性.

X—1

I7

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)/(x)=G—，，且/(一2)=-：.

(i)求函數(shù)的解析式;

(ii)判斷函數(shù)在區(qū)間(O,+8)上的單調(diào)性并用定義法加以證明.

⑵判斷并證明=在(0,+紇)的單調(diào)性.

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2(1)函數(shù)/(幻=」的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)

x

A.(YO,()),((VKO)B.(0,-Ko)C.(-oo,0)(0,-KC)D.(』())

⑵函數(shù)Ax)=-1x-21的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-oo,2]B.[2,+8)C.I,2]D.[0,+8)

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù))，=*一A一3]的圖象如圖所示，試寫出它的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性.

(2)函數(shù)/(x)=<—6國+8的單調(diào)減區(qū)間是

三、單調(diào)性的應(yīng)用

命題點1已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

例3⑴函數(shù)〃力二笠/在區(qū)間(-2,y)上單調(diào)遞增，則實數(shù)〃的取值范圍是()

'/，X>1,

跟蹤訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)<幻=<4-郛―1,xWl.若40是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

⑵已知函數(shù)小)力_屋?滿足VywR且…2,有7W>。,則實數(shù)〃的取值范圍是

.(用集合或區(qū)間表示)

命題點3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

f+4x,x20,

例5(1)已知函數(shù)yu)=,2八若八4一〃)習(xí)2)，則實數(shù)4的取值范圍是()

4—x<0,

A.(一8,2)B.(2,+8)

C.(一8,-2)D.(-2,+?>)

⑵己知)，=/("在定義域(T」)上是減函數(shù)，且則〃的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-2,1)C.(0,拒)D.(0,2)

(3)已知，x)=Y+|x|+l,若/(2m-l)</(3),則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-2,2)

跟蹤訓(xùn)練5(1)已知/(x)是定義在［0,+?)單調(diào)遞減函數(shù)，若則實數(shù)。的取值范圍是

⑵已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(3+2a)v/(2),那么實數(shù)〃的取值范圍為

(3)已知定義在［1,4］上的函數(shù)/(x)是減函數(shù)，則滿足不等式/(1-24一/(3-〃)>0的實數(shù)。的取值范圍為

四、圖像法求函數(shù)的最值

x2,—1?1,

例6(1)已知函數(shù)<幻={1求J(x)的最大值、最小值.

x>\.

/、2x+l,;r<0

Q)求函數(shù)小)=，一向。工”3在一1"的最值.

⑶已知函數(shù)/(x)=N(x+l).完成下面兩個問題:

⑴畫出函數(shù)/(x)的圖象，并寫出其單調(diào)增區(qū)間:

(ii)求函數(shù)"力在區(qū)間上的最大值.

(4)已知函數(shù)〃幻=%+<，(。>0)的圖象如圖所示，請回答:

x

y

(i)當(dāng)a=l,xw(0,4<o)時,求此函數(shù)f(x)的值域;

(ii)當(dāng)a=2,工￡[1,3]時,求此函數(shù)f。)的值域.

跟蹤訓(xùn)練6畫出下列函數(shù)的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值或最小值:

(1)f(x)=-x2-\；

(2)f(x)=x2-2x-1,A€[-1J].

(3)f(x)=x\x\；

(4)f(x)=-2\[x；

x—2,x.O

x<0

Xfe[O,+8)

(6)/3)=

XG(-<O,0)

五、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

例7(1)函數(shù))，=萬7-岳有的值域為

(2)已知/(x)=一二，xe[2,6],求函數(shù)/("的最大值和最小值.

X—1

⑶求”x)=x+Jx-l的最小值.

（4）已知函數(shù)兒0=是，xe［3,5］.

（i）判斷函數(shù)7U）的單調(diào)性并證明；

（ii）求函數(shù)人丫）的最大值和最小值.

跟蹤訓(xùn)練7已知函數(shù)/*）=3且/⑴=2

X

⑴求實數(shù)。的值；

⑵判斷函數(shù)/（幻在［1,a）上的單調(diào)性，并用定義證明;

（3）求函數(shù)/㈤在［1,3）上的值域.

【課堂鞏固】

1.函數(shù)），=/一1￥+2在區(qū)間［-23］上的最大值、最小值分別是（）

A.10,5B.10,1

C.5,1D.以上都不對

2.若函數(shù)），=如+1在［1,2］上的最大值與最小值的差為2,則實數(shù)〃的值是（）

A.2B.-2C.2或一2D.0

3.已知函數(shù)/（X）對V"電+8）,都有—一/（二）＜0,且"2—26）＞/（1+〃?），則實數(shù)用的取

內(nèi)一公

值范圍是（）

A.（同B.（-ool］C.朋D.卜耳）

（a-3）x+5,A<1

4.己知函數(shù)/（x）=?2aI〉1，若對R上的任意實數(shù)X，々（內(nèi)工與），恒有（立一內(nèi)）［/（5）-/'（工2）］>0

成立，那么〃的取值范圍是（）

A.（0,3）B.（0,3］C.（0,2）D.（0,2］

5.設(shè)函數(shù)/*）=二在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為M,機(jī)則"+/〃=（）

x-2

A.4B.6C.10D.24

6.函數(shù)），=」：的單調(diào)遞減區(qū)間牯_______.

,彳一I

7."〃=1〃是〃函數(shù)/（x）=|x-a|在區(qū)間［1,+a））上為嚴(yán)格增函數(shù)〃的條件.（填“充分非必要”、”必要非充

分"、"充分必要”、“既不充分也不必要”）

4

8.已知則函數(shù)），=%+—+2的最大值為,最小值為.

x

9.當(dāng)0WxW2時，cy-f+2x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

10.（1）若函數(shù)/（力=/+2（。-1■+2的單調(diào)遞減區(qū)間是（3,4］,則實數(shù)。的取值范圍是

（2）若函數(shù)/（x）=/+2（a-l）x+2在區(qū)間（f,4］上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是一

11.檢驗下列函數(shù)的增減性，并說明是否有最大（?。┲?如果有，指出最大（?。┲岛蛯?yīng)的最大（?。?/p>

值點.

2

⑴，（x）=-（x?YC,O））；

X

（2）?。?3-”卜65）；

⑶/（6=_?-64+7（工式-2,4］）；

（4"（X）=*M［0,3］）.

1I人

12.已知函數(shù)/（x）=x|x-4|

⑴把寫成分段函數(shù)：并在音角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)〃工）大致圖像：

（2）寫出函數(shù)/（X）的遞減區(qū)間.

1o

13.已知函數(shù)/*）=：/+告，求函數(shù)/（外在區(qū)間—3,-1］上的最值.

2x—1

/4

14.已知/（力=X+一.

X

（1）證明:/“）在（2,+8）單調(diào)遞增;

⑵解不等式：/（X2-2A-+4）＜/（7）.

【課時作業(yè)】

1.“函數(shù)/（刈=』-3根+18在區(qū)間（0,3）上不單調(diào)〃是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知y=f+2（a-2）x+4在[4,上為增函數(shù)，則（）

A.a>-2B.a=-Q.C.a>-6D.a=-6

3.若對于任意的x>0,不等式,+3x+l之〃恒成立,則實數(shù)。的取值范圍為（）

x

A.[5,+co）B.（5,+<x））C.（-oo,5]D.（9,5）

4.已知函數(shù)/（幻=3-2國*3=爐-2%尸3=[曠，程為"I，則（）

[fWg（x）>f（x）

A.尸（x）的最大值為3,最小值為1

B.尸（%）的最大值為2-26，無最小值

C.尸"）的最大值為7-2",無最小值

D.%x）的最大值為3,最小值為-1

--------xK—1

5.己知g(x)=?x-T是(YO,”)上的增函數(shù)，那么。的取值范圍是()

(3-3fz)A+l,x>-l

A.B.(0,1)C.G,-|D,(1,-Kc)

x2-2ax+2,x<\

6.已知函數(shù)/(x)=9的最小值為/⑴，則a的取值范圍是（)

A+——3a,x>I

A.[1,3]B.[3,+x)C.(0,3]D.(-oo,l]u[3,+oo)

7.函數(shù)f（x）=|x-l|+|x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.|1,-HX))B.(fl]C.[1.2]D.[2+8)

r<0

8已知函數(shù)小。,若對任意的不等式"v+fX”.。）恒成立，則實數(shù)I的取值

范圍是（）

B.[0,1]

1+V17-

D.

22

9.（多選）若二次函數(shù)/（幻=/-（2-〃江+1在區(qū)間上是用函數(shù)，則。可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

10.（多選）下列函數(shù)中，在（TO。上為增函數(shù)的是（）

尸史

A.y=1x|+lB.D.y=x+

X

11.（多選）設(shè)出數(shù)、，當(dāng)/（%）為增函數(shù)時，實數(shù)〃的值可能是（）

x~-2ax+i,x>a

A.2B.-1C.yD.1

無+2x\

12.（多選）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)/"）=/；一?/⑴的結(jié)論正確的是（）

—X+3,x>I

A../W的最大值為3B.火0）=2

C.若兒1）=-1,則x=2D.凡丫）在定義域上是減函數(shù)

13-己知小Hit；：口是心的減函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍為

14.函數(shù)），=卜V+2工+j|的單調(diào)遞增區(qū)間