中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圖形的對(duì)稱

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?綿陽(yáng)）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時(shí)非常美麗，深受人們喜愛(ài)，它的圖案具有對(duì)稱美，如圖，

蝴蝶圖案關(guān)于），軸對(duì)稱，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2,-3）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A.(2-3)B.(-3,2)(-2,3)D.(2,3)

2.（2024春?雙塔區(qū)校級(jí)期末）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的

是（）

?

3.（2024?渦陽(yáng)縣三模）在矩形ABCD中，AB=3,8c=4,七是3c邊上的點(diǎn)，將AABE沿著AE

對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)〃落在矩形對(duì)角線上時(shí)，則8E=（）

A.1B.3或2c,2D.*或。

224422

4.（2024?中山市校級(jí)三模）如圖，下面是三位同學(xué)的折紙示意圖，則AO依次是刖8。的（）

圖①圖②圖③

中線、角平分線、高線B.高線、中線、角平分線

角平分線、高線、中線D.角平分線、中線、高線

5.（2024?寧陽(yáng)A二模）如圖，已知止方形A8CZ）的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接CF,DF,

且NA。/=N7）B，點(diǎn)E是4）邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接即，EF,則￡?+1?長(zhǎng)度的最小值為（）

A.x/f3-lB.師-1c.VioD.75+1

6.（2024?合江縣一模）若點(diǎn)尸（3,a-2）和點(diǎn)QS+4,-2）關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)3與在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.（2024?牡丹江）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片A3C￡>,AO=12a〃，8=10?！?，他進(jìn)行了如下

操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使AQ與4c重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把AAON沿AN折疊得到△A/7N,AD交折痕MN于點(diǎn)、E,則

線段EV的長(zhǎng)為（）

圖①圖②

A.8c/n

8.（2024?濱州）數(shù)學(xué)中有許多精美的曲線，以下是“懸鏈線”“黃金螺旋線”“三葉玫瑰線”和“笛

卡爾心形線”.其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）

9.（2024?萊蕪區(qū)校級(jí)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,將正方形沿直

線AN折疊，點(diǎn)〃落在對(duì)角線上的點(diǎn)例處，折痕人N交血）于點(diǎn)E,則麻:的氏為（）

C.2+x/2D.2+2近

10.（2024?市南區(qū)校級(jí)三模）如圖，在矩形A08中，后是的中點(diǎn)，將AA6E折疊后得到A4FE,

點(diǎn)”在矩形內(nèi)部.延長(zhǎng)"交CD于點(diǎn)"，若4）=4,C〃=g,則折痕AE的長(zhǎng)為（）

A.V13B.2&C.3D.2x/3

二.填空題（共10小題）

II.（2024?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC是等邊三角形，4）是邊上的高，￡是AC的中點(diǎn),

尸是4）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC與尸石的和最小時(shí)，NCPE的度數(shù)是

12.（2024?灤南縣校級(jí)模擬）如圖，在MBC中，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，將沿班＞翻折得到MBD,

BE與AC交于點(diǎn)、F,設(shè)只尸=人，EF三y.

（1）當(dāng)8E_LAC,x=9,y=3時(shí)，AD的長(zhǎng)是；

⑵當(dāng)BD=BF,2工=7），時(shí)，ADEF與AAB￡＞的面積之比是.

13.（2024?南充模擬）如圖，將矩形A4CD對(duì)折，使與CQ邊重合，得到折痕肋V,再將點(diǎn)A沿

18.（2024?南陽(yáng)一模）如圖，矩形八48中，入4=10,AO=4,點(diǎn)尸為邊6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將A4PD

沿A尸折疊得到A4PQ,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q,當(dāng)射線PQ恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)”時(shí)，OP的長(zhǎng)為.

19.（2024?柳東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將矩形紙片A8CZXA8>4。）沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)A落

在。C邊上的點(diǎn)尸處，折痕為QE,連結(jié)EC,再將△8EC沿直線CE折疊，使點(diǎn)3落在￡>E上的點(diǎn)G

處，若BC=血，則△￡>&?［陰影部分）的面積為

20.（2024?渝中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形紙片A8CD中，E為3c的中點(diǎn)，連接AE,將△，窗石沿

折疊得到AA莊，連接6.若AB=4,5。=6,則CF的長(zhǎng)為

三.解答題（共5小題）

21.（2024?建平縣模擬）【課例改編】

數(shù)學(xué)課上，張老師根據(jù)數(shù)學(xué)課本習(xí)題改編了一個(gè)題目：如圖，4）是△A6c的高，NC=2ZB,若CD=2,

AC=5,求的長(zhǎng).

圖1

小明同學(xué)的想法是利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決：將△ACZ）沿4）折疊，如圖I,則點(diǎn)C剛好落在3C

邊上的點(diǎn)￡處.…

（1）結(jié)合小明同學(xué)的想法，請(qǐng)直接寫出：BC=—.

【改編拓展】

張老師繼續(xù)啟發(fā)同學(xué)們改編此題，得到下列試題，請(qǐng)同學(xué)們解答：

（2）如圖2,ZACB=2/B,AD為△48C的外角NC4廠的平分線，交比t的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則線

段/W、AC、C。有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明.

【模型應(yīng)用】

根據(jù)上面探究構(gòu)造全等模型的規(guī)律，請(qǐng)解答：

（3）如圖3,在四邊形中，入C平分ND=2〃，AD=8,DC=1（）,求AB的長(zhǎng).

22.（2024?東莞市三模）數(shù)學(xué)中的軸對(duì)稱就像鏡子一樣，可以展現(xiàn)出圖形對(duì)稱的美，初中常見的軸

對(duì)稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等.

如圖，在等腰AABC中，AB=BC.

（1）尺規(guī)作圖：作A4BC關(guān)于直線AC對(duì)稱的A4DC（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）連接8。，交AC于點(diǎn)O,若&）=2,四邊形A8C￡＞周長(zhǎng)為4石，求四邊形的面積.

23.（2024?武漢模擬）由小正方形組成的5x8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).A48C的三個(gè)

頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.

（1）先畫點(diǎn)4關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)。，再將線段BC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得線段BE；

(2)連CO,在線段C。上畫點(diǎn)尸，使NA4￡=45。，再連4),在上畫點(diǎn)G，使NG/b=-乙44c.

24.(2024?蘭州模擬)如圖，在矩形A6CD中，點(diǎn)E,尸分別在47,CD上.將矩形A8CD分別

沿應(yīng):，所翻折后點(diǎn)4,。均落在點(diǎn)G處，此時(shí)笈，G，”三點(diǎn)共線，若BG=2EG.

(1)求證：矩形八56為正方形；

(2)若DF=2,求BC的長(zhǎng).

25.(2024?鳳凰縣模擬)人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)卜冊(cè)第64頁(yè)數(shù)學(xué)活動(dòng)告訴我們一種折紙得特殊角的

方法：

①對(duì)折矩形紙片A3C。，使AD與8C重合，得到折痕所，把紙片展平；

②再一次折疊紙片，使點(diǎn)八落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)笈，得到折痕房”，同時(shí)得到線段BV.請(qǐng)

你根據(jù)提供的材料完成下面的詞題.

(1)填空：—=；

BN----

(2)求/48W的度數(shù).

AMD

A------------------

BC

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圖形的對(duì)稱

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.(2024?綿陽(yáng))蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時(shí)非常美麗，深受人們喜愛(ài)，它的圖案具有對(duì)稱美，如圖,

蝴蝶圖案關(guān)于)，軸對(duì)稱，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,-3),則點(diǎn)必的小標(biāo)為()

M

A.(2,-3)B.(-3,2)C.(-2,3)D.(2,3)

【答案】A

【考點(diǎn)】坐標(biāo)確定位置；關(guān)于工軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；軸對(duì)稱圖形

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；應(yīng)用意識(shí)

【分析】由題意得，點(diǎn)以-2,-3)與點(diǎn)關(guān)于)，軸對(duì)稱，根據(jù)美于)，軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

縱坐標(biāo)相等，即可得答案.

【解答】解：由題意得，點(diǎn)加(-2,-3)與點(diǎn)M關(guān)于V軸對(duì)稱，

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-3).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)、坐標(biāo)確定位置、軸對(duì)稱圖形，熟練掌握關(guān)于)，軸

對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵.

(2024春?雙塔區(qū)校級(jí)期末)在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的

是()

B.

D.?

【答案】D

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿i條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖

形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解；選項(xiàng)A、。不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)。能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸

對(duì)稱圖形，

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

3.（2024?渦陽(yáng)縣三模）在矩形ABCD中，A8=3,0c=4,石是6c邊上的點(diǎn)，將A46E沿著AE

對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)8落在矩形對(duì)角線上時(shí)，則8E=（）

.33-.x9「9八5一「3

A.-BD.一或一C.-D.一或一

224422

【答案】13

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】矩形菱形正方形；推理能力；展開與折疊：運(yùn)算能力

【分析】分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)用，落在矩形A8CD的對(duì)角線AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)6,

落在矩形A3CD的對(duì)角線8。上時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【解答】解：四邊形ABCD為矩形，

/.AB=CD=3,4C=A￡>=4,ZABC=ZBCD=ZADC=NBAD=9（r,

AC=>jAB2+BC2=A/32+42=5,

當(dāng)點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)用，落在矩形八48的對(duì)角線八C上時(shí)，如圖所示;

根據(jù)折疊可知：A^=AB=3,ER=EB,

9C=AC-八8=5-3=2,

設(shè)即=BE=x,則CE=4-x,

在RtAECB，中，根據(jù)勾股定理可知：

CE2=EB?+CB12,

即(4-x)2=22+x2,

解得：x=3;

2

當(dāng)點(diǎn)笈的對(duì)應(yīng)點(diǎn)片，落在矩形的對(duì)角線雙）上時(shí)，如圖所示;

根據(jù)折疊可知：AE上BD,

ZAjVfB=乙BME=90°，

ZBEM+ZA^E=90o,

/ABD+NMBE=9()。,

：.ZBEM=ZABD,

NAB￡;=N8M>=90°,

BEAB

——=---，

ABAD

即些=3,

34

解得：BE=—；

綜上所述，破的長(zhǎng)為3或2.

24

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊前后兩圖形

全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

4.（2024?中山市校級(jí)三模）如圖，下面是三位同學(xué)的折紙示意圖，則AO依次是&48。的（）

DB

圖①圖②圖

中線、角平分線、高線B.高線、中線、角平分線

角平分線、高線、中線D.角平分線、中線、高線

【答案】C

【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；軸對(duì)稱的性質(zhì)

【專題】應(yīng)用意識(shí)：三角形

【分析】根據(jù)三位同學(xué)的折紙示意圖，結(jié)合三角形角平分線、中線和高線的定義即可解決問(wèn)題.

【解答】解；山題知，

由圖①的折疊方式可知,

ZBAD=ZCAD,

所以AD是AABC的角平分線.

由圖②的折登方式可知，

ZADB=ZADR,

又因?yàn)閆JKDB+ZAD8=180°，

所以ZADB=ZADB=90。,

即ADLBC，

所以AD是AA8C的高線.

由圖③的折疊方式可知，

CD=BD,

所以4）是AABC的中線.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)及三角形的角平分線、中線和高線，熟知三角形角平分線、中線和高

線的定義即可解決問(wèn)題.

5.（2024?寧陽(yáng)縣二模）如圖，已知正方形A5CZ）的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接CF,DF,

且NA￡）/：=NQCb，點(diǎn)E是4）邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接￡8,EF,則長(zhǎng)度的最小值為（）

【答案】A

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

【專題】矩形菱形正方形：平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NADC=90。，推出皿C=90°,得到點(diǎn)尸在以CD為直徑的半圓上

移動(dòng)，如圖，設(shè)CZ）的中點(diǎn)為O,正方形A8CZ）關(guān)于直線AD對(duì)稱的正方形A0C8,則點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)、是B,連接40交4）于E,交半圓O于尸，線段8戶的長(zhǎng)即為EB+石尸的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股

定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：四邊形八4s是正方形，

..ZADC-9(r,

ZADF+NCDF=90°,

ZADF=NDCF,

二.ZDC尸+/8/=90°,

.\ZDFC=90°,

.??點(diǎn)尸在以8為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)8的中點(diǎn)為O,正方形A6CD關(guān)于直線4）對(duì)稱的正方形ADC6,

則點(diǎn)方的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是5,

連接30交A。于石，交半圓O于尸，線段所的長(zhǎng)即為EB+EF的長(zhǎng)度最小值，OF=1,

ZC=90°,B'C=CU=CD=2,

OB^y/B'C2+OC2,

:.BT=V13-1,

.,.也＞+莊的長(zhǎng)度最小值為而-1,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，勾股定理，最小

值問(wèn)題，正確理解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)凱跡是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?合江縣一模）若點(diǎn)夕（3,〃一2）和點(diǎn)QS+4,-2）關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)（〃力）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；符號(hào)意識(shí)

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出〃，〃的值，根據(jù)象

限內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)，進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由題意，得：〃+4=3,?-2=2,

.?.々=4>0,/?--1<（）,

.?.點(diǎn)（4份在第四象限;

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐

標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?牡丹江）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片AO=12?！?，CD=10cm,他進(jìn)行了如下

操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使4）與4c重合，得到折痕板V,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把AAON沿AN折疊得到△人77N,交折痕MN于點(diǎn)E,則

線段RV的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出N/WM=N77AV,進(jìn)而得出E4=/W,設(shè)石4=AN=x

on,則=（127）5?,根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【解答】解：四邊形"6是矩形，

AB=CD=10（7??，

由折疊可得：AM=-AB=5cm,AD=AD=\2cm,MN工AB,QAN=/DAN,

2

四邊形AMN。是矩形，

：.MNHAD,MN=AD=12an,

：.ZDAN=ZANM,

:.NANM="fAN,

:.EA=EN,

設(shè)EA=EN=xcm,則￡M=(12-X)C〃2,

在RlzXAME中，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,

即52+(I2-X)2=X2,

169

解得：x=-----,

24

即EN=^-cm>

24

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考壹了矩形的折疊問(wèn)題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?濱州）數(shù)學(xué)中有許多精美的曲線,以下是“懸鏈線”“黃金螺旋線”“三葉玫瑰線”和“笛

卡爾心形線”.其中不是軸對(duì)稱圖形的是（

A.

【答案】B

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：4、是軸對(duì)稱圖形;

B、不是軸對(duì)稱圖形;

C、是軸對(duì)稱圖形;

。、是軸對(duì)稱圖形;

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

9.（2024?萊蕪區(qū)校級(jí)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形AACD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,將正方形沿直

線4V折疊，點(diǎn)8落在對(duì)角線上的點(diǎn)M處，折痕4V交班）于點(diǎn)￡,則8石的長(zhǎng)為（）

A.2-x/2B.2V2-2C.2+V2D.2+2應(yīng)

【答案】B

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力

【分析】連接MN,首先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出8D=AC=2夜，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得

到=ZABN=刃。，MN=BN,人A/=人“=2,求山CA/-202,然后求山EV--2夜2,

然后證明出AAOEs&v班;，得到絲二匹，代數(shù)求解即可.

BNBE

【解答】解：方法一：如圖所示，連接/WN,

邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

:.AD=AB=BC=2,

BD=AC=ylAB2+BC2=2^,

將正方形沿直線AN折疊，點(diǎn)“落在對(duì)角線上的點(diǎn)M處，折痕AN交BD于點(diǎn)、E,

.?.ZAA/7V=ZABN=9O°,MN=BN,AM=AB=2,

CM=AC-AM=242-2,

ZAC8=45。，

.\ZMNC=45°,

MN=CM=2^-2,

BN=MN=2五-2,

AD//BN,

MDEs^BE,

ADDEHn220-BE

BNBE141-2BE

解得8石=2忘-2.

方法二：?.NQ4E+NOM8=90°,/OBM+/OMB=9QP,

乙。AE—NORM，

又???(74=OB,ZAOE=N4QM=90°,

：./SAOE^^BOM(ASA)

：.OE=OM=2-五,

BE=OB-OE=42-(2->/2)=2y/2-2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)，解題的

關(guān)健是正確作出輔助線.

10.（2024?市南區(qū)校級(jí)三模）如圖，在矩形A3CZ）中，石是的中點(diǎn)，將AABE1折疊后得到AAFE,

4

點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部.延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)H,若4。=4,CH=—,則折痕AE的長(zhǎng)為（）

3

A.V13B.2拒C.3D.2G

【答案】八

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；矩形的性質(zhì)

【專題】推理能力；矩形菱形正方形：平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；幾何直觀

【分析】連接先證明RtAEFH二RtAECH（HL）,得到CH=m，設(shè)=則有AH=x+±,

3

444

DH=x--,在RtAADH中，㈠+=4?+（x-§）2,解出x=3,在RtAABE中，BE=2,人4=3,

即可求AE=4\3.

【解答】解：連接￡77,

后是4C的中點(diǎn)，

/.BE=EC?

將AAB￡折疊后得到MFE,

.?.NAFE=N8=90。，BE=EF,

:.EF=EC,

矩形AI3CD，

NC=90°，

RtAEFH三RtAECH(HL),

:.CH=FH,

4

?.AD=4,CH=-,

3

設(shè)=則有AH=x+—,DH=x—,

33

44

在RtAADH中，(x+-)2=42+(x--)2,

.\x=3,

在RtAABE中，BE=2,八4=3,

/.AE=x/13,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)，掌握?qǐng)D形折疊的性質(zhì)，通過(guò)證明三角形全等，勾股

定理求出y\B的長(zhǎng)是解題的美鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2024?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）如圖，△人AC是等邊三角形，AO是邊上的高，石是AC的中點(diǎn)，

P是4）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸。與戶￡的和最小時(shí)，NCPE的度數(shù)是60°.

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

【專題】三角形；幾何直觀

【分析】連接8E,則的的長(zhǎng)度即為正與PC和的最小值.再利用等邊三角形的性質(zhì)可得

ZraC=ZPC^=3O°,即可解決問(wèn)題：

【解答】解：如連接應(yīng):，與AD交于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PC最小，

△是等邊三角形，ADL13C,

:.PC=PR,

PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值,

△ABC是等邊三角形，

,-.ZBCE=60°，

;BA=BC,AE=EC,

:.BE工AC,

NBEC=W,

...NESC=30°,

PB=PC,

.\ZPCB=ZPBC=30°,

/.ZCPE=ZPBC+ZPCB=60°,

故答案為60。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最短線珞問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題

的關(guān)鍵.

12.(2024?灤南縣校級(jí)模擬)如圖，在AA8C中，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，將AABD沿8D翻折得到AEBD,

%:與AC交于點(diǎn)產(chǎn)，設(shè)A/=x,EF=y.

(1)當(dāng)3E_LAC,x=9,y=3時(shí)，A￡>的長(zhǎng)是5；

⑵當(dāng)BD=BF,2K=7J，時(shí)，ADEF與AA皮)的面積之比是.

【答案】(1)5：

4

【考點(diǎn)】三角形的面積；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】推理能力；運(yùn)算能力：展開與折疊

【分析】（1）設(shè)AO=a,由勾股定理結(jié)合方程思想即可求出4）的長(zhǎng)；

（2）證明ADE尸sA4處），根據(jù)面枳比等于相似比的平方即可求出面積之比.

【解答】解：（1）當(dāng)4E_LAC,x=9，y=3時(shí)，

得N￡"）=90。，A〃=9,EF=3,

設(shè)月。=a,PPJDF=9-a,

由題意可得。4=人。=4，

.?.在RtAEFD中，由勾股定理可得，

DF2+EF2=。爐，

即（9-4）2+32/,

解得：4=5,

故AO=5：

（2）當(dāng)BD=BF,2x=7），時(shí)；

BD=BF；

:.ZBDF=ZBFD,

又,ZADB=l8（）o-NBDF,

NEFD=180。-NBFD,

:.ZADB=^EFD,

由題意可得/4=/E,

「.AEDfsAABf）,

ADABBD

一~EF~~ED~~DF"

2x=ly,

x7

/,一=-9

y2

AF7

.,?____——,

EF2

設(shè)EF=2n，DF=nvi，AF=In，

則AO=EO=（7-〃?）〃，

—。=他口也

2

...AB=BE=（4+7，〃-〃，2）〃，

2

(7—，n)n_7.n

(4+7/72-in2)n(7-m)n

F

整理得：2w2-2bn+45=0,

解得：叫=￡(不符合題意，舍去)，

2

"4=3,

ED=4〃?AB=8〃，

EF_1

?.?-S-^--―_1---1—_,

SMBDAB4

故ADEF與MBD的面積之比是：-.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，相似三角形等知識(shí)，熟悉掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.(2024?南充模擬)如圖，將矩形ABC。對(duì)折，使與CD邊重合，得到折痕MN,再將點(diǎn)A沿

過(guò)點(diǎn)。的直線折直到MV上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，，折痕為DE,AB=IO,BC=6,則AN的長(zhǎng)度為

10—36

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問(wèn)題)

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】由矩形的性質(zhì)得A0=BC=6,由折疊得AO=AZ)=6,因?yàn)镸N垂直平分4),所以

ZAMN=NQMV=9O°,DM=AM=-AD=3,可證明四邊形A3NM是矩形，則MN=A6=10,所

2

以AM=-DM2=36,則AW=MV-4M=10—3G，于是得到問(wèn)題的答案.

【解答】解：四邊形ABC。是矩形，AB=10,BC=6,

AD=BC=6?

由折疊得AD=AZ)=6,點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于直線MN對(duì)稱，

.?.MN垂直平分4),

/.ZAMN=ZDA/^V=90°,DM=AM=-AD=3,

2

?/ZA=ZB=ZAM^=90°,

.??四邊形48MM是矩形，

:.MN=AB=\0,

.A!M=yjA'D--DM~=A/62-32=3x/3,

AN=MN-AM=10-3^，

故答案為：10-36.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地求出AM的長(zhǎng)

是解題的關(guān)鍵.

14.(2024?濱州)如圖,四邊形AO6c四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-l,3),0(0,0),5(3,-1),C(5,4),

在該平面內(nèi)找一點(diǎn)。，使它到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和A4+PO+”+PC最小，則〃點(diǎn)坐標(biāo)為(3，

一9一

【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題

【專題】平面直角坐標(biāo)系；一次函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接OC和A4,它們的交點(diǎn)夕即為所求，然后求出直線OC和直

線/W的解析式，將它們聯(lián)立方程組，求出方程組的解，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：連接OC、AB,交于點(diǎn)尸，如圖所示，

兩點(diǎn)之間線段最短，

二.產(chǎn)。十尸C的最小值就是線段OC的長(zhǎng)，叢十出的最小值就是線段的長(zhǎng)，

.??到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和小+尸。+依+PC最小的點(diǎn)就是點(diǎn)P,

設(shè)OC所在直線的解析式為)，=h，所在直線的解析式為)，=辦+人，

.點(diǎn)C(5,4)在直線OC上，點(diǎn)4(-1,3),8(3,-1)在直線上,

-a+b=3

,4=5攵，

3a+b=-\

a=-\

解得k--y

5h=2

，直線（X：的解析式為），=3x,直線AB的解析式為y=-x+2,

4

y=-x

二?5，

y=-x+2

10

x=——

解得？,

.??點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（"，1）,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出點(diǎn)。所在的位

置.

15.（2024?浦東新區(qū)三模）如圖，在正方形八ACD的邊人4上取一點(diǎn)石，聯(lián)結(jié)CK，將ABCE沿CE

翻折，點(diǎn)4恰好與對(duì)角線AC上的點(diǎn)尸重合，聯(lián)結(jié)。尸，若BE=2,則的面積是_3x/2+4

【答案】3人+4.

【考點(diǎn)】三角形的面積；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】三角形；矩形菱形正方形；展開與折疊；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】由折置可得即=跖=2,ZCFE=ZB=90°,且NE4E=45?？傻萌水a(chǎn)=2,AE=2立即可

求對(duì)角線的長(zhǎng)，則可求△CD廠面積.

【解答】解：如圖，連接口）交AC于O，

ABCD為正方形,

/.ZABC=90°,AB=BC,AC±BD,DO=BO,ZBAC=450.

的《￡沿8翻折，

：.BE=EF=2,BC=CF,ZEFC=90°,Z^4C=45°,

ZEAF=ZAEF=45°,

.\AF=EF=2,

AE=2y/2,

AB=2叵+2=BC=CF,

.?.4。=4+2應(yīng)，

二OD=2+42.

S’CDF=g*CFxDO=3A/2+4.

故答案為：3夜+4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

16.（2024?海南）如圖，矩形紙片A3CD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)、E、尸分別在邊AD、4C上，

將紙片人5C短沿即折疊，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在邊4C上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,則的最小值為

6_，b的最大值為.

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】推理能力；圖形的相似；特殊化方法

【分析】山折疊可知Z>E=DE,則。Z_L〃C時(shí)，DE最小，即DE最小，此時(shí)四邊形是正

方形，則?！?6=6；當(dāng)"與重合時(shí)，CF最大，此時(shí)E在⑺的垂直平分線上，求出AD,OB,

再證ABOFsABCD,求出M,即可解答.

【解答】解：由折疊可知/犯=/y￡,則ZXE_L8C時(shí)，。七最小，即/組最小，此時(shí)四邊形CDTO'是

正方形，則DE=CD=6；

A

BD'C(F)

當(dāng)A與O重合時(shí),C"最大.此時(shí)E在/?力的垂直平分線卜.如圖:

A_、'￡________D

)

矩形紙片鉆6中，48=6,BC=8,則8。=10,則08=5,

?.ZBOF=90°=ZC,4CBD=4OBF,

:.叢BOFsRBCD,

BOBF

?\---=---9

BCBD

:.BF=—,

4

:.CF=~.

4

故答案為：6；—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分析出最值

情況是解題的關(guān)鍵.

17.（2024?啟東市二模）已知四邊形478是矩形，AB=2,I3C-4,E為〃C邊上一動(dòng)點(diǎn)且不與

B、C重合，連接A￡,如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN工AE交CD于點(diǎn)N.將AECN沿EV翻折，點(diǎn)C恰好落

7

在邊">上，那么應(yīng):的長(zhǎng)2或士

--------3-

【答案】2或2.

3

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【專題】展開與折疊；推理能力

【分析】過(guò)點(diǎn)石作上尸，4）于尸，則四邊形ABEF是矩形，得出A￡?=￡F=2,AF=BE,由折疊的

性質(zhì)得出CE=C'E,CN=C'N,NECW=NC=90。，證明△a?'尸/△CRD,得出衛(wèi)=型=2

EFFCCE

iCDDNCN.ABBEzCNBEn...CDDNBE但山6A^wr>r-

則mi——=——=——，Hl—=——，得HL出1J一=—,則——=——=——，得出CD=BnrE,設(shè)BE=x,

EFFCCECECNCEABEFFCAB

則C7)=A/=x,CF=4-2x,CE=4-x,則一^-=,求出ON=x(2—x),CN="一處

4-2x24-x22

由CN+DN=CD=2,即可得出結(jié)果;

如圖所示:

則四邊形A8M是矩形,

:.AB=EF=2,AF=BE,

由折疊的性質(zhì)得：CE=C'E,CN=CN,NEC7V=NC=90。,

...N/VC'O+NEC/=90。，

NCM)+NNCO=90。,

:.ZECF=/CND,

ZD=NEFC,

△ECfs*CND,

CD_DN_C'N

~EF~~FC~~CE'

CDDNCN

~EF~~FC'~~CE'

ABBE

同理可得:

~CE~~CN

CN_BE

CDDNBE

~EF~~FC~~AB

:.CD=BE,

設(shè)=則C7)=A/=x,CF=4-2x,CE=4-x,

?.--D-N--=—x,--C-N--=-x，

4-2x24-x2

:.DN=x(2-x),CN=M4f),

2

:.CN+DN=x(2-x)+A-(4-'V)=CD=2,

2

解得：＞￥=2或*，=二，

3

?

.?.破=2或=

3

故答案為：2或2.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、一元二次方程的解

法，三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(2024?南陽(yáng)一模)如圖，矩形ABCD中，A8=10,4)=4,點(diǎn)P為邊CZX上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AAPO

沿AP折疊得到AAPQ,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，當(dāng)射線PQ恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)M時(shí).，OP的長(zhǎng)為，

或8.

DPC

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問(wèn)題)

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱：推理能力

【分析】分兩種情況：①如題干圖，PQ的延長(zhǎng)線過(guò)AB的中點(diǎn)M,先推出M〃=M4=5,在RtAAMQ

中，求出歷Q,即可求出QP,由翻折性質(zhì)可得OP=QP,從而解決問(wèn)題；②PQ過(guò)的中點(diǎn)

類似的可以求出OP的長(zhǎng).

【解答】解：①尸。的延長(zhǎng)線過(guò)A3的中點(diǎn)如題干圖，

四邊形A38是矩形，

：.AB//CD,ZD=90°,

^APD=ZPAM,

將AAPD沿轉(zhuǎn)折疊得到A4PQ,4)=4,

；.ZAPD=ZAPM,ZAQP=ND=90。,AQ=AD=4,DP=QP,

.\ZAPM=ZPAM,ZAQM=90°,

:.MP=MA,

AB=\0,M是AB的中點(diǎn)，

：.MP=MA=5,

在RtAAMQ中，

由勾股定理，得MQ=Jw-e2=552-42=3,

:.DP=QP=MP-MQ=5-3=2；

②PQ過(guò)AB的中點(diǎn)M,如圖，

同①，可求得MQ=3,PM=AM=5>

：.DP=QP=MP+MQ=5+3=^.

綜上，￡>P=2或8.

故答案為：2或8.

【點(diǎn)評(píng)】木題考查翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，掌

握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（2024?柳東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將矩形紙片/WCa/W>/V））沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)A落

在“■邊上的點(diǎn)尸處，折痕為DE,連結(jié)EC，再將△BEC沿直線CE折疊，使點(diǎn)4落在。E1上的點(diǎn)G

處，若BC=①,MADEC［陰影部分）的面積為

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折會(huì)問(wèn)題）

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】由矩形的性質(zhì)得ZA=N8=90。，AD=BC=丘，由折疊得=ZA=90。，

NCGE=NA=90。，GC=BC=近,再證明四邊形AER）是正方形，則FE=/；D=6,求得

DE=^JFE2+FD2=2,則S/K=」DEGC=>/5,于是得到問(wèn)題的答案.

?2

【解答】解：.四邊形A88是矩形，

.\ZA=ZB=9（）0,AD=BC=&,

由折疊得NOAE=NA=90°，/CGE=N3=90°,GC=BC=&,

.點(diǎn)尸在￡心邊上，點(diǎn)G在.DE上,

.?.四邊形AE"）是矩形，GC-DE,

FD=AD=五,

.?.四邊形AE7T>是正方形，

:.FE=FD=五,

2

DE='JFE+FDr=+@y=2,

'.St>FC=-DEGC=-x2xy/2=42,

故答案為：夜.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、三角形

的面積公式等知識(shí)，證明四邊形碼D是正方形是解題的關(guān)健.

20.（2024?渝中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形紙片A38中，E為的中點(diǎn)，連接AE,將4$石沿

折疊得到AAEE,連接6.若45=4,4。=6,則6的長(zhǎng)為—.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）：矩形的性質(zhì)

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】連接所，交AE于點(diǎn)O,山折疊可知：BE=EF,ZAEB=ZAEF,AK垂直平分班再

證人E//C尸，得至l]NAGC=90。，在RlAABE中，利用等積法求出80的長(zhǎng)，最后在RlABFC中，利

用勾股定理即可求出答案.

【解答】解：連接卸\交AE于點(diǎn)、O,

由折疊可知：

BE=EF,ZAEB;ZAEF,AEA.BF,OB=OF,

點(diǎn)￡為6c的中點(diǎn)，

;.BE=CE=EF=3,

:.ZEFC=ZECF,

ABEF=Z.ECF+/EFC,

:.ZAEB=ZECF,

：.AE//CF,

:.4FC=/BOE=W,

在RtAABE中，由勾股定理得：

AE=\IAB'+BE?=5,

n八ABBE4x312

AE55

24

/.BF=2BO=—,

5

在RtABCF中，由勾股定理得：

CF=7BC2-BF2=^62-（y）2=y,

故答案為：史.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握

翻折變換和勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

21.（2024?建平縣模擬）【課例改編】

數(shù)學(xué)課上，張老師根據(jù)數(shù)學(xué)課本習(xí)題改編了一個(gè)題目：如圖，4）是4A8C的高，NC=2ZB,若CD=2,

AC=5,求3。的長(zhǎng).

圖1

小明同學(xué)的想法是利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決：將△AC。沿4)折疊，如圖I,則點(diǎn)C剛好落在3C

邊上的點(diǎn)￡處.…

(1)結(jié)合小明同學(xué)的想法，請(qǐng)直接寫出：BC=9.

【改編拓展】

張老師繼續(xù)啟發(fā)同學(xué)們改編此題，得到下列試題，請(qǐng)同學(xué)們解答：

(2)如圖2,ZACB=2/B,AD為△48C的外角NC4廠的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則線

段/W、AC、C。有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明.

【模型應(yīng)用】

根據(jù)上面探究構(gòu)造全等模型的規(guī)律，請(qǐng)解答：

(3)如圖3,在四邊形中，入C平分ND=2〃，AD=8,DC=1(),求AB的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；翻折變

換(折疊問(wèn)題)

【專題】圖形的全等；展開與折疊；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，由折疊的性質(zhì)可得：AC=AE=5,DE=CD=2,NC=ZAED,

由NC=2ZB可得/4ED=24,再由三角形外角的定義及性質(zhì)可得/4ED=N8+NE4石，推出

zJ5=ZfiAF,進(jìn)而得到m=A￡=5,最后進(jìn)行訂算即可得到答案；

(2)在A/上截取AG=AC,連接QG,證明△C4O=△GAO得到C￡)=GO,ZACD=^AGD,證

明ZACB=NDGF,再由NAC4=2N4得到NOG尸=2N4,再根據(jù)三角形外角的定義及性質(zhì)得出

NB=