高三數學一輪復習一一基本不等式專題

知識點?梳理

1、重要不等式

a2+h2>2ab（awR、bsR）.

2、基本不等式

a^b>2y［ab（a>0,/?>0）.

3、最值定理

已知x,yeR_,x+y=已孫=S.有下列命題:

①如果S是定值，那么當且僅當x=y時，x+y有最小值2JJ；

②如果。是定值，那么當且僅當時，個有最大值g：

口訣：積定和最小，和定積最大.

重點題型?歸類精講

題型一基本不等式一直接法

【例1-1】（2011年真題）已知函數/（x）=4加+=（〃>（））有最小值8,則。二

【例1-2］（2008年真題）已知函數/3=/+二（〃>0/>0）有最小值1,貝1］?！?

X

【例1-3】（2007年真題）函數尸磊的最大值是一

【例1-4］（2006年真題）設x+y=8,則3、+3、的最小值等于

A、81B、162C、49D、98

第1頁共12頁

【變式1］已知x>0,>?>0,且％+4y=12,則個的最大值為（）

A.8B.9C.18D.36

【變式2】若存在工?0,y），使、:成立,則。的取值范圍是___________，

X+3x+l

題型二基本不等式一配湊法

【例2-1】（2009年真題）函數），=9x+/一（xw（l,+8））的最小值是一

【變式1］若>>3,則4x+—1的最小值為（）

x-3

A.4B.5C.16D.17

【變式2】若x>-3,則2"擊的最小值是（）

A.2&+6B.272-6C.2拉D.2夜+2

【變式3】函數二3"白的最小值為（）

A.8B.7C.6D.5

題型三基本不等式一“1”的妙用

【例3-1］已知。>0力>0,若不等式■!■+2之工恒成立，則〃2的最大值為（）

ab4。+。

A.25B.6C.4D.5

【變式1］已知x，y>0，"=2x+y,則x+2y取得最小值時，工=（）

A.V3B.G+lC.3D.石-1

第2頁共12頁

課后模擬?鞏固練習

1、己知x>0,y>。,且2x+y=AY,則x+2y的最小值為()

A.8B.8夜C.9D.9加

2、若對任意一叱了一恒成立,則實數a的取值范圍是（）

A.[T,y)B.13,+如C.D.(5]

3.已知4力>0且切=2,則3+DS+2）的最小值為（）

A.4B.6C.2V2D.8

4.如果，〃>0,那么〃?+3的最小值為（）

m

A.2B.2V2C.4D.8

5.已知x>0,y>0,xy=4,則#+2y的最小值為().

A.4B.4x/2C.6D.872

6.設於?。收），且研X,貝哈+：的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

9.

7.函數尸工+—^（X>3）的最小值是（）

x-J

A.2B.4C.6D.9

第3頁共12頁

.__________.基本不等式

I知識點?梳理]

1、重要不等式

a2+b2>2ab(aeR,beR).

2、基本不等式

>2\[ab(a>0力>0).

3、最值定理

己知x,y￡R+，x+y=P,盯=S.有下列命題：

①如果S是定值，那么當且僅當天=)，時，x+y有最小值2

P2

②如果P是定值，那么當且僅當x=y時，有最大值一；

"'4

口訣；積定和最小，和定積最大.

重點題型?歸類精講

L?聞(國湛

【例1-1](2011年真題)已知函數/(X)=4O?+W(Q>O)有最小值8,則〃=

【答案】2

【解析】4ax2+-^->2x^4ax-2x-^->2x\/4a^>4a,最小值為4〃=8,a=2

【例1-2】(2008年真題)已知函數〃”=加+與(〃>(),〃>())有最小值1,則必=―

.AT

【答案】I

4

【解析】由基本不等式得a+Z?N2>/^,即加+422小爾=2y=；,ab=；

【例1-3](2007年真題)函數)，二——的最大值是_

x+16

【答案】|

O

x2_1、16I216,16，1

[解析]ytFTli"丁話+7>7="+?最小值8,故士7最大值三

XH--7.￥+16X

廠

第5頁共12頁

【例1-4]（2006年真題）設x+y=8,則3'+3,的最小值等于

A、81B、162C、49D、98

【答案】B

【解析】由基本不等式。十人之2而得，3X+3V>2V3vx3v=2y/y^==2x34=162

【變式1】已知x>（）,y>0,且K4），=12,則冷，的最大值為（）

A.8B.9C.18D.36

【答案】B

【分析】由外-；?4個，利用基本不等式可求得結果.

4

【詳解】X>O,y>0,「.孫=；.4孫=9（當且僅當X=6,丁=；時取等號），

???d的最大值為9.

故選：B.

【變式2】若存在xe（0,田），使丁J川成立，貝化的取值范圍是___________.

.r+3x+l

【答案】

【解析】依題意存在xt（0，a）,使「彳成立,即存在xt（0,”），使得，即

r+3x+x~+3.V+1

A-[V2+3V+1]'因為.EW（0,4<?）,所以x+=當且僅當％」,即」=1時取等號,所以

X

x_111

<=聽以即ae-oo,1；

x2+3X+1-l*/2+35,即~7的最大值為J

X+-+31+3x+l5

X

故答案為：（—，（

題國名酸漏筋翳

【例2-1]（2009年真題）函數），=9/+---卜￡（1,+8））的最小值是一

X-1

【答案】21

4441（9x-9）x-iy）+9=21

【解析】9x+——=9x-9+9+—=9x-9+——+9>2J

x-\x-\x-\v

【變式1】若%>3,則4x十—1的最小值為（）

x-3

A.4B.5C.16D.17

【答案】C

【分析】根據基本不等式即可求解.

【詳解】由于x>3,所以x-3>0,

第6頁共12頁

4x+—=4（x-3）+—!—+12>2J4（x-3）—+12=16,

?X**3A3V.x3

當且僅當4（x-3）=—I即x=79寸，等號成立.故最小值為16

X-JZ

故選:C

【變式2】若.0-3,則2X+」的最小值是（）

x+3

A.2&+6B.272-6C.272D.272+2

【答案】B

【分析】利用基本不等式即可得解.

【詳解】由x>-3,可得x+3>0,

2x+—=2（x+3）+———6>2J2a+3）-—!—-6=272-6,

x+3x+3Vx+3

當且僅當2。+3）=工，即x=_3+正時取等號，

x+32

【變式3】函數JFBx+AyG〉?的最小值為（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】因為所以3x—l〉0,

,4

所以2+小=（3x-l）+----+12

I）3.1

當且僅當3x7=3,即x=l時等號成立,

3x-l

4（1A

故函數y=+--x>-的最小值為5.

3x-l\3）

故選：D.

§酸漏

【例3-1］已知。>0乃>0,若不等式！+：之3）恒成立，則"Z的最大值為（）

ah4。+。

A.25B.6C.4D.5

【答案】D

？（\

【分析】不等式12QS產”，可化為1+O7\（4。+小5加，利用基本不等式fl求出Q\（4"力的最小值,

ab4a+bI。b）\ab）

即可得到機的最大值.

【詳解】因為不等式上2為恒成立，〃>0,10,

ab4a+b

所以g+11（4?+Z?）>5m恒成立，

第7頁共12頁

設尸f）（4a+〃）,則產（1+；）（4。+〃）=13+-+^>13+2/2.華二25

當且僅當〃=6〃時等號成立，

所以5"區(qū)25,所以團45,所以團的最大值為5,

故選：D.

【變式1】已知x,y>。,孫=2x+y,則x+2y取得最小值時,I=()

A.x/3B.G+lC.3D.x/5-l

【答案】C

12

【分析】根據題意可得一十二=1,結合基本不等式運算求解，注意等號成立的條件.

xy

【詳解】?..x,y>0Q=2x+y,則+工=1,

孫xy

?「/2_2y2x_l2y2x.

..x+2y=(x+2y)\―+―=5+—+—>5+2(-------=9,

y)xy\xy

2y=2x

當且僅當；=7,即當x=y=3時，等號成立.

xy=2x+y

故選：C.

課后模擬?鞏固練習

1、己知x>0,)>。，且2人十丁=刈，則八十2)，的最小值為()

A.8B.8夜C.9D.9夜

【答案】C

21,、，2I、

【分析】由己知等式可得；+7=1,根據x+2y=(x+2)，)K+；J,利用基本不等式可求得結果.

21

【詳解】由2x+y=—,x>0,y>。得：-+-=l,

y\

.?.x+2p=(x+2)，)償+q=5+在+包25+2、叵互=9(當且僅當上=包，即x=3,產3時取等號),

?J+2)，的最小值為9.

故選：C.

Or

2、若對任意——7恒成立，則實數a的取值范圍是()

r+X+1

A.[T,p)B.[3,十8)C.宗田)D.(7/1

第8頁共12頁

【答案】C

【解析】因為%>。，所以f+x+ix+i+1-2rr+13,當且僅當即”=1時取等號，因為

壯丁巧恒成立，所以即。土，+8）；故選：c

x+X+13L3；

3.己知《〃>。且"=2,則（〃+1）（。+2）的最小值為（）

A.4B.6C.2&D.8

【答案】D

【分析】根據給定條件，利用基本不等式求出最小值.

【詳解】4〃>0且（必=2,則（a+l）（〃+2）="+2a+〃+2=4+2a+〃N4+2>/^r^=8,

當且僅當2=6,即。="=2時取等號,

所以當。=12=2時，（a+l）S+2）的最小值為8.

故選：D

4.如果小>0,那么小+土的最小值為（）

m

A.2B.2x/2C.4D.8

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用基本不等式求出最小值即得.

【詳解】m>0,m+—>2Lr—=4,當且僅當加=',即，〃=2時取等號，

mVmni

所以m+3的最小值為4.

m

故選：C

5.己知x>0,3,>0,xy=4,則x+2y的最小值為（）.

A.4B.4x/2C.6D.8立

【答案】B

【分析】由基本不等式即可求解.

【詳解】由于x>0,J>0,所以x+2yN2歷=4a,當且僅當/=2），=20時取等號，故x+2），的最小

值為4匹.

故選：B

6.設加,，2￡（0,心），且〃?+〃=1,則的最小值為（）

mn

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

第9頁共12頁

【分析】由基本不等式的乘法即可求解.

【詳解】-+-=(—+^-](fn+n)=2+—+—>2+2=4t等號成立當且僅當m=〃，

mn\mn7inn2

所以'的最小值為4.

〃；n

故選：B.

9

7.函數尸x+—^(x>3)的最小值是()

x-J

A.2B.4C.6D.9

【答案】D

9

【解析】先將函數解析式化為)，=I-3+T+3,再利用基本不等式，即可求出結果.

x-3

【詳解】因為x>3,

QOIQ廠

^fWy=x+—=x-3—+3>2(x-3)--—+3=2x/94-3=9,

x-3+x-3V(x-3)

9

當且僅當X-3=3，即x=6時，等號成立.

x-3

故選：D.

【點睛】易錯點睛：

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等"“一正''就是各項必須為正數；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須

把構成積的囚式的和轉化成定值；

(3)“三相等''是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就

不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

8.若x>2,則x+上的最小值為()

x-2

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】將式子整理為x-Z+J7+Z,進而結合基本不等式求得答案.

x-2

【詳解】由題意，x>2^x-2>0,所以x+工=蟲一2+=+22271-2).工+2=4,當且僅當

x-2x-2Vx-2

彳―2=」=戶3時取“=”.

x-2

故選：D.

9.函數的最小值是()

第10頁共12頁

A.3收-3B.3

C.6及D.672-3

【答案】D

【分析】利用基本不等式即可求解.

【詳解】y=3（x2+l）+-A--3>2j3（x2+l）-A--3=2V18-3=6>/2-3,

'7+1\'7+1

當且僅當丁=夜_］時等號成立.

故選：D.

10.已知〃口都是正數，若2"+〃=2,則二?+：1的最小值是（）

ab

95

A.5B.4C.-D.7

22

【答案】C

7I