方程與不等式中的新定義問題

1.（2025?路北區(qū)校級一模）定義區(qū)表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如=[-1.2]=-2,[-3]=-3,

則方程2卜]=/的解為（）

A.0或忘B.?；?C.2或立D.0或血或2

2.（2025秋?尋烏縣期末）【閱讀理解】

定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩

條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”.如圖1,

點尸在直線/上，射線PR,PS,P7位于直線/同側，若只S平分NR/7,則有/RPT=2ZRPS,所以我

們稱射線球是射線PS,PT的“雙倍和諧線

【遷移運用】

（1）如圖1,射線&（選填“是”或“不是”）射線球，PF的“雙倍和諧線”；射線PT（選

填“是”或“不是”）射線"，PK的“雙倍和諧線”；

（2）如圖2,點O在直線MN上，OA±MN,ZAQ4=40。，射線OC從QN出發(fā)，繞點O以每秒4。的速

度逆時針旋轉，運動時間為/秒，當射線OC與射線。4重合時，運動停止.

①當射線。4是射線03,OC的“雙倍和諧線”時，求f的值；

②若在射線”旋轉的同時，ZA08繞點O以每秒2。的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線8平

分ZAOB.當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM,。。的“雙倍和諧線”時，求NCON的

度數(shù).

MN

O

圖2備川圖

3.(2025春?姜堰區(qū)期末)【情境呈現(xiàn)】

2人十3y4A-3y_

------+------=7

在解方程組32時，某同學發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量

2x+3y+4A--3y

=5

43

比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4%-3y分別看作一個整體，通過換元：令〃z=2x+3y、

mn_

—+—=7

2m=\2,，〃=12...、

n=4.r-3y,可以將原方程組化為《3,解得.,把《入m=2x+3y、〃=4x—3y,住

〃=6n=6

-+-=5

43

2x+3y=12,解得[x=3,所以原方程組解為,x=3

4x-3>,=6&=2)'=2

【靈活運用】

3—+2)=1的解為

(1)若方程組J3x+如=1的解為x=1,則方程組.

ax+j=6[y=1a(x-2)+[y+2)=6

(2)若方程組乎3"。的解為i,其中左為常數(shù).

a2x+b2y=c2y=K-2

-t7,(x+l)+—/7.(v-2)=c.

①求方程組;:'的解:

-a2(x+\)+-b2(y-2)=c2

②是否存在負整數(shù)左，使得①中方程組的解滿足若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理

由.

4.(2024秋?蓬江區(qū)校級期中)對任意四個有理數(shù)a,b,c,d,定義新運算：|"b\=ad-bc.

cd

(1)若12'|=18,則％=:

x\

(2)若I*”2|=4,求x的值.

x-\a

5.（2025春?東陽市期末）對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，

則稱這兩個方程為“相似方程”；②若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程

（1）判斷一元一次方程3-2（l-.r）=4x與分式方程生已_1=1—是否是“相似方程”，并說明理由;

2x-l4X2-1

（2）已知關于x,y的二元一欠方程y=g+6與y=x+4〃?是"相伴方程”，求正整數(shù)〃!的值.

6.（2025春?西峽縣期末）閱讀理解

定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi),則稱該一元一次方程為該不等式組的“子

2x—3<9—x

方程”，例々口：2x-l=3的解為x=2,'的解集為一3<xv4,不難發(fā)現(xiàn)x=2在一3<x〈4的

5x+5>2x-4

2x—3v9—x

范圍內(nèi)，所以標-1=3是*'的“子方程”.

5x+5>21-4

問題解決

(1)在方程①版-1=0,②241=0,③2x+3(x+2)=21中，不等式組.3（.2）-%”的“子方程”

3

是—.（填序號）

3Y—6>4—X

（2）若關于工的方程2xd=2是不等式組"的“子方程”，求出的取值范圍；

x-l>4x-10

⑶若方程2-=。，浮一都是關于'的不等式組工+5””的，，子方程，，，試求”的取值

x+m<2m-3

范圍.

9.(2025春?石林縣期末)我們定義，關于同一個未知數(shù)的不等式A和4，如果兩個不等式的解集相

同，則稱不等式A與4為同解不等式.

(1)若關于x的不等式4:3-2x>0,不等式B.—―-<2是同解不等式，求”的值；

3

(2)若關于X的不等式，不等式D:x-4>0是同解不等式，其中〃?，〃是整數(shù)，試求/〃，〃

的值.

10.(2025春?常熟市期末)定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范圍內(nèi)，則稱一元

一次方程為一元一次不等式的“伴隨方程”.如：一元一次方程x+l=2的解為x=l,而一元一次不等

式2x-3<x的解集為x<3,不難發(fā)現(xiàn)戈=1在x<3范圍內(nèi)，則一元一次方程x+1=2是一元一次不等式

2”3<x的“伴隨方程”.

(1)在①-30+1)=9,②2x+3=5,③=L三個一元一次方程中，是一元一次不等式3(1+刈八-4

42

的“伴隨方程”的有(填序號)；

(2)若關于上的一元一次方程3x-a=2是關于x一元一次不等式3(〃+。.4〃+x的“伴隨方程”，且一元

一次方程￡21+1=1不是關于x的一元一次不等式g<二的“伴隨方程”.

223

①求a的取值范圍；

②直接寫出代數(shù)式|a|+|a-3|的最大值.

11.（2025春?浦東新區(qū)期末）我們規(guī)定，若關于x的一元一次方程奴=〃的解為工=8-〃，則稱該方程

為“奇異方程”.例如：2x=4的解為x=2=4-2,則該方程2—4是“奇異方程”.請根據(jù)上述規(guī)定

解答下列問題：

（1）判斷方程5x=-8（回答“是”或“不是”）“奇異方程”；

（2）若〃=3,有符合要求的“奇異方程”嗎？若有，求。的值；若沒有，請說明理由.

12.（2025春?即墨區(qū)期末）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該

Y-I>1

一元一次方程為該不等式組的“關聯(lián)方程”，例如：方程*-1=3的解為工=4,而不等式組的

x-2<3

解集為2<x<5,不難發(fā)現(xiàn)x=4在2vxv5的范圍內(nèi)，所以方程x-1=3是不等式組廠一>1的“關聯(lián)方

x-2<3

程”.

(1)在方程①3(x+1)-3=9;②4工-7=0;——+l=x中，不等式組1、的“關聯(lián)方程”

23(x-2)-^<4

是—：（填序號）

3x+l

----->X

2

（2）若關于工的方程2xd=6是不等式組的“關聯(lián)方程”，求左的取值范圍？

x-l>2x+l2

23

13.(2025春?揚州月考)閱讀下列材料：我們知道|x|表示的是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離,

即|x|=U-0|,也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離.這個結論可以推廣為|芭-七|

表示在數(shù)軸上數(shù)%,占對應點之間的距離.

例如:解方程|x|=6.

解：?.?|劃=|工-0|=6,

二在數(shù)軸上與原點距離為6的點對應的數(shù)為±6,即該方程的解為x=±6.

【理解應用】根據(jù)絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式.

我們定義：形如“國,|x|<m,|x|>inn(〃?為非負數(shù))的不等式叫做絕對值不等式，能

使一個絕對值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對值不等式的解集.

由圖1可以得出：絕對值不等式|x|>1的解集是X<-1或x>1,

絕對值不等式國工機的解集是—3WxW3.

例如：解不等式

解：如圖2,首先在數(shù)軸上找出的解，即到1的距離為2的點對應的數(shù)為-1,3,則>一1|>2的

解集為到1的距離大于2的點對應的所有數(shù)，所以原不等式的解集為x<T或x>3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程|、一5|=3的解為.

(2)不等式國24的解集是—.

(3)不等式2*+2|+1<9的解集是.

(4)不等式|x+l|+|x-3|>4的解集是.

(5)若年一3|—卜+4|Ka對任意的％都成立，則a的取值范圍是.

I也

14.(2025春?溫江區(qū)校級期中)我們定義一種新的運算“g”；對于兩個數(shù)進行“⑥”運算時，同

號相乘，異號相除，0與任何數(shù)進行"兇"

運算，結果為0.例如：(+5)0(-4)=+20,(+6)0(-3)=-2,(+7)00=0.

(1)(-5)?(-10)J=;

(2)對于任意有理數(shù)〃，b,計算：(/+2)區(qū)/；

(3)比較大??；2X2-4X+3。(填或“<");若x>0,且(2/-<?+4人)0(-2人)=一1,求

(2x2-4,v+3)?(x+1)+(A2+7x)0(-,v)的值：

(4)在(3)的條件下，求代數(shù)式》+/+./+/+.../2+，+3+4+±+...+=7的值.

XX2X4X8X5,2

15.(2025春?巴中期末)定義：如果兩個一元一次方程的解之和為I,我們就稱這兩個方程為“美好

方程”,例如：方程24-1=3和x+l=O為“美好方程”.

(1)請判斷方程敘-3+5)=1與方程-2)，-)，=3是否互為“美好方程”；

(2)若關于尤的方程已+〃?=0與方程3x-2=x+4是“美好方程”，求加的值;

2

1

(3)若關于x方程一!一x-l=0與x+I=34+&是美好方程”求關于y的方程

20222022

I

(y+2)+l=3y+&+6的解.

2022

16.(2025春?朝陽區(qū)校級期末)新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個方程

為“友好方程”，如：方程2x=6和次+9=。為“友好方程

(1)若關于工的方程3x+〃z=O與方程2x-6=4是“友好方程”，求機的值.

(2)若某“友好方程”的兩個解的差為6,其中一個解為〃，求〃的值.

17.(2025秋?余姚市月考)【閱讀理解】

若A,B,C為數(shù)軸上三點，若點C到A的距離是點C到8的距離2倍，我們就稱點。是［4,用的“妙

點”.例如，如圖1,點4表示的數(shù)為-1,點8表示的數(shù)為2.表示1的點C到點A的距離是2,到點

8的距離是1,那么點。是［A,B］的“妙點”.又如，表示0的點。到點A的距離是1,到點8的距

離是2,那么點。就不是［A,3的“妙點”，但點。是［4,川的“妙點

【知識應用】

如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為-2,點N所表示的數(shù)為4.

(1)數(shù)3(填“是”或“不是")［M,N］的“妙點”，數(shù)2(填“是”或“不是”)［N,

M］的“妙點”.

(2)若數(shù)軸上有一點。表示的數(shù)是x,且點。是［N,M］的妙點，求/的值.

(3)如圖3,A、4為數(shù)軸上兩點，點A所表示的數(shù)為-4().點4所表示的數(shù)為20.現(xiàn)有一只電子螞

蟻。從點4出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止.當，為何值時，點P,A和4中

恰有一個點為其余兩點的“妙點”？(請直接寫出答案)

ADCB

-J--1---，，，?

-3-2-I0I23

mi

1M111N

-4—3-2-I01234

圖2

AB

-40-30-20-10010203040

圖3

A,111i1.B11?

-40-30-20-10010203040

務用國

18.（2025春?岳麓區(qū)校級期末）新定義：對于實數(shù)x,我們規(guī)定國表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.4]=1,

[2]=2,[-3.5]=-4,試解決下列問題：

（1）填空：

①（乃為圓周率），

②如果比-2]=3,則實數(shù)4的取值范圍:

（2）若點尸《y）位于第一象限，其中”，），是方程組上+,=團+2的解，求〃的取值范圍：

'3x+4y=6[?]+3

（3）若/伏）=[包上崗伏是正整數(shù)），例：f（3）=[2±1]-[2]=1.下列結論:

4444

①/（1）=0：②/僅+4）=./W：③/（k+l）.JW：④7W=0或1.

正確的有（填序號）.

19.（2025秋?錦江區(qū)校級期末）小兵喜歡研究數(shù)學問題，在學習一元一次方程后，他給出一個新定

義：若是關于x的一元一次方杼公+2=0（。/0）的解，為是關于），的方程的所有解的其中一個解，且

%,其滿足/+），0=1（X）,則稱關?。?，的方程為關于”的一元一次方程的“友好方程例如：一元一次

方程3x-2x-99=0的解是為=99,方程），+]=2的所有解是y=1或y=-1,當為=1時，4+%=100,所

以9+1=2為一元一次方程3X-2.L99=0的“友好方程”.

（1）已知關于），的方程：①2），-2=4,?\y\=2f

以上哪個方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？

請直接寫出正確的序號是.

（2）若關于），的方程|2），-2|+3=5是關于x的一元一次方程x-包薩=〃+1的“友好方程”，請求出a

的值.

（3）如關于y的方程2ni|y-491+"*:50=，〃+〃是關于x的一元一次方程+45〃=54/??的"友好方程”，

請直接寫出畫乂的值.

20.(2025春?廬陽區(qū)校級期中)閱讀以下材料：對于三個數(shù)a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個

數(shù)的平均數(shù)，用，〃加{a,b,c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù).例如：M{-1,2,3}=+3=,

2,3)=-1:tnin{-\,2,".

-l(ti>-1)

解決下列問題：

(1)如果加〃{2,2x+2,4-2x}=2x+2,則4的取值范圍為.

(2)如果M{2,x+1,2A}=min{2,x+1,2x},求x的值.

(3)根據(jù)(2),你發(fā)現(xiàn)結論“若M{a,b,c]=min{a,h,c}”,那么a,b,c之間有怎樣的大小關

系？簡單說明理由.

21.(2025?寶應縣一模)對于實數(shù)a、b,定義一種新運算“〃☆〃”，規(guī)定如下：a^b=ab2-b.例

如3仝2=3x2'-2=10.

(1)若[☆x=2,則滿足條件的x值為;

(2)對于(〃-l)☆x=2,存在兩個不同的數(shù)值x,求a的取值范圍；

(3)若時，求x的取值范圍.

22.（2025秋?市中區(qū)期末）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和匕，規(guī)定a☆6=加+2m+〃.如:

]☆3=1x3"+2x1x3+1=16.

（1）（-2）^3=；

（2）若（也3）☆（—2）=16,求a的值；

2

（3）“作差法”是常見的比較代數(shù)式大小的一種方法，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它

們的差W-N,若W-N>0,則M>N；若M-N=O,則A/=N；若M-N<0,則MvN.若x=〃?，

（卜）☆3-〃（其中x為有理數(shù)），試比較小，〃的大小.

23.（2025秋?倉山區(qū)期末）定義：若關于X的方程0￥+〃=0（4/0）的解與關于），的方程（7+〃=0（（?工0）的

解滿足|工-'|二〃1（〃?為正數(shù)），則稱方程ar+〃=0（aw0）與方程cy+d=O（cwO）是“/〃差解方程”.

（1）請通過計算判斷關于工的方程2x=5x-12與關于y的方程3（）』1）-），=1是不是“2差解方程”；

（2）若關于x的方程%--—―=〃-1與關于y的方程2（y-2inn）-3（〃-1）=m是"m差解方程”，求〃的值；

3

（3）若關于x的方程sx+/=/?（s工0）,與關于y的方程s（y-k+l）=〃T是“2〃z差解方程”，試用含〃】的

式子表示左.

24.(2025秋?達川區(qū)校級期末)閱讀理解：已知實數(shù)x,)，滿足31-)，=5…①，2x+3j=7…②，求x

-4)，和7x+5y的值.仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，本題可以通過適當變形整體求得

代數(shù)式的值，如由①-②可得上-4丁=-2,由①+②x2可得7i+5y=19.這樣的解題思想就是通常所

說的“整體思想”.利用“整體思想”，解決下列問題：

(1)已知二元一次方程組《2'+'<則］_),=,x+y=;

x+2y=8-'

(2)買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58

元，求購買5支鉛筆、5塊橡皮5本日記本共需多少元？

(3)對于實數(shù)局y,定義新運算：力+c,其中。，b,。是常數(shù)，等式右邊是實數(shù)運算.已

知3*5=15,4*7=28,求1*1的值.

25.(2025春?井研縣期末)深化理解：

新定義：對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為<x>,

即：當〃為非負整數(shù)時，如果〃一~-<X<7?+—,則VX>=〃；

22

反之，當〃為非負整數(shù)時，如果<x>=〃，則〃一！Vx<〃+」.

22

例4口：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,...

試解決下列問題：

(1)填空：①<乃>=(乃為圓周率)；

②如果<x-l>=3,則實數(shù)x的取苴范圍為.

'2x-4,?

-----—1

(2)若關于x的不等式組3一’的整數(shù)解恰有3個，求”的取值范圍.

(a^—x>0

⑶求滿足3g的所有非負實數(shù)工的值.

1.（2025?路北區(qū)校級一模）定義國表示不超過實數(shù)尤的最大整數(shù)，如[1.4]=1,[T.2]=-2,[-3]=-3,

則方程2卜]=/的解為（）

A.0或&B.0或2C.2或應D.0或立或2

【解答】解：21xj=x2?

/.x.O,

①Q(mào),人<1時，/2=0,解得x=O;

②L,x<2時，x2=2,解得x=&或工=-應（舍）；

2

③2Mx<3時，x=41解得x=2或x=-2（舍）；

④x.3時，方程無解；

綜上所述：方程的解為x=0或x=2或x=&,

故選：D.

二,解答題（共29小題）

2.（2025秋?尋烏縣期末）【閱讀理解】

定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩

條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”.如圖1,

點?在直線/上，射線網(wǎng)?,PS,PT位于直線/同側，若PS平分ZRPT,WOWZRPT=2ZRPS,所以我

們稱射線”?是射線內(nèi)，PT的“雙倍和諧線”.

【遷移運用】

（1）如圖1,射線PS不是（選填"是”或“不是”）射線網(wǎng)，口的“雙倍和諧線”；射線PT

（選填“是”或“不是"）射線”，蹬的“雙倍和諧線”；

（2）如圖2,點O在直線MN上，OA工MN,ZAOB=AO°,射線OC從。N出發(fā)，繞點O以每秒4。的速

度逆時針旋轉，運動時間為/秒，當射線X與射線QA重合時，運動停止.

①當射線OA是射線04,OC的“雙倍和諧線”時，求/的值；

②若在射線OC旋轉的同時，406繞點O以每秒2。的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平

分ZAOB.當射線OC位于射線OD左側且射線線是射線OM,QD的“雙倍和諧線”時，求NCON的

度數(shù).

圖I圖2備用圖

【解答】解：（1）?.,PS平分4PT,

:/tPS=ZTPS,

射線QS不是射線松，PT的“雙倍和諧線”；

PS平分々PT，

/.ZTPR=2ZTPS.

射線PT是射線PS,PR的“雙倍和諧線

故答案為：不是；是；

（2）①由題意得：ZAOC=90°-4°r,ZAQ8=40°.

?.?射線04是射線04,OC的“雙倍和諧線”，

ZAOC=2ZAOB或ZAOB=2ZACX?.

0

貝lj:90-4r=2x40.

解得”|.

0

則：40=2（90-4/）.

解得：”生.

2

綜上，當射線OA是射線08,OC的“雙倍和諧線”時，，的值為3或更.

22

②由題意得：4CON=啊，ZAQN=90°+2。/,ZAOD=20°,^LDON=ZAON-ZAOD=70°4-2°t.

?.?當射線”與射線OA重合時，運動停止，

此時NAON=NCON.

/.90+2r=4/.

.\/=45.

.?.當/=45秒時，運動停止，此時ZACW=18U。.

?.?射線OC位于射線8左側且射線OC是射線OM,8的“雙倍和諧線”,

/.4COM=2ZCOD或4COD=2Z.COM.

當NCOW=2NC8時，如圖，

即：180°-NCON=2(NCON-NOON),

則：180-41=2(41—70—21).

解得：r=40.

.?.NCOV_40K40—160。.

當NCOD=2NCOM時，如圖,

貝I」：4/-（70+2/）=2（180-4/）.

解得：7=43.

.?.NCON=4°x43=172°.

綜上，當射線OC位于射線。。左測旦射線比是射線OM,。。的“雙倍和諧線”時，NCON的度數(shù)為

160?；?72。.

3.（2025春?姜堰區(qū)期末）【情境呈現(xiàn)】：

2x+3y4x-3y）

-----+-----=7

在解方程組L32時，某同學發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量

2x+3y+4x3y_5

比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3），、4%-3），分別看作一個整體，通過換元：令〃z=2x+3y、

tnn-

—?—=7

〃=4x-3），，可以將原方程組化為32,解得〃?二產(chǎn)，把『=產(chǎn)代入"=2r十3外〃=以-3），，得

m〃「/?=6n=6

仁;;U解得仁;,所以原方程組解為仁:.

【靈活運用工

（1）若方程組用”的解為L，則方程組卜一2）+伙>2）=1的解為

ax+y=6[y=1[a（x-2）++2）=6

（2）若方程組卜的解為,其中％為常數(shù).

a2x+b2y=c2[y=k-2

^1(x+l)+^Z>1(>'-2)=cI

①求方程組；:的解:

—^2(x+1)+—b2(.y—2)=c2

②是否存在負整數(shù)0使得①中方程組的解滿足X>），，若存在，請求出々的值；若不存在，請說明理

由.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得

.r-2=l

y+2=1

解得［=3

\y=-

故答案為：/3

u?=-

*+1)=&

（2）①由題意可得:

l(y-2)=^-2

x=32-1

解得

y=2k-2

x=3^-I

②由①得:

y=2k-2

\x>yf

:.3k-\>2k-2f

k>—\t

又為負整數(shù)，

不存在負整數(shù)k使得①中方程組的解滿足x>y.

4.（2024秋?蓬江區(qū)校級期中）對任意四個有理數(shù)〃，b,c,d，定義新運算：/人

|=ad-be.

ov-d.

(1)若I1=18,則％=3；

xI

(2)若產(chǎn)121=4,求x的值.

x-\a

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：2x+4x=18,

解得：x=3;

故答案為：3；

(2)由已知得，?(x+l)-2(x-l)=4,

整理得：(々-2)x=2-a,

當。工2時，x=—\;

當4=2時，方程有無數(shù)解.

5.(2025春?東陽市期末)對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，

則稱這兩個方程為“相似方程”；②若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程”.

(1)判斷一元一次方程3-2(1-力=44與分式方程是否是“相似方程”，并說明理由；

2x-I4F-I

(2)已知關于x,y的二元一次方程好爾+6與y=x+4〃?是“相伴方程”，求正整數(shù)〃!的值.

【解答】解：(1)一元一次方程3-2(l-x)=4x與分式方程2-1=——不是“相似方程”，理由如

2x-\4X2-\

下：

解一元一次方程3-2(1-幻=?，

解得：x=L

2

解分式方程2一1=——,

2x—14x—1

解得：X=L

2

檢驗：當工」時，(2x+l)(2x-1)=0,

2

???原分式方程無解，

.??一元一次方程3-2(l-x)=4x與分式方程注口-1=——不是“相似方程”；

2x-l4X2-1

(2)由題意，兩個方程由相同的整數(shù)解，

:.inx+6=x+4m,

-l)x=4/〃-6,

①當〃Ll=0時，方程無解，

②當/力―1工()，即mW1時，^f=——,即x=4-,

m-1m-1

,.,%,y均為整數(shù)，

/.tn—\=\,2,—I,—2>

又?「〃?取正整數(shù)，

.?〃〃=2或3.

6.（2025春?西峽縣期末）閱讀理解：

定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子

方程”，例如；2x—1=3的解為x=2,一:的解集為—3,xv4,不難發(fā)現(xiàn)％=2在T,xv4的范圍

5x+5..2x-4

內(nèi)，所以21=3是的“子方程”.

5x+5..2x-4

問題解決：

（1）在方程①3工-1=0,②M_1=O,③2x+3（x+2）=21中，不等式組［2、T>"+1的“子方程”是

313（工-2）-用,4

③.（填序號）

（2）若關于x的方程21=2是不等式組產(chǎn)丁：4二:的“子方程”，求我的取值范圍；

x-1..4x-10

（3）若方程2x+4=0,左二1=一1都是關于x的不等式組［AS.〃:的“子方程”，試求用的取值范

3［X+tn<2m-3

圍.

【解答】解:（1）①311=0,

解得：x=L

3

②21一1=o，

3

解得：x=3,

2

③2x+3（x十2）=21,

解得：x=3,

2x-\>x+1@

’3（x-2）f,4②‘

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：&5,

.?.原不等式組的解集為：2<匕5,

.?.不等式組的“子方程”是：③,

l3(.r-2)-.r?4

故答案為：③；

()f3x-6>4-KD

[x-1..4x-10@'

解不等式①得：x>|,

解不等式②得：工,3,

.?.原不等式組的解集為：-<x,3,

2

2x-k=2

???方程2、-Z=2是不等式組F二6：4二:的，，子方程，，,

(X-1..4X-1()

解得：3〈鼠4;

(3)2x+4=0,

解得：x=-2,

解得：x=-l

X+5..H1?

x+m<2m-3②

解不等式①得：X./Z/-5,

解不等式②得：x<m-3,

.?.原不等式組的解集為：

，?方程2丹4=0,生【=-1都是關于x的不等式組I"??北的“子方程”,

3x+〃？<2m—3

—5,,—2

m-3>-1

解得：2VM.3.

7.(2025春?羅莊區(qū)期末)定義一種新運算：A*8=1mT，例：3*2=3-2=1,(-2)*3=3-(-2)=5.

B-A(A<B)

(1)解不等式：2*(3x+l)>10;

(2)若y="(-2),

①求函數(shù)解析式，指出x取值范圍：在坐標系中畫出函數(shù)圖象;

②寫出函數(shù))，="(-2)與y=x*(x-a)(a.O)的圖象的交點個數(shù).

【解答】解：(1)由題知，

當2..3.C+I,即工，,時，2*(3%+l)=2-(3x+l)=-3x+l.

3

又2*(3x+l)>10,即-3x+l>10,解得x<-3,

所以xv-3.

當2v3x+l,即時，2*(3工+1)=3X+1—2=31一1.

3

又2*(3x+l)>10,即3x-l>10,解得x>U.

3

所以x>U.

3

綜上所述：

此不等式得解集為：xv—3或x>U.

3

(2)由題知，

當x…-2時，y=x-(-2)=x+2.

當xv-2時，y=-2-x=—x-2.

所以函數(shù)解析式為：），=「+2，..-21

②因為a.0,所以x..x-a,

貝Uy=1*(x-a)=x-(x-。)=a.

所以當4=0時，兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)為1,

當a>0時，兩個圖象的交點個數(shù)為2.

故4=0時，交點個數(shù)為1;4>0時，交點個數(shù)為2.

8.(2025春?淮安期末)定義一種新運算“a*b"：當口.〃時，a*b=a+3b;當av〃時，Q2例

如：3*(-4)=3+(-12)=-9,(-2)*5=-2-15=-17.

(1)填空：4*(-3)=_-5_,(Y)*3=;

(2)若(3%-4)*(工+6)=(3%-4)-3(工+6),則x的取值范圍為;

(3)已知(3x-7)*4v-6,求x的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意得:4*(-3)=4+3x(-3)=4+(-9)=-5；

(-4)*3=-4-3x3=-4-9=-13;

故答案為：-5;-13;

(2),/(3x-4)*(x+6)=(3x-4)-3(.v+6),

.\3x-4<x+6,

3x-x<6+4?

2x<10,

x<5,

故答案為：xv5;

(3)分兩種情況：

當版-7..4時，即x..U時，

3

v(3x-7)*4<-6,

/.3x-7+3x4<-6，

3x-7+12<-6,

3x<—+7—12,

3x<-119

x<-—(舍去)；

3

當3x—7v4時，即時,

3

v(3x-7)*4<-6,

「?3x—7-3x4v—6,

3x-7-12<-6,

3xv-6+7+129

3xvl3,

綜上所述：X的取值范圍為

3

9.（2025春?石林縣期末）我們定義，關于同一個未知數(shù)的不等式A和8,如果兩個不等式的解集相

同，則稱不等式A與8為同解不等式.

（1）若關于x的不等式A:3-2x>0,不等式從竺衛(wèi)<2是同解不等式，求。的值；

3

（2）若關于x的不等式C:x-2>〃〃?，不等式O:x-4>0是同解不等式，其中加，〃是整數(shù)，試求〃,，〃

的值.

【解答】解：（1）,.,3-2.r>0,

/.--2x>—3，

/.x<1.5?

2x-a_

<--------<2,

/.2x-<7<6>

.,.2x<6+a，

?.?不等式43-2>>°'不等式慶?<2是同解不等式,

解得：a=-31

的值為-3;

(2)x-2>mit

:.x>2+mn，

,.,x-4>0,

：.X>4r

,/不等式C:x-2>〃〃?,不等式O:x-4>0是同解不等式，

/.2+im=4t

：.nvi=2,

是整數(shù)，

=〃=2或"7=-1,〃=-2或〃?=2,〃=1或"7=-2,n=-\.

10.(2025春?常熟市期末)定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范圍內(nèi)，則稱一元

一次方程為一元一次不等式的“伴隨方程”.如：一元一次方程x+l=2的解為x=l,而一元一次不等

式2x-3vx的解集為xv3,不難發(fā)現(xiàn)x=l在xv3范圍內(nèi)，則一元一次方程x+1=2是一元一次不等式

2工-3。的“伴隨方程”.

(1)在①-3(x+l)=9,②2x+3=5,③8=2■，三個一元一次方程中，是一元一次不等式3(l+x)>x-4

42

的“伴隨方程”的有②③(填序號)；

(2)若關于％的一元一次方程版-〃=2是關于x一元一次不等式3(o+x)..4a+x的“伴隨方程”，且一元

一次方程上!十］=］不是關于x的一元一次不等式上的“伴隨方程”.

223

①求，的取值范圍；

②直接寫出代數(shù)式|〃|+|。-3|的最大值.

【解答】解：(1)①一3(x+l)=9,

x+1=—39

②2x+3=5,

2x=5-3,

2x=2,

x=l;

③S=L

42

x+5=2，

x=2-5,

x=-3;

3(1+x)>x-4,

3+3x>x-4,

3x-x>-