幾何模型之倍長中線

1.(2025?沙坪壩區(qū)校級模擬)如圖，AA4C中，D在A4上，E在4c上，ZAED=ZABC,”在AE上,

EF=DE.

(1)如圖1,若CE=BD,求證：BE=CF;

(2)如圖2,若CE=AD,G在DE上,ZEFG=ZEFCf求證：CF=2GF；

(3)如圖3,若CE=A￡>,EF=2,ZzSC=3O。，當(dāng)ACE尸周長最小時，請直接寫出的面積.

2.(2025春?榮昌區(qū)期末)菱形A8C。中，ZABC=120°,連接AC,點七是CZ)邊上一點，連接BE交AC

于點M.

(1)如圖1,若八4=3,當(dāng)BE_LC。時，求CM的長;

(2)次席為邊向右側(cè)作等邊AZ汨/，連接AF,CF.

①如圖2,點G是AF中點，連接8G.求證：CE=2BG;

②如圖3,當(dāng)。月=2CK時，直接寫出&的值.

ShACF

3.（2025?撫州三模）課本再現(xiàn)：

（1）我們研究平行四邊形時，常常把它分成幾個三角形，利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的

有關(guān)問題，同時也可以利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問題，如探究三角形中位線的性質(zhì).

如圖（1）,在AA8C中，點。，E分別是鉆，AC的中點，連接DE.則DE與8c的關(guān)系是.

定理證明

（2）請根據(jù)（1）中內(nèi)容結(jié)合圖（1）,寫出（1）中結(jié)論的證明過程.

定理應(yīng)用

（3）如圖（2）,在四邊形AAC力中，點M,N,0分別為BC,BD的中點、,BA,6的延長線

交于點石.若NE=45。，則/MPN的度數(shù)是.

（4）如圖（3）,在矩形ABCZ）中，AB=4,4）=3,點石在邊/W上，且=將線段AE繞點4

旋轉(zhuǎn)一定的角度。（0。＜。＜360。），得到線段加"點”是線段b的中點，求旋轉(zhuǎn)過程中線段8"長的

最大值和最小值.

4.（2025春?巴南區(qū)期中）在矩形ABC。中，石是AD邊上一點.

（1）若ZABE=60。，EC平分ZBED,且AB=1,求AEDC的面積;

（2）若”是他中點且EFLBH于F點、,求證：BF=AH+y/3EF;

（3）若ZABE=60°,EFJ_AZ）于E1點，連接AF并反向延長至G點使得4G=4尸=3所.點”在直線

上方，連接8”、HF,GB=BH,NGBH+NABE=180°,請?zhí)骄坎⒄堉苯訉懗鯝F與HZ的數(shù)量關(guān)系.

5.（2025春?碑林區(qū)校級期中）為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時，小麗

在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在中，4J是〃C邊上的中線，延長4）到何，使。0=4）,連

接BM.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）圖1中AC與8M的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

【初步應(yīng)用】（2）如圖2,在A48C中，若A8=12,AC=8,求3C邊上的中線4）的取值范圍.（提示:

不等式的兩邊都乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變.例如：若3x<6,則xv2.）

【探究提升］（3）如圖3,AD是M8C的中線，過點A分別向外作AE_LAB、AFA.AC,使得=

AF=ACf延長DA交EF于點、P,判斷線段所與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

6.（2025秋?南沙區(qū)校級期末）如圖，在AA8C中，點。是4c的中點，分別以AB,8C為腰向AABC外

作等腰三角形48M和等腰三角形3CN,其中，AB=BM,BC=BN,ZABM=120°,ZWC=60°,連

接MN.

（1）請寫出4力與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）延長可交仞V于點產(chǎn)，求的度數(shù).

7.（2025?蜀山區(qū)校級一模）如圖，在AA4C中，ZACB=90°,BC>ACtCO_LA4于點。，點七是AB的

中點，連接CE.

(1)若AC=3,BC=4,求CD的長;

(2)求i正：BUT-AD1=2DEAB\

(3)求證：CE=-AB.

2

8.（2025秋?東城區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P為AA8C內(nèi)一點，連接"，BP,CP,

將線段”繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到4P',連接尸P',BP'.

（1）用等式表示8P與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(2)當(dāng)N8PC=120。時,

①直接寫出小4尸的度數(shù)為；

②若M為的中點，連接PM,用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

B

9.（2025春?南崗區(qū)校級月考）在AAHC中，人A=AC,點。為AC的中點，點E、尸分別在邊4?、AC

上，且滿足"上」以'.

（1）如圖1,當(dāng)/84C=120。時，若OF//A8,DE=m,則。/二；

（2）如圖2,當(dāng)Zfi4C=9O。時，求證：BE?+CF2=2DE?;

（3）如圖3,當(dāng)N8AC=60。時將NCZ）尸沿。尸翻折，8邊與所交于點G,若8石=12,Cr=20,求所

的長.

10.（2025?淮安二模）【問題情境】

學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問題：如圖①，AA3C中，若A6=12,AC=8,求蹂

邊上中線4。的取值范圍.通過分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路.

思路1:將AADC繞著點D旋轉(zhuǎn)180。，使得CD和BD重合,得到AE7用…

思路2:延長4）到石，4吏得DE=AD,連接8￡,根據(jù)SAS可證得AAOC主AEZ汨…

根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到4）的取值范圍為.

【類比探究】

如圖②，DB=DE,DC=DA,NBDC+ZADE=180。,。月是八位宏的邊AE上的中線，試探索DF與BC的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【遷移應(yīng)用】

【應(yīng)用1】如圖③，已知0O的半徑為6,四邊形AAC7）是CX）的圓內(nèi)接四邊形.4）=8,

NA0D+/8OC=18O°,求8C的長.

【應(yīng)用2】如圖④，DB=DE,DC=DAfNBDC+ZADE=18（T,BD1DE,AE=a,BC=b（a>b）,AB.

CE相交于點G,連接。G,若4￡>C的度數(shù)發(fā)生改變，請問77G是否存在最小值？如果存在，則直接

寫出其最小值（用含a和〃的式子表示），如果不存在，請說明理由.

繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到C3,連接A”.我們稱△/V夕C是AAAC的“旋補交差三角形“，連接A夕、

46,我們將A"、46所在直線妁相交而成的角稱之為AMC”旋.補交差角“，C?點到A6中點石問

的距離成為“旋轉(zhuǎn)中距如圖1,/次期即為AABC“旋補交差角”，CE即為AABC“旋補中距

(1)若已知圖1中的長度等于4,當(dāng)NAC8=90。，則AA8c“旋補交差角"Z^OB=，"旋補中

距“CE長皮=;

(2)若圖1中NACB的度數(shù)發(fā)生改變，則AA8C“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結(jié)論,

并直接判斷AA/3C“旋補中距''是否也發(fā)生改變：

(3)已知圖2中△AQC是AABC“旋補交差三角形“，/W的長度等于4,A片長度等于6,問OC是

否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由.

12.(2025春?龍口市月考)如圖，將A44C置于直角坐標(biāo)系中，ZACA=90。，AC=AC,點A、C分別

在4軸、y軸上，且08=6,OC=2.

(1)如圖1,求點A的坐標(biāo)；

(2)如圖2,AC.A￡?分別交x軸、y軸于。、E,請直接寫出限斑的值.

7

(3)如圖3,M為OB上一點、,MCA.CF,且MC=C/,N為MB的中點、,連接CN,AFt判斷線段A/

與CN的關(guān)系，并寫出證明過程.

13.（2025秋?微山縣期中）【發(fā)現(xiàn)問題】

小強在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

如圖1,4）是AABC的中線，若AB=8,4c=6,求4）的取值范圍.

【探究方法】

小強什在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn)：延長4）至點石，使ED=AD,連接8E.可證出AA0C二AED8,利用全

等三免形的性質(zhì)可將已知的邊長與兌＞轉(zhuǎn)化到同一個AA應(yīng);中，進而求出AD的取值范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線AO延長一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們

把這種方法叫做倍長中線法.

【應(yīng)用方法】

（1）請你利用上面解答問題的方法思路，寫出求4）的取值范圍的過程；

【拓展應(yīng)用】

（2）已知：如圖2,4）是A48C的中線，BA=BC,點石在3c的延長線上，EC=BC.寫出AD與

之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖I圖2

14.（2025春?歷下區(qū)期中）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,

在AABC中，A?=8,AC=6,求VC?邊上的中線4）的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2）,

①延長AD到M,使得DW=AD；

②連接8W,通過三角形全等把AB、AC、24）轉(zhuǎn)化在AABM中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為8Wv4WvAB+,從而得到4）的取值范圍

是：

方法忌結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)

系.

（2）請你寫出圖2中AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,AD是A48C的中線，AB=AEtAC=AFfN84E=NC4產(chǎn)=90。，請直接利用

（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與所的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2圖3

15.(2025?徐州模擬)(1)閱讀理解：

如圖①，在AABC,中，若/W=X,AC=5,求歡;邊上的中線4)的取值范圍.

可以用如下方法：將AACZ)繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到A￡S￡>,在AA8E中，利用三角形三邊的關(guān)系

即可判斷中線AD的取值范圍是；

(2)問題解決：

如圖②，在A43C中，。是5c邊上的中點，DE工DF于點、D,DE交AB于點、E,DF交AC于點、F,連

接E7"求證：I3E+CF>EF：

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZfiCD=100°,以C為頂點作一個50。的角，角

的兩邊分別交A￡?、AD于石、F兩點、,連接EF,探索線段8E,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

圖①圖②圖③

16.(2025?建昌縣模擬)如圖，在RIAABC和RtAADE中，AB=ACfAD=AE,ABAC=ZDAE=90°(AB<AD),

。力￡繞點4旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,若連接8/7,CE,則與CE的關(guān)系為；

(2)如圖2,若連接CD,BE,取比:中點尸，連接AF,探究AF與CZ)的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)AAZ把旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，點。落在8C延長線上，若A尸=3,AC=4>/2,

請直接寫出線段的長.

17.（2025?德州）問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1,AABC中，=AC'=4,4）是中線，求49的取值范圍.她的

做法是：延長AD到石，使。石=4）,連接8E,證明MED=△C4D,經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.

請回答：（1）小紅證明ABED二似“。的判定定理是：；

（2）AD的取值范圍是;

方法運用：

（3）如圖2,AO是A48c的中線，在4）上取一點廣，連接種'并延長交AC于點E,使AE=￡F,求

彳正：BF=AC.

（4）如圖3,在矩形ABCD中，—在8。上取一點產(chǎn)，以所為斜邊作RtABEF,且空=工，點、G

BC2BE2

是"'的中點，連接EG,CG,求證：EG=CG.

18.（2024秋?段山期末）在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方

法，例如：在中，AH=8,AC=6,點。是〃C'邊上的中點，怎樣■求的取值范圍呢？我們可

AD=DE

以延長4）到點E，使AD=DE,然后連接BE（如圖①），這樣，在MZJC和AEDI3中，由于ZOC=NEDB,

BD=CD

:.^ADC=^EDB,:.AC=EB,接下來，在AA8E中通過AE的長可求出4）的取值范圍.

請你回答：

（1）在困①中，中線池的取值范圍是.

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在AA8C中，點。是邊上的中點，點E是邊上的一點，作_LDE交AC邊于點產(chǎn)，

連接EF,若BE=4,CF=2,請直接寫出所的取值范圍.

②如圖③，在四邊形A4CO中，“8=150°,ZADC=30°,點E是A3中點，點廠在DC上，且滿足

BC=CF,DF=AD,連接Cf、ED,請判斷CE與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖①圖②圖③

19.(2025春?皇姑區(qū)校級期中)已知等邊A/WC和等腰△())￡：,DC=DE,ZCDE=120°.

(1)如圖1,點。在〃C上，點七在M上，〃是4"的中點，連接4),PD,則線段4)與尸〃之間的

數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,點。在AA8C內(nèi)部，點