2026高中數(shù)學(xué)計(jì)算題專練15個(gè)專題計(jì)算專練05平面向量的運(yùn)算(含答案)平面向

量的運(yùn)算

一.填空題(共10小題)

1.已知；=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且Q_Lb,則x=.

2.已知展=(1,1),b=(2,4),則［在Z上的數(shù)量投影是.

3.已知向量a=(2,1),a*(a+2b)=7,則b在：上的投影向量的坐標(biāo)為.

4.已知向量匕滿足向=2，|b|=3,|；+b|=4,則向一2bl=.

5.在△ABC中，AD=lDC,P是直線BD上一點(diǎn),若前=血/+1丘則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

6.已知點(diǎn)4(2,-1,1),8(3,-2,I),C(0,1,-1),則前在北上的投影向量的模為.

7.已知向量a=(2,m)，b=(-1,皿)，若2Q+b與b垂直，則|a|=.

8.已知向量工b滿足面=2,\a+2b\=\a-b\,W|a+b|=.

9.設(shè)B為非零向量之與施夾角，定義：［x1=向?山|sin6.若向=2,畝=5,ab=-8,則|；x&=.

10.在AABC中，點(diǎn)M,N滿足薪=3/，BN=NC.若嬴=月而+”1^,則％=；y

二.解答題(共20小題)

11.計(jì)算：

(1)(-3)x4a；

(2)3(a+b)-2(a—b)-a；

<3)(2aI3bc)-(3a2bIc)；

(4)AB-AD-DC；

(5)NQ+QP+MN-MP.

12.已知的=1,而=2,［身的夾角是60°,計(jì)算：

(1)計(jì)算a-b,\a+b\；

(2)求Z+b和之的夾角的余弦值.

13.已知面=4,向=3,之與，的夾角是120。，計(jì)算：

(1)(2a-3d)(2a4-b)；

(2)\a+b\.

14.已知向量3與加勺夾角為120。，且向=2,區(qū)|=4.

(1)計(jì)算：|4a-2^|；

(2)若(2之+b)1(ka-b),求2的值.

15.已知向量；與房勺夾角為120°,且而=2,畝=4.

(1)計(jì)算：|4a-2b|；

(2)當(dāng)?為何值時(shí),(a+2d)1(ka-b).

16.已知向量a和/?的夾角(p=冬，向=3,|0|=4,試計(jì)算：

(1)|a+.

⑵(3々-20)?々+20).

->Tt-T71TTTl

17.設(shè)|a|=3,|b|=2,|c|=5,向量a與b的夾角為:，向量b與c的夾角為；，計(jì)算:

63

(1)I(a*/?)??!；

(2)\a*(b*c)|

18.已知面=4,|b|=6,；與匕的夾角是150°,計(jì)算：

(1)(aI2b)*(2ah)；

(2)|4a-2b|

19.計(jì)算：

(I)已知Q=(-2,3),b—(2,5)?c—(0,-3),求a+b-c；

(2)己知；=(5,7),Z?=(-2,-1),求2之一5匕.

20.已知之=(2,-1),b=(3,1).

(1)求向量Z-2匕的坐標(biāo)；

(2)求向量工1的夾角0.

T[TT2TT—T—

21.如圖，在△ABC中，AM=^AB,CN=^CB,設(shè)48=Q,AC=b.

(1)用Z,b表示AN,MN；

T4T1T

(2)若。為△A4C內(nèi)部一點(diǎn)，且3戶=-4。+自從求證：M,P,N三點(diǎn)共線.

22.已知向量展=Reos?%,V3),匕=[1,sin2x),函數(shù)/(x)=3b,g(x)=b2.

(1)求函數(shù)g(x)的最小正周期；

(2)在△A8C中，a,b,c分別是角A,B,。的對邊，且/(C)=3,c=1,ab=273,且〃且m〃的值.

23.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)。滿足n=3G，點(diǎn)七滿足辰=3薪，點(diǎn)尸是AC邊上的中點(diǎn)，設(shè)Z=CA,b=CB.

(1)用7,h表示EF：

(2)若△A8C的邊長為2,試求2)與成夾角的余弦值.

24.已知向量a=(1,2),b=(—3/2),c=a—2b.

(1)求|c|；

(2)若向量7=(5,2),試用工。表示7；

(3)若"IIka+2b,求實(shí)數(shù)k的值.

25.已知向量3=(2,-2),\b\=4,且(21+匕)小=32.

(I)求向量之與匕的夾角；

(II)求|2之一山的值；

(III)若向量兀+1與［一看互相垂直，求我的值.

26.如圖，在菱形A8CQ中，BE=^BC,CF=2FD.

(1)若外=xAB+yAD,求3x+4〉的值；

(2)若|n|=3,/.BAD=60°,求行?備.

27.已知；=(1,0),b=(2,1).

(I)若6=2展一/BC=a+7nbf且A、B、。三點(diǎn)共線，求川的值.

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)人為何值時(shí)，左聯(lián)一力與2+2^垂直？

28.已知向量3=(1,2),b=(1,t)(teR).

(1)若G+b)l(5a-8b),求t的值;

(2)若r=l,之與Z+ml的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

29.已知向量展=(1,3),b=(2,5),求：

<I)ah；

(2)\3a-b\；

(3)(a+b)-(2a-b).

30.已知向量工7的夾角為6=當(dāng)，向=3,|b|=2V2.

(1)求日-2&：

(2)。-2b在a+2b的投影數(shù)量；

(3)若日+2%與之-2了夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.平面向量的運(yùn)算

一.填空題(共10小題)

TTTT10

1.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且。_1_力，則x=一.

—3—

【答案】當(dāng)

【解析】Va=(2,-I,3),6=(-4,2,x),且

A2X(-4)+(-1)X2+3x=0,解得x=學(xué).

故答案為：".

2.已知1(1,I),b=(2,-4),則靛4上的數(shù)量投影是T.

一□一

【答案】一洛

【解析】a=(1,1),b=(2,-4),

則加上的數(shù)量投影是亙=管巖=關(guān)=-0

\b\j22+(-4)22x/55

故答案為：-冷

3.已知向量之=(2,1),a*(a+2b)=7,則b在［上的投影向量的坐標(biāo)為_(,，|)_.

【答案】詹，1).

【解析】由；=(2,1),可得|a|二若，

因?yàn)楸P?G+21)=7,

所以5+2ab=7,解得a?8=!.,

TT

所以匕在a上的投影向量的坐標(biāo)為名4a=(|；).

|a|255，

故答案為:(g/g)?

4.已知向量工b滿足向=2,|川=3,|；+“=4,則向-2bl=_V34_.

【答案】x<34.

【解析】由而1=2,|6|=3,\a+b\=4,

3

可得a?+2a-d+b2=13+2a-b=16,2一

則|a—2bl=yja2—4a?b+4b2—、/4—6+36=V34.

故答案為：V34.

5.在中，AD=^DC,P是直線90上一點(diǎn)，^AP=mAB+^AC,則實(shí)數(shù)的值為

【答案】V

【解析】在△A3C中，AD=2DC,。是直線3。上一點(diǎn)，且筋=小n+色總

故可設(shè)麗=tBD,

所以筋=AB+BP=AB+tBD=AB+t(AD-A6)=(1-t)AB+tAD,

又元)二,左，所以/5)=9幾，

所以4P=(1—￡)48+乎4C,所以=

79

所以t='=,m=-F.

2

故答窠為:5一

2V3

6.已知點(diǎn)人(2,-I,I),B(3,-2,1),C(0,1,-1),則/在北上的投影向量的模為

3'

【答案】拳2-73

【解析】因?yàn)锳(2,-1,1),8(3,-2,1),C(0,1,-1),

所以筋=(3,-2,1)-(2,-1,1)=(1,-1,0),AC=(0,1,一1)一(2,—1,1)=(-2,2,-2),

所以燦-AC=lx(-2)4-(-1)X2+0X(-2)=-4,\AC\=V(-2)2+224-(-2)2=2次,

—?—>

-?t\AB-AC\2-J3

所以48在AC上的投影向量的模為=+

|AC|3

243

故答案為：拳

7.已知向量a=(2,in),b=(-1,"力，若2a+b與b垂直，則|a|=_V5.

【答案】V5.

【解析】向量Q=(2,in),b=(-1,〃?),

Wij2a+b=(3,3m),

又方+1與？垂直，

所以(2Q+力)?b=(3,3m)?(一!?,m)=-34-3m2=0,可得謂=1.

所以|a|=V4+m2=V5.

故答案為：Vs.

8.已知向量展，b滿足向=2，|a+2b\=\a-b\,則向+b|=2

【答案】2.

【解析】由1+2b|=|Z-b],可得(I+2b)2=(a-b)2,

即向2+通工+4畝2=向2.2a-b+而，整理得2a*b+前=0.

所以(a+b)2=|a|2+2a-b+|b|2=22+0=4,可得向+&=/產(chǎn)=2.

故答案為：2.

9.設(shè)0為非零向量a與b的夾角，定義：\axb\=\a\■\b\sin0.若|a|=2,\b\=5,a-b=-8,則|axb\=6

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】由已知，可得。"0=鐺"=感

|a|網(wǎng)2X5

.________Q

而OWBWTT,因此sin6=V1-cos29=不

TT2

所以|axb|=2x5x^=6.

故答案為：6.

TTTTTT->1[

10.在△A3C中，點(diǎn)、M,N滿足AM=3MC,BN=NC.若MN=xA8+yAC,則x=_^_；丁=_一二?

【答案】:-i

24

【解析】△4BC中，點(diǎn)M,N滿足京=3/，BN=NC.若加=

A

1-*-i-*1

=^AC+-AC)=^AB-^AC,

故.=2,y=-4.

11

故答案為：---

24

二,解答題(共20小題)

11.計(jì)算:

(1)(-3)x4a；

(2)3(a+b)-2(a-b)-a；

(3)(2a+3h-c)-(3a-2b4-c)；

(4)AB-AD-DC；

(5)NQ+QP+MN-MP.

【答案】(1)-12a：

(2)加

(3)-a4-5b-2c：

(4)CB；

⑸0.

【解析】(1)(-3)x4a=-12a：

(2)3(a+b)-2(a-b)-a=3a+3b-2a+2b-a=5b；

(3)(2a+3b—c)—(3Q—2b+c)=2a+3b—c—3Q+2b—c

=—a+5匕-2c；

(4)AB-AD-DC=DB-DC=CB；

(5)NQ+QP+MN-MP=NP+(MN-MP)=NP+PN=0.

12.已知面=1,向=2,；4的夾角是60°,計(jì)算：

(1)計(jì)算Q-b,|a+d|；

(2)求Z+7和：的夾角的余弦值.

【答案】(1)a-b=l,|a+b|=V7；

2V7

(2)—.

7

TTTT1

【解析】(1)由題可得a-b=\a\-\'o\-cos60°=lx2x^=l,

\a+b\2=a2+2a-b+b2=1+2x1+4=7,所以|。+匕|=夜；

(2)(a+b)-a=a2+a-b=1+1=2,

設(shè)2+7和之的夾角為仇

(a4-b)-a22>/7

所以cosd===

|a+^||a|?Xi

13.已知面=4,|6=3,%與1的夾角是120°,計(jì)算:

(1)(2o-3b)-(2a+b)；

(2)\a+b\.

【答案】(1)61：(2)JU.

【解析】(1)???而=4,而=3,2與^的夾角是120°,

TT1

a-b=3X4X(―^)=—6,

A(2a-3b)?(2a+b)=4a2-3b2-4a-b=64-27+24=61：

2

(2)|a+Z?|=J(a+匕口=Ja2+b+2a-b=V16+9-12=7T3.

14.已知向量［與R勺夾角為120°,且面=2,畝=4.

(I)計(jì)算：|4a-2d|；

(2)若(2；+b)l(fca-d),求A的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】(1)???向量Z與1的夾角為120°,且向=2,荷=4.

：.\4a-2b\=J(4a-2b)2=J16a2+4b2-16ab

=V16x4+4x16-16x2x4cosl20°

=8V3.

(2)V(2a+b)1(ka-b),

：.(2a+b)^ka-b)

=2證2+(4-2)a-b-b2

=2kX4+(4-2)X2X4cosl2()0-16=0,

解得k=2.

15.已知向量；與R勺夾角為120°,且而=2,畝=4.

(1)計(jì)算：|4a-2b\；

(2)當(dāng)女為何值時(shí)，(：+21)±(ka-b).

【答案】(1)8N/3；

(2)-7.

【解析】(1)???向=2,向|=4,且向量夾角為120°,

-T1

a-b=2x4x(-^)=-4,

14a-2b|=J16a2+4b2-16a-b=8萬；

(2)V(a+2^)1(fca-b),

(a4-2b)?(ka—b)=0,

/./ca2+(2k—l)a-b-2b2=0,

化簡得k=-7.

16.已知向量彳和0的夾角(p=等,|a|=3,|0|=4,試計(jì)算：

(1)日+即：

(2)(3a-2/?)-(a+2/?).

【答案】(1)13；

(2)-61.

【解析】(1)日+0P=(2+0)2=12+21.2+=9+2x3x4x(-3+16=13：

TT—TTTTT27r

(2)(3a-2^)*(a+2/?)=3a2+4a-/?-4)52=3X32+4X3X4XCOSY_4><42=-61.

17.設(shè)面=3,向=2,|c|=5,向量［與施夾角為B向量3與"的夾角為三，計(jì)算：

63

(I)I(a*/))*?|；

(2)\a<h*c)|

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】(1)a-b=|a|-|^|-cos-=3K2x警=3后

6乙

則|(a*M*c|=3V3|c|=3V3x5=15\/3；

fTTTTC1

(2)b?c=|b|?|c|?cos-=2X5x1=5,

3n

則萬?(/??")1=5向=5X3=15.

18.已知面=4,向|=6,；與G的夾角是150°,計(jì)算：

(1)(a+2b)*(2a-b)；

(2)|4a-2b\

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】(1)(a+2b)?(2a-b^=2a2+3ab-2b2=32-36、G-72=-40-36V3；

(2)14a-2b\=J(4a-2b)2=J16a2-16a-b+4b2=J16(16+12>/3+9)=4八5+126

19.計(jì)算：

(1)已知。=(-2,3),b=(2,5),?=(0,-3),求Z+7一”；

(2)已知:二(5,7),/)=(-2,-1),求2：-5人

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】(1)根據(jù)題意，a=(-2,3),b=(2,5),c=(0,-3),

則Q+b—c=(0,11)；

(2)根據(jù)題意，a=(5,7),b=(-2,-I),

2a=(10,14),5b=(-10,-5),

2a-5b=(20,19)

20.已知Z=(2,-1),b=(3,1).

(1)求向量的坐標(biāo);

(2)求向量工了的夾角0.

【答案】(I)(-4,-3)；

n

(2)

4

【解析】(1)因?yàn)?=(2,-1),6=(3,1),所以［-2:=(2,-1)-2(3,1)=(-4,-3).

(2)a=(2,-1),b=(3,1).

2x31

則cos9==+(-^L=/=專.

I葉網(wǎng)^22+(-1)2^32+1=2同

因?yàn)獒?,E，所以向量工福夾角8

21.如圖，在△A8C中，AM=^AB,CN設(shè)=ZAC=b.

(1)用工b表示4/V,MN；

T4T1T

（2）若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且BP=-/Q+/b.求證：M,P,N三點(diǎn)共線.

T〔T2—T11->

【答案】（I）4N="+3a,MN=4b+^a；

5DDb

（2）證明見解答.

【解析】（I）由題可知，

T—TT2Tt2T1?-?

AN=AC+CN=AC-AC)=^AC+^AB=撲+乳,

JJJJJ

TTTL2TI->1I->

MN=AN-AM=(至+至。)-。=大。；

*3b?D5乙qD6+。

T4T1T

(2)證明：由蟲=一首+".

，y

一“r-TT]T4TLL]T

可得MP=MB+BP=2。+(―a4-g/))—gb4-jga?

因?yàn)轲轛=3麻，且有公共點(diǎn)M,

所以〃，P,N三點(diǎn)共線.

22.已知向量Q=Qcos?%,V3),b=(1/sin2x),函數(shù)/(%)=ab,^(x)=b2.

(1)求函數(shù)g(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，。，b,c分別是角4,B,。的對邊，且/(C)=3,c=\,ab=2^3,且且《,。的值.

【答案】見試撅解答內(nèi)容

【解析】(1)b=(1/sin2x),

?/x72一?2r■1,1—cos4x1.,3

??g(x)=o=l+sin￡2x=1H------------=—]C0s4x+矛

???函數(shù)g(x)的最小正周期”竽=今

(2)*?*a=(2cos2x,x/3),b=(l,sin2x),

TT

/./"(%)=ab=(2cos2x,V3)?(1,sin2x)

=2COS2X+V3sin2x=cos2x+1+V3sin2x=2sin(2x+V)+1,

則/(C)=2sin(2C+1)+1=3,

Asin(2C+1)=1.

?「C是三角形內(nèi)角，.?.26?+1e([,喑),則22+1=當(dāng)即2=看

.rb2+a2—\3

??c"C=2ab=T

Vc=Lab=2V3,/.fl2+Z?2=7,

聯(lián)立I：：；：%7,解得：J=3或％

???a=V5或2.

當(dāng)a=J5時(shí)，b=2：當(dāng)a=2,b=?

'：a>b,:?a=2,b=V3.

23.如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)。滿足n=3而，點(diǎn)E滿足族=3晶，點(diǎn)F是AC邊上的中點(diǎn)，設(shè)之=CA,b=CB.

（1）用工，表示后

（2）若△/WC的邊長為2,試求2）與前夾角的余弦值.

【答案】（1）EF=]Q—弱；（2）—jg^.

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)E滿足品=3晶，點(diǎn)/是AC邊上的中點(diǎn),

TT1-2T1—2T

所以EF=CF-CE=^CA-jCB=1a-|b；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)。滿足應(yīng)=3而，

T—>T—>[TT1T_2T1T2T[T

所以CD=CA+AD=CA+^AB=CA+^(CB-CA)=^CA+^CB=我+?

因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長為2,所以13=2X2XJ=2,

12T4T孚

T2T2

-Q--ab+-b

所以|EF|.V439

2T1T44TT1T84竽

a+bX2-+ab+b216++

--9一-

J999=99

--

/IJ3_32￡2T,17.一?I-；4-；224?1881

EF-CD=(2?-3/))?(^a+3/))=^a+-^a?b--b-gb=3+3-^-^=-

TT1

EFCD二g同

所以cos<CD,

\EF\\CD\孚x號182,

24.已知向量a=(l,2),b=(—3/2),c=a—2b.

（1）求Ei；

（2）若向量d=（5,2）,試用乙b表示d；

（3）若。Il二+2%,求實(shí)數(shù)2的值.

【答案】（1）V53；

(2)d=2a—b；

(3)k=-1.

【解析】(1)根據(jù):二(1,2),b=(-3,2),可得2=3—21=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2),

所以|Z|="+(-2)2=V53.

(2)根據(jù)題意，a與b不共線，因此設(shè)d=xa+yb(x,yWR),

所以(5,2)=v(1,2)+y(-3,2),可得二與=)

解得x=2,y=-1,可得d=2^-b.

(3)由題意得證+2了=攵(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).

因?yàn)楣?(7,-2),且=〃證+2]，所以-2(2-6)=7(2A+4),解得k=-1.

25.已知向量3=(2,—2),山|=4,且(23+1)工=32.

<I)求向量Z與匕的夾角；

(II)求|2；一質(zhì)的值；

(III)若向量+1與Z—kl互相垂直，求A的值.

【答案】(1)三；(II)4；(III)匚子.

42

【解析】(I)：向量Z=(2,-2),而=4,

A|a|=V4T4=2V2,

又(2^+1)/=234+梆=32,

TTTf

...2a?b+16=32,.\a'b=8,

TT

cos<a,b>=：L=2=*，又<2,b>e[0,n],

\a\\b\242x4'

:.<a?b>=奈

(II)由(I)可知(2a—b)2=4a2-4a-b+b2-4X8+16=16,

|2a-b|=4；

(Ill)???向量ka+b與Q—kb互相垂直，

(kxt+b)?(a-kb)=0,

Ika24-(1-k2)a?b-kb2=0,

???弘+8(1-必)-16^=0,

R+k-1=0,

.,-l±/5

26.如圖，在菱形/WC。中，BE=^BCfCF=2FD.

(1)若EF=xAB+yAD,求3x+4v的值；

(2)若|應(yīng)|=3,/.BAD=60°,A<AE-EF.

【答案】(1)0；

(2)-3.

【解析】(1)因?yàn)樵诹庑蜛8CQ中，BE=^BC,CF=2FD,

故余=RH另G-16，

TTT

又EF=xAB+yAD,

9I

則％=一.，y=

所以3x+4y=0.

(2)由題意可得：AE=AB+^AD,

所以港外=(AB+^AD)?函方一|血=~AB2+^AD2+^AB-AD,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形，且|筋|二3,4840=60。，

故仍。|=3,〈AB,AD)=60°,

TT9

所以=3x3xcos600=引

tt21a

占攵/E,EF=-X3^+Y2=-3.

27.已知：=(1,0),b=(2,1).

(I)若{8=2a—b,BC=a+mb,且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值.

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)々為何值時(shí)，/^一1與％+21垂直？

【答案】⑴-1;

12

(2)—.

5

【解答】解；(1)由題意可得，AB=(0,-1),BC=(l+2m,m),

且4、B、C三點(diǎn)共線，則可得幾二入立，

即2m),解得m=_}

(2)由題意可得，ka-h=(Ar-2,-1),a+2b=(5,2),

TT—T1?

因?yàn)閗a-b與Q+2b垂直，則可得54-2)+2X(-I)=0,解得々=卷.

28.已知向量;=(1,2),b=(1,t)(tGR).

(1)若—+6)1(5a-8b),求t的值；

(2